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Cuadro de probabilidad

Una p-caja (caja de probabilidad). Una caja de probabilidad (o p-box ) es una caracterización de un número incierto que incluye incertidumbres tanto aleatorias como epistémicas,...

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Una p-caja continua representada como un gráfico con el eje de abscisas etiquetado como X y el eje de ordenadas etiquetado como Probabilidad.
Una p-caja (caja de probabilidad).

Una caja de probabilidad (o p-box ) es una caracterización de un número incierto que incluye incertidumbres tanto aleatorias como epistémicas, y que se utiliza frecuentemente en el análisis de riesgos o en la modelización cuantitativa de la incertidumbre , donde se requieren cálculos numéricos . El análisis de límites de probabilidad se utiliza para realizar cálculos aritméticos y lógicos con p-boxes.

En la figura de la derecha se muestra un ejemplo de p-box para un número incierto x, que consta de un límite superior izquierdo y un límite inferior derecho en la distribución de probabilidad de x . Los límites coinciden para valores de x menores que 0 y mayores que 24. Los límites pueden tener prácticamente cualquier forma, incluyendo funciones escalonadas, siempre que sean monótonamente crecientes y no se crucen. Una p-box se utiliza para expresar simultáneamente la incertidumbre (incertidumbre epistémica), representada por la amplitud entre los bordes izquierdo y derecho de la p-box, y la variabilidad (incertidumbre aleatoria), representada por la inclinación general de la p-box.

Interpretación

p-box con líneas punteadas que muestran el intervalo de probabilidad asociado a un valor x.
La probabilidad de que x sea 2,5 o menos está entre el 4% y el 36%.
Cuadro P con líneas punteadas que muestran el intervalo del percentil 95.
El percentil 95 está entre 9 y 16.
Interpretación dual de las p-cajas

Existen dos interpretaciones de una p-caja. Puede entenderse como los límites de la probabilidad acumulada asociada a cualquier valor de x . Por ejemplo, en la p-caja que se muestra a la derecha, la probabilidad de que el valor sea 2,5 o menor se encuentra entre el 4 % y el 36 %. Una p-caja también puede entenderse como los límites del valor de x en cualquier nivel de probabilidad determinado. En el ejemplo, el percentil 95 seguramente estará entre 9 y 16.

Si los límites izquierdo y derecho de una p-caja contienen con certeza la distribución desconocida, se dice que son rigurosos o absolutos. Estos límites también pueden ser los más ajustados posibles para la función de distribución, dada la información disponible sobre ella; en ese caso, se dice que son óptimos . Sin embargo, es común que no toda distribución que se encuentre dentro de estos límites sea una distribución posible para el número incierto, incluso cuando los límites son rigurosos y óptimos.

Definición matemática

Las p-cajas se definen mediante límites inferiores y superiores de la función de distribución (o, equivalentemente, la función de supervivencia ) de una magnitud y, opcionalmente, información adicional que restringe la media y la varianza de dicha magnitud a intervalos específicos, así como restricciones específicas sobre la forma de su distribución (familia, unimodalidad , simetría, etc.). Una p-caja representa una clase de distribuciones de probabilidad consistentes con estas restricciones.

Una función de distribución sobre los números realesR{\displaystyle \mathbb {R} }, es una funciónD:R→[0,1],{\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow [0,1],}para el cual D ( x ) ≤ D ( y ) siempre que x < y , y el límite de D en +∞ es 1 y el límite en −∞ es 0. Una p-caja es un conjunto de funciones de distribución F que satisfacen las siguientes restricciones, para funciones de distribución F F especificadas , y límites especificados m 1  ≤ m 2 en el valor esperado de la distribución y límites especificados v 1 ≤ v 2 en la varianza de la distribución.   

F_(incógnita)≤F(incógnita)≤F¯(incógnita),metro1≤∫−∞∞incógnitadF(incógnita)≤metro2v1≤∫−∞∞incógnita2dF(incógnita)−(∫−∞∞incógnitadF(incógnita))2≤v2F∈F{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\overline {F}}(x),\\[4pt]&m_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\leq m_{2}\\[4pt]&v_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,\mathrm {d} F(x)-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\right)^{2}\leq v_{2}\\[4pt]&F\in \mathbf {F} \end{aligned}}}

donde integrales de la forma∫−∞∞⋯dF(incógnita){\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\cdots \,\mathrm {d} F(x)}son integrales de Riemann-Stieltjes .

