Sumersión (matemáticas)

En matemáticas , una submersión es una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables cuya transformación diferencial hacia adelante es sobreyectiva en todas partes . Es un concepto básico en topología diferencial , dual al de inmersión .

Sean M y N variedades diferenciables , y sea${\displaystyle f\colon M\to N}$ser un mapa diferenciable entre ellos. El mapa f es una inmersión en un punto${\displaystyle p\in M}$si su diferencial

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

es una aplicación lineal sobreyectiva . ^{[ 1 ]} En este caso, p se denomina punto regular de la aplicación f ; de lo contrario, p es un punto crítico . Un punto${\displaystyle q\in N}$es un valor regular de f si todos los puntos p en la preimagen${\displaystyle f^{-1}(q)}$son puntos regulares. Una aplicación diferenciable f que es una inmersión en cada punto${\displaystyle p\in M}$se denomina inmersión . Equivalentemente, f es una inmersión si su diferencial${\displaystyle Df_{p}}$tiene un rango constante igual a la dimensión de N.

Algunos autores utilizan el término punto crítico para describir un punto donde el rango de la matriz jacobiana de f en p no es máximo: ^{[ 2 ]} De hecho, esta es la noción más útil en la teoría de singularidades . Si la dimensión de M es mayor o igual que la dimensión de N , entonces estas dos nociones de punto crítico coinciden. Sin embargo, si la dimensión de M es menor que la dimensión de N , todos los puntos son críticos según la definición anterior (el diferencial no puede ser sobreyectivo), pero el rango del jacobiano aún puede ser máximo (si es igual a dim M ). La definición dada anteriormente es la más utilizada, por ejemplo, en la formulación del teorema de Sard .

Dado un proceso de inmersión${\displaystyle f\colon M\to N}$entre variedades suaves de dimensiones${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$, para cada${\displaystyle x\in M}$Existen cartas sobreyectivas${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$de${\displaystyle M}$alrededor${\displaystyle x}$, y${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$de${\displaystyle N}$alrededor${\displaystyle f(x)}$, de tal manera que${\displaystyle f}$restringe a la inmersión${\displaystyle f\colon U\to V}$que, cuando se expresa en coordenadas como${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$, se convierte en una proyección ortogonal ordinaria . Como aplicación, para cada${\displaystyle p\in N}$la fibra correspondiente de${\displaystyle f}$, denotado${\displaystyle M_{p}=f^{-1}({p})}$puede estar equipado con la estructura de un subcolector liso de${\displaystyle M}$cuya dimensión es igual a la diferencia de las dimensiones de${\displaystyle N}$y${\displaystyle M}$.

Este teorema es una consecuencia del teorema de la función inversa (véase Teorema de la función inversa#Dar una estructura de variedad ).

Por ejemplo, considere${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$dado por${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$La matriz jacobiana es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

Esto tiene el rango máximo en todos los puntos excepto en${\displaystyle (0,0,0)}$. Además, las fibras

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

están vacíos para${\displaystyle t<0}$y es igual a un punto cuando${\displaystyle t=0}$Por lo tanto, solo tenemos una inmersión suave.${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus {(0,0,0)}\to \mathbb {R} _{>0},}$y los subconjuntos${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$son variedades suaves bidimensionales para${\displaystyle t>0}$.

• Cualquier proyección${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• difeomorfismos locales
• sumersiones riemannianas
• La proyección en un fibrado vectorial suave o una fibración suave más general . La sobreyectividad del diferencial es una condición necesaria para la existencia de una trivialización local .

Si f : M → N es una inmersión en p y f ( p ) = q ∈ N , entonces existe un entorno abierto U de p en M , un entorno abierto V de q en N , y coordenadas locales ( x ₁ , …, x _m ) en p y ( x ₁ , …, x _n ) en q tales que f ( U ) = V , y la aplicación f en estas coordenadas locales es la proyección estándar

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

De ello se deduce que la preimagen completa f ⁻¹ ( q ) en M de un valor regular q en N bajo una aplicación diferenciable f : M → N es vacía o una variedad diferenciable de dimensión dim M − dim N , posiblemente disconexa . Este es el contenido del teorema del valor regular (también conocido como teorema de la submersión ). En particular, la conclusión se cumple para todo q en N si la aplicación f es una submersión.

Las submersiones también están bien definidas para variedades topológicas generales . ^{[ 3 ]} Una submersión de variedad topológica es una sobreyección continua f  : M → N tal que para todo p en M , para algunas cartas continuas ψ en p y φ en f(p) , la aplicación ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ es igual a la aplicación de proyección de R ^m a R ⁿ , donde m = dim( M ) ≥ n = dim( N ) .

• Teorema de fibración de Ehresmann

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• https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1