Simulación de subconjuntos

La simulación de subconjuntos ^{[ 1 ]} es un método utilizado en ingeniería de confiabilidad para calcular probabilidades de falla pequeñas (es decir, eventos raros) que se presentan en sistemas de ingeniería. La idea básica es expresar una probabilidad de falla pequeña como un producto de probabilidades condicionales mayores mediante la introducción de eventos de falla intermedios. Esto convierte conceptualmente el problema original de eventos raros en una serie de problemas de eventos frecuentes que son más fáciles de resolver. En la implementación práctica, las muestras condicionadas a eventos de falla intermedios se generan de forma adaptativa para poblar gradualmente la región de eventos frecuentes a la de eventos raros. Estas "muestras condicionales" proporcionan información para estimar la función de distribución acumulativa complementaria (CCDF) de la cantidad de interés (que rige la falla), cubriendo tanto las regiones de alta como de baja probabilidad. También se pueden utilizar para investigar la causa y la consecuencia de los eventos de falla. La generación de muestras condicionales no es trivial, pero se puede realizar de manera eficiente utilizando el método de Monte Carlo de cadena de Markov (MCMC).

La simulación de subconjuntos considera la relación entre las variables aleatorias (de entrada) y la magnitud de respuesta (de salida) de interés como una " caja negra ". Esto puede resultar atractivo para sistemas complejos donde es difícil utilizar otras técnicas de reducción de varianza o muestreo de eventos raros que requieren información previa sobre el comportamiento del sistema. Para problemas donde es posible incorporar información previa al algoritmo de confiabilidad, suele ser más eficiente utilizar otras técnicas de reducción de varianza, como el muestreo de importancia . Se ha demostrado que la simulación de subconjuntos es más eficiente que la simulación tradicional de Monte Carlo , pero menos eficiente que el muestreo lineal , cuando se aplica a un problema de prueba de mecánica de fractura . ^{[ 2 ]}

Sea X un vector de variables aleatorias e Y = h ( X ) una magnitud de respuesta escalar (de salida) de interés para la cual se desea determinar la probabilidad de falla. Cada evaluación de h (·) es costosa, por lo que debe evitarse si es posible. Utilizando métodos directos de Monte Carlo, se pueden generar muestras iid ( independientes e idénticamente distribuidas ) de X y luego estimar P ( F ) simplemente como la fracción de muestras con  Y  >  b . Sin embargo, esto no es eficiente cuando P ( F ) es pequeño porque la mayoría de las muestras no fallarán (es decir, con Y  ≤  b ) y, en muchos casos, se obtiene una estimación de 0. Como regla general para valores pequeños de P ( F ), se requieren 10 muestras fallidas para estimar P(F) con un coeficiente de variación del 30% (un requisito moderado). Por ejemplo, se requerirían 10 000 muestras iid, y por lo tanto evaluaciones de h (·), para dicha estimación si P ( F ) = 0,001. ${\displaystyle P(F)=P(Y>b)}$

La simulación de subconjuntos intenta convertir un problema de eventos raros en problemas más frecuentes. Sea una secuencia creciente de niveles de umbral intermedios. A partir de la propiedad básica de probabilidad condicional , ${\displaystyle b_{1}<b_{2}<\cdots <b_{m}=b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(Y>b)&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1})\\&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1}\mid Y>b_{m-2})P(Y>b_{m-2})\\&=\cdots \\&=P(Y>b_{m}\mid Y>b_{m-1})P(Y>b_{m-1}\mid Y>b_{m-2})\cdots P(Y>b_{2}\mid Y>b_{1})P(Y>b_{1})\end{aligned}}}$

La "idea básica" de la simulación de subconjuntos es estimar P(F) estimando las probabilidades condicionales para , anticipando una ganancia de eficiencia cuando estas probabilidades no son pequeñas. Para implementar esta idea hay dos cuestiones básicas: ${\displaystyle P(Y>b_{1})}$${\displaystyle P(Y>b_{i}\mid Y>b_{i-1})}$${\displaystyle i=2,\ldots ,m}$

1. La estimación de las probabilidades condicionales mediante simulación requiere la generación eficiente de muestras de X condicionadas a los eventos de falla intermedios, es decir, las muestras condicionales. Esto generalmente no es trivial.
2. Los umbrales intermedios deben elegirse de forma que las probabilidades intermedias no sean demasiado pequeñas (para evitar el problema de los eventos raros) ni demasiado grandes (para evitar que se requieran demasiados niveles para alcanzar el evento objetivo). Sin embargo, esto requiere información sobre la CCDF, que es el objetivo que se debe estimar.${\displaystyle b_{i}}$

En el algoritmo estándar de simulación de subconjuntos, el primer problema se resuelve utilizando el método de Monte Carlo de cadena de Markov . ^{[ 3 ]} Recientemente se han desarrollado versiones más genéricas y flexibles de los algoritmos de simulación que no se basan en el método de Monte Carlo de cadena de Markov . ^{[ 4 ]} El segundo problema se resuelve eligiendo los niveles de umbral intermedios { b _i } de forma adaptativa utilizando muestras del último nivel de simulación. Como resultado, la simulación de subconjuntos produce un conjunto de estimaciones para b que corresponde a diferentes valores fijos de p =  P ( Y  >  b ), en lugar de estimaciones de probabilidades para valores de umbral fijos.

Existen varias variaciones de la simulación de subconjuntos utilizadas en diferentes contextos en probabilidad aplicada e investigación de operaciones estocásticas ^{[ 5 ] [ 6 ]} Por ejemplo, en algunas variaciones el esfuerzo de simulación para estimar cada probabilidad condicional P( Y  > b _i  |  Y  >  b _{i −1} ) ( i  = 2, ...,  m ) puede no estar fijo antes de la simulación, sino que puede ser aleatorio, similar al método de división en la estimación de probabilidad de eventos raros. ^{[ 7 ]} Estas versiones de la simulación de subconjuntos también pueden usarse para muestrear aproximadamente de la distribución de X dado el fallo del sistema (es decir, condicionado al evento ). En ese caso, la varianza relativa del número (aleatorio) de partículas en el nivel final puede usarse para acotar el error de muestreo medido por la distancia de variación total de las medidas de probabilidad . ^{[ 8 ]}${\displaystyle \{Y>b\}}$${\displaystyle m}$

• Muestreo de eventos raros
• Maldición de la dimensionalidad
• Muestreo lineal

• Consulte Au y Wang ^{[ 9 ]} para una cobertura introductoria de la simulación de subconjuntos y su aplicación al análisis de riesgos de ingeniería.
• Schuëller y Pradlwarter ^{[ 10 ]} informan sobre el rendimiento de la simulación de subconjuntos (y otras técnicas de reducción de varianza) en un conjunto de problemas de referencia de mecánica estocástica.
• El capítulo 4 de Phoon ^{[ 11 ]} analiza la aplicación de la simulación de subconjuntos (y otros métodos de Monte Carlo) a problemas de ingeniería geotécnica.
• Zio y Pedroni ^{[ 12 ]} analizan la aplicación de la simulación de subconjuntos (y otros métodos) a un problema en ingeniería nuclear.