Por lo tanto, las restricciones son que la función de distribución F se encuentre dentro de límites prescritos, la media de la distribución esté en el intervalo m , la varianza de la distribución esté en el intervalo v , y la distribución esté dentro de alguna clase admisible de distribuciones F. Las integrales de Riemann-Stieltjes no dependen de la diferenciabilidad de F.

Las p-cajas cumplen la misma función para las variables aleatorias que las probabilidades superior e inferior para los eventos . En el análisis bayesiano robusto [ 1 ], una p-caja también se conoce como banda de distribución . [ 2 ] [ 3 ] Una p-caja se puede construir como un entorno cerrado de una distribución.F∈D{\displaystyle F\in \mathbb {D} }bajo la métrica de Kolmogorov , Lévy o Wasserstein . Una p-caja es un tipo de conjunto credal rudimentario pero computacionalmente conveniente . Mientras que un conjunto credal se define únicamente en términos de la restricción F como un conjunto convexo de distribuciones (que determinan automáticamente F , F , m y v , pero a menudo son muy difíciles de calcular), una p-caja generalmente tiene una especificación de F que restringe poco , o incluso ninguna restricción, de modo que F =D{\displaystyle \mathbb {D} }Los cálculos con p-cajas, a diferencia de los conjuntos credales, suelen ser bastante eficientes, y se conocen algoritmos para todas las funciones matemáticas estándar.

Una p-caja se especifica mínimamente por sus límites izquierdo y derecho, en cuyo caso se entiende que las demás restricciones son vacías.{F¯,F_,[−∞,+∞],[0,+∞],D}.{\textstyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},[-\infty ,+\infty ],[0,+\infty ],\mathbb {D} \right\}.} Incluso cuando estas restricciones auxiliares son vacías, aún puede haber límites no triviales para la media y la varianza que se pueden inferir de los bordes izquierdo y derecho de la p-caja.

De dónde provienen las cajas p

Las cajas P pueden surgir de diversos tipos de información incompleta sobre una cantidad, y existen varias maneras de obtener cajas P a partir de datos y juicios analíticos.

p-cajas distribucionales

Cuando se conoce que una distribución de probabilidad tiene una forma particular (por ejemplo, normal, uniforme, beta, Weibull, etc.), pero sus parámetros solo pueden especificarse de forma imprecisa como intervalos, el resultado se denomina p-caja distribucional o, a veces, p-caja paramétrica. Esta p-caja suele ser fácil de obtener al encapsular distribuciones extremas dados los parámetros posibles. Por ejemplo, si se sabe que una cantidad es normal con una media en algún punto del intervalo [7,8] y una desviación estándar dentro del intervalo [1,2], los bordes izquierdo y derecho de la p-caja pueden hallarse al encapsular las funciones de distribución de cuatro distribuciones de probabilidad, a saber, normal(7,1), normal(8,1), normal(7,2) y normal(8,2), donde normal(μ,σ) representa una distribución normal con media μ y desviación estándar σ. Todas las distribuciones de probabilidad que sean normales y tengan medias y desviaciones estándar dentro de estos intervalos respectivos tendrán funciones de distribución que caen completamente dentro de esta p-caja. Los límites izquierdo y derecho engloban muchas distribuciones no normales, pero estas quedarían excluidas del p-box si se especificara la normalidad como la familia de distribución.

Buzones de correo sin distribución

Aunque se conozcan con precisión parámetros como la media y la varianza de una distribución, esta no puede especificarse con exactitud si se desconoce la familia de distribuciones. En tales situaciones, se pueden construir envolventes de todas las distribuciones que coinciden con momentos dados a partir de desigualdades como las de Markov , Chebyshev , Cantelli o Rowe [ 4 ] [ 5 ] , que engloban todas las funciones de distribución con parámetros especificados. Estas definen p-cajas libres de distribución, ya que no hacen ninguna suposición sobre la familia o la forma de la distribución incierta. Cuando se dispone de información cualitativa, como que la distribución es unimodal , las p-cajas a menudo pueden ajustarse sustancialmente. [ 6 ]

Cajas P a partir de mediciones imprecisas

Cuando se puede medir a todos los miembros de una población, o cuando se dispone de abundantes datos de muestras aleatorias, los analistas suelen utilizar una distribución empírica para resumir los valores. Cuando estos datos presentan una incertidumbre de medición considerable, representada por intervalos alrededor de cada valor de muestra, la distribución empírica puede generalizarse a una p-caja. [ 7 ] Dicha p-caja se puede especificar acumulando los extremos inferiores de todas las mediciones de intervalo en una distribución acumulativa que forma el borde izquierdo de la p-caja, y acumulando los extremos superiores para formar el borde derecho. Cuanto mayor sea la incertidumbre de medición, mayor será la p-caja resultante.

