Muestreo lineal

El muestreo lineal es un método utilizado en ingeniería de confiabilidad para calcular probabilidades de fallas pequeñas (es decir, eventos raros) que se presentan en sistemas de ingeniería. El método es particularmente adecuado para problemas de confiabilidad de alta dimensión , en los que la función de desempeño presenta una no linealidad moderada con respecto a los parámetros inciertos ^{[ 1 ].} El método es adecuado para analizar sistemas de caja negra y, a diferencia del método de muestreo de importancia para la reducción de varianza , no requiere un conocimiento detallado del sistema.

La idea básica del muestreo lineal consiste en refinar las estimaciones obtenidas mediante el método de fiabilidad de primer orden (FORM), que pueden ser incorrectas debido a la no linealidad de la función de estado límite . Conceptualmente, esto se logra promediando el resultado de diferentes simulaciones FORM. En la práctica, esto se consigue identificando la dirección de importancia en el espacio de parámetros de entrada, que apunta hacia la región que más contribuye a la probabilidad de fallo global. La dirección de importancia puede estar estrechamente relacionada con el centro de masa de la región de fallo o con el punto de fallo con la mayor densidad de probabilidad, que suele coincidir con el punto más cercano al origen de la función de estado límite , una vez que las variables aleatorias del problema se han transformado al espacio normal estándar. Una vez establecida la dirección de importancia para que apunte hacia la región de fallo, se generan muestras aleatorias a partir del espacio normal estándar y se trazan líneas paralelas a dicha dirección para calcular la distancia a la función de estado límite, lo que permite estimar la probabilidad de fallo para cada muestra. Estas probabilidades de fallo se promedian para obtener una estimación mejorada.${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ 

En primer lugar, debe determinarse la dirección de importancia. Esto se puede lograr hallando el punto de diseño o la pendiente de la función de estado límite.

Se genera un conjunto de muestras mediante simulación de Monte Carlo en el espacio normal estándar. Para cada muestra , la probabilidad de fallo en la línea paralela a la dirección importante se define como:${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle p_{f}({\boldsymbol {x}})=\int _{-\infty }^{+\infty }I({\boldsymbol {x}}+\beta \cdot {\boldsymbol {\alpha }})\varphi (\beta )\,d\beta }$

donde es igual a uno para las muestras que contribuyen al fallo, y es cero en caso contrario:${\displaystyle I(\cdot )}$ 

${\displaystyle I_{f}({\boldsymbol {x}})={\begin{cases}1&{\text{si }}{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{f}\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ es la dirección importante, es la función de densidad de probabilidad de una distribución gaussiana (y es un número real ). En la práctica, se deben encontrar las raíces de una función no lineal para estimar las probabilidades parciales de falla a lo largo de cada línea. Esto se hace mediante la interpolación de algunas muestras a lo largo de la línea o utilizando el método de Newton-Raphson .${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \beta }$ 

La probabilidad global de fallo es la media de la probabilidad de fallo en las líneas:

${\displaystyle {\tilde {p}}_{f}={\frac {1}{N_{L}}}\sum _{i=1}^{N_{L}}p_{f}^{(i)}}$

donde es el número total de líneas utilizadas en el análisis y son las probabilidades parciales de falla estimadas a lo largo de todas las líneas.${\displaystyle N_{L}}$ ${\displaystyle p_{f}^{(i)}}$ 

Para problemas en los que la dependencia de la función de rendimiento es solo moderadamente no lineal con respecto a los parámetros modelados como variables aleatorias, establecer la dirección de importancia como el vector gradiente de la función de rendimiento en el espacio normal estándar subyacente conduce a un muestreo lineal altamente eficiente. En general, se puede demostrar que la varianza obtenida mediante el muestreo lineal es siempre menor que la obtenida mediante la simulación Monte Carlo convencional, y por lo tanto, el algoritmo de muestreo lineal converge más rápidamente. ^{[ 1 ]} La tasa de convergencia se acelera aún más gracias a avances recientes que permiten actualizar repetidamente la dirección de importancia a lo largo de la simulación, lo que se conoce como muestreo lineal adaptativo. ^{[ 2 ]}

El algoritmo es particularmente útil para realizar análisis de confiabilidad en modelos industriales de caja negra computacionalmente costosos, ya que la función de estado límite puede ser no lineal y el número de muestras requeridas es menor que para otras técnicas de análisis de confiabilidad como la simulación de subconjuntos . ^{[ 3 ]} El algoritmo también puede utilizarse para propagar eficientemente la incertidumbre epistémica en forma de cajas de probabilidad o conjuntos aleatorios . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Una implementación numérica del método está disponible en el software de código abierto OpenCOSSAN. ^{[ 6 ]}

• Muestreo de eventos raros
• Maldición de la dimensionalidad
• Evaluación cuantitativa de riesgos