Las mediciones de intervalo también pueden usarse para generalizar estimaciones de distribución basadas en el método de momentos coincidentes o máxima verosimilitud , que hacen suposiciones de forma tales como normalidad o lognormalidad, etc. [ 7 ] [ 8 ] Aunque la incertidumbre de la medición puede tratarse rigurosamente, la p-caja de distribución resultante generalmente no será rigurosa cuando es una estimación de muestra basada solo en una submuestra de los valores posibles. Pero, debido a que estos cálculos tienen en cuenta la dependencia entre los parámetros de la distribución, a menudo producirán p-cajas más ajustadas que las que podrían obtenerse tratando las estimaciones de intervalo de los parámetros como no relacionadas, como se hace para las p-cajas de distribución.

Bandas de confianza

Puede existir incertidumbre sobre la forma de una distribución de probabilidad debido al pequeño tamaño de la muestra de los datos empíricos que la caracterizan. Se han propuesto varios métodos en estadística tradicional para abordar esta incertidumbre de muestreo sobre la forma de la distribución, incluyendo Kolmogorov-Smirnov [ 9 ] y bandas de confianza similares [ 10 ] , que son libres de distribución en el sentido de que no hacen suposiciones sobre la forma de la distribución subyacente. Existen métodos de bandas de confianza relacionados que sí hacen suposiciones sobre la forma o familia de la distribución subyacente, lo que a menudo puede resultar en bandas de confianza más estrechas. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] La construcción de bandas de confianza requiere seleccionar la probabilidad que define el nivel de confianza, que generalmente debe ser menor que 100% para que el resultado no sea vacío. Las bandas de confianza al nivel de confianza del (1 − α)% se definen de tal manera que, (1 − α)% de las veces que se construyen, encierran completamente la distribución de la cual se muestrearon aleatoriamente los datos. En ocasiones, se utiliza un intervalo de confianza alrededor de una función de distribución como una caja p, aunque representa límites estadísticos en lugar de límites rigurosos o certeros. Este uso presupone implícitamente que la distribución verdadera, sea cual sea, se encuentra dentro de la caja p.    

Una estructura bayesiana análoga se denomina p-box bayesiana, [ 14 ] [ 15 ] que engloba todas las distribuciones cuyos parámetros se encuentran dentro de un subconjunto del espacio de parámetros correspondiente a un nivel de probabilidad específico derivado de un análisis bayesiano de los datos. Este subconjunto constituye la región de credibilidad para los parámetros dados los datos, la cual puede definirse como la región de mayor densidad de probabilidad posterior, la región de menor pérdida posterior o de alguna otra forma adecuada. Para construir una p-box bayesiana, es necesario seleccionar una distribución a priori, además de especificar el nivel de credibilidad (análogo a un nivel de confianza).

Cajas C

Las cajas C (o estructuras de confianza [ 16 ] ) son estimadores de cantidades fijas de valor real que dependen de datos de muestra aleatorios y codifican intervalos de confianza de Neyman [ 17 ] en cada nivel de confianza. [ 18 ] [ 19 ] [ 16 ] Caracterizan la incertidumbre inferencial sobre la estimación en forma de una colección de intervalos focales (o conjuntos), cada uno con una masa de confianza (probabilidad) asociada. Esta colección puede representarse como una caja p y puede proyectar la interpretación de la confianza a través del análisis de límites de probabilidad .

A diferencia de los intervalos de confianza tradicionales, que generalmente no se pueden propagar mediante cálculos matemáticos, las c-cajas se pueden usar en cálculos que preservan la capacidad de obtener intervalos de confianza arbitrarios para los resultados. [ 20 ] [ 19 ] Por ejemplo, se pueden usar para calcular cajas de probabilidad tanto para distribuciones de predicción como de tolerancia.

Las cajas de confianza se pueden calcular de diversas maneras directamente a partir de datos de muestras aleatorias. Existen cajas de confianza tanto para problemas paramétricos, donde se conoce la familia de la distribución subyacente de la que se generaron aleatoriamente los datos (incluidas la normal, lognormal, exponencial, Bernoulli, binomial y Poisson), como para problemas no paramétricos, donde se desconoce la forma de la distribución subyacente. [ 20 ] Las cajas de confianza tienen en cuenta la incertidumbre sobre un parámetro que proviene de la inferencia a partir de observaciones, incluyendo el efecto de un tamaño de muestra pequeño, pero también potencialmente los efectos de la imprecisión en los datos y la incertidumbre demográfica que surge al intentar caracterizar un parámetro continuo a partir de observaciones de datos discretos.

Las C-boxes están estrechamente relacionadas con otros conceptos. Son comparables a las distribuciones bootstrap [ 21 ] y son generalizaciones imprecisas de las distribuciones de confianza tradicionales , como la distribución t de Student . Al igual que esta, las c-boxes codifican intervalos de confianza frecuentistas para los parámetros de interés en cada nivel de confianza. Son análogas a las distribuciones posteriores bayesianas , ya que caracterizan la incertidumbre inferencial sobre los parámetros estadísticos estimados a partir de datos de muestra escasos o imprecisos, pero pueden tener una interpretación puramente frecuentista que las hace útiles en ingeniería porque ofrecen una garantía de rendimiento estadístico a través del uso repetido. En el caso del parámetro de tasa de Bernoulli o binomial, la c-box es matemáticamente equivalente al modelo beta impreciso de Walley [ 22 ] [ 23 ] con el parámetro s = 1, que es un caso especial del proceso de Dirichlet impreciso , una idea central en el análisis bayesiano robusto .

A diferencia de las bandas de confianza, que son límites de confianza sobre una función de distribución completa en un nivel de confianza particular, las c-cajas codifican intervalos de confianza sobre una cantidad fija en todos los niveles de confianza posibles al mismo tiempo.

Envolventes de posibles distribuciones

Cuando existen múltiples distribuciones de probabilidad posibles que podrían describir una variable, y un analista no puede descartar ninguna de ellas basándose en la información disponible, se puede construir una p-caja como la envolvente de las diversas distribuciones acumulativas. [ 24 ] [ 25 ] También es posible tener en cuenta la incertidumbre sobre cuál es la distribución correcta con un estudio de sensibilidad, pero dichos estudios se vuelven más complejos a medida que crece el número de distribuciones posibles, y combinatoriamente más complejos a medida que aumenta el número de variables sobre las que podría haber múltiples distribuciones. Un enfoque envolvente es más conservador respecto a esta incertidumbre que varios enfoques alternativos para manejar la incertidumbre que promedian distribuciones en modelos de mezcla estocástica o promedios de modelos bayesianos . Es probable que la distribución verdadera desconocida esté dentro de la clase de distribuciones abarcadas por la p-caja. Por el contrario, suponiendo que la distribución verdadera sea una de las distribuciones que se están promediando, la distribución promedio seguramente será diferente de la distribución verdadera desconocida.

P-cuadrados a partir de los resultados del cálculo

Las p-cajas pueden surgir de cálculos que involucran distribuciones de probabilidad, o que involucran tanto una distribución de probabilidad como un intervalo, o que involucran otras p-cajas. Por ejemplo, la suma de una cantidad representada por una distribución de probabilidad y una cantidad representada por un intervalo generalmente se caracterizará por una p-caja. [ 26 ] La suma de dos variables aleatorias caracterizadas por distribuciones de probabilidad bien especificadas es otra distribución de probabilidad precisa, típicamente solo cuando la cópula (función de dependencia) entre los dos sumandos está completamente especificada. Cuando su dependencia es desconocida o solo parcialmente especificada, la suma se representará de manera más apropiada por una p-caja porque diferentes relaciones de dependencia conducen a muchas distribuciones diferentes para la suma. Kolmogorov preguntó originalmente qué límites se podrían establecer sobre la distribución de una suma cuando no se sabe nada sobre la dependencia entre las distribuciones de los sumandos. [ 27 ] La pregunta solo se respondió a principios de la década de 1980. Desde entonces, las fórmulas y algoritmos para sumas se han generalizado y extendido a diferencias, productos, cocientes y otras funciones binarias y unarias bajo diversas suposiciones de dependencia. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]

Estos métodos, denominados colectivamente análisis de límites de probabilidad , proporcionan algoritmos para evaluar expresiones matemáticas cuando existe incertidumbre sobre los valores de entrada, sus dependencias o incluso la forma de la expresión matemática en sí. Los cálculos producen resultados que garantizan la inclusión de todas las distribuciones posibles de la variable de salida si los p-boxes de entrada también incluyen sus respectivas distribuciones. En algunos casos, un p-box calculado también será óptimo en el sentido de que solo las distribuciones posibles se encuentran dentro del p-box, pero esto no siempre está garantizado. Por ejemplo, el conjunto de distribuciones de probabilidad que podrían resultar de sumar valores aleatorios sin la suposición de independencia de dos distribuciones (precisas) es generalmente un subconjunto propio de todas las distribuciones admitidas por el p-box calculado. Es decir, existen distribuciones dentro del p-box de salida que no podrían surgir bajo ninguna dependencia entre las dos distribuciones de entrada. Sin embargo, el p-box de salida siempre contendrá todas las distribuciones posibles, siempre que los p-boxes de entrada incluyan sus respectivas distribuciones subyacentes. Esta propiedad suele ser suficiente para su uso en el análisis de riesgos .

Casos especiales

Precise probability distributions and intervals are special cases of p-boxes, as are real values and integers. Because a probability distribution expresses variability and lacks incertitude, the left and right bounds of its p-box are coincident for all x-values at the value of the cumulative distribution function (which is a non-decreasing function from zero to one). Mathematically, a probability distribution F is the degenerate p-box {F, F, E(F), V(F), F}, where E and V denote the expectation and variance operators. An interval expresses only incertitude. Its p-box looks like a rectangular box whose upper and lower bounds jump from zero to one at the endpoints of the interval. Mathematically, an interval [a, b] corresponds to the degenerate p-box {H(a), H(b), [a, b], [0, (b–a)2/4], D{\displaystyle \mathbb {D} }}, where H denotes the Heaviside step function. A precise scalar number c lacks both kinds of uncertainty. Its p-box is just a step function from 0 to 1 at the value c; mathematically this is {H(c), H(c), c, 0, H(c)}.

Applications

P-boxes and probability bounds analysis have been used in many applications spanning many disciplines in engineering and environmental science, including:

Críticas

Sin estructura interna . Dado que una caja p conserva poca información sobre cualquier estructura interna dentro de sus límites, no aclara qué distribuciones dentro de la caja p son las más probables, ni si los bordes representan escenarios muy improbables o claramente probables. Esto podría complicar las decisiones en algunos casos si un borde de una caja p encierra un umbral de decisión.

Pérdida de información . Para lograr eficiencia computacional, las p-cajas pierden información en comparación con estructuras Dempster-Shafer más complejas o conjuntos credales . [ 24 ] En particular, las p-cajas pierden información sobre la moda (valor más probable) de una cantidad. Esta información podría ser útil conservarla, especialmente en situaciones donde la cantidad es un valor desconocido pero fijo.

Probabilidad tradicional suficiente . Algunos críticos de las p-cajas argumentan que las distribuciones de probabilidad especificadas con precisión son suficientes para caracterizar la incertidumbre de todo tipo. Por ejemplo, Lindley ha afirmado: «Sea cual sea la forma en que se aborde la incertidumbre, la probabilidad es la única forma sólida de pensar en ella». [ 75 ] [ 76 ] Estos críticos argumentan que es inútil hablar de «incertidumbre sobre la probabilidad» y que la probabilidad tradicional es una teoría completa que es suficiente para caracterizar todas las formas de incertidumbre. Según esta crítica, los usuarios de p-cajas simplemente no han hecho el esfuerzo necesario para identificar las funciones de distribución especificadas con precisión adecuadas.

La teoría de la posibilidad puede ofrecer mejores resultados . Algunos críticos sostienen que, en ciertos casos, tiene sentido trabajar con una distribución de posibilidad en lugar de trabajar por separado con los bordes izquierdo y derecho de las p-cajas. Argumentan que el conjunto de distribuciones de probabilidad inducidas por una distribución de posibilidad es un subconjunto de aquellas encerradas por los bordes de una p-caja análoga. [ 77 ] [ 78 ] Otros contraargumentan que no se puede obtener un mejor resultado con una distribución de posibilidad que con una p-caja. [ 79 ]

Véase también

Referencias

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Referencias adicionales

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