Superficie de subdivisión

En el campo de los gráficos 3D por computadora , una superficie de subdivisión (comúnmente abreviada como superficie SubD o Subsurf ) es una superficie curva representada por la especificación de una malla poligonal más gruesa y producida por un método algorítmico recursivo . La superficie curva, la malla interna subyacente , ^{[ 1 ]} puede calcularse a partir de la malla gruesa, conocida como jaula de control o malla externa , como el límite funcional de un proceso iterativo de subdividir cada cara poligonal en caras más pequeñas que se aproximan mejor a la superficie curva subyacente final. Con menos frecuencia, se utiliza un algoritmo simple para agregar geometría a una malla subdividiendo las caras en otras más pequeñas sin cambiar la forma o el volumen general.

La operación opuesta se llama dessubdivisión , un tipo de decimación de malla que funciona sobre geometría subdividida. ^{[ 2 ]}

Un algoritmo de subdivisión de superficies es de naturaleza recursiva . El proceso comienza con una malla poligonal de nivel base. A continuación, se aplica un esquema de refinamiento a esta malla. Este proceso toma dicha malla y la subdivide, creando nuevos vértices y nuevas caras. Las posiciones de los nuevos vértices en la malla se calculan en función de las posiciones de los vértices, aristas o caras antiguas cercanas. En muchos esquemas de refinamiento, las posiciones de los vértices antiguos también se modifican (posiblemente en función de las posiciones de los nuevos vértices).

Este proceso genera una malla más densa que la original, con más caras poligonales (a menudo cuatro veces más). Esta malla resultante se puede someter repetidamente al mismo esquema de refinamiento para obtener mallas cada vez más refinadas. Cada iteración se denomina nivel de subdivisión y comienza en cero (antes de cualquier refinamiento).

La superficie de subdivisión límite es la superficie producida al aplicar este proceso iterativamente un número infinito de veces. Sin embargo, en el uso práctico, este algoritmo solo se aplica a un número limitado y bastante pequeño (${\displaystyle \leq 5}$), número de veces.

Matemáticamente, la vecindad de un vértice extraordinario (nodo no 4- valente para mallas refinadas de cuadriláteros) de una superficie de subdivisión es una spline con un punto singular paramétrico . ^{[ 3 ]}

Los esquemas de refinamiento de superficies de subdivisión se pueden clasificar en dos categorías principales: interpolación y aproximación .

• Se requieren esquemas de interpolación para que coincidan con la posición original de los vértices en la malla original.
• Los esquemas de aproximación no lo son; pueden y ajustarán estas posiciones según sea necesario.

En general, los métodos de aproximación ofrecen mayor suavidad, pero el usuario tiene menos control sobre el resultado final. Esto es similar a lo que ocurre con las superficies y curvas spline , donde se requieren curvas de Bézier para interpolar ciertos puntos de control, mientras que las B-splines no (y son más aproximadas).

Los esquemas de subdivisión de superficies también se pueden clasificar según el tipo de polígono sobre el que operan: algunos funcionan mejor con cuadriláteros (quads), mientras que otros operan principalmente con triángulos (tris).

Esquemas de aproximación

La aproximación implica que las superficies límite se aproximan a las mallas iniciales, y que después de la subdivisión, los puntos de control generados no se encuentran dentro de las superficies límite. Existen cinco esquemas de subdivisión aproximada:

• Catmull y Clark (1978), Quads: generaliza la inserción de nudos ^de B-spline uniforme bicúbica . Para mallas iniciales arbitrarias, este esquema genera superficies límite que son C2 continuas en todas partes excepto en vértices extraordinarios donde son C1 continuas (Peters y Reif 1998) ^{. [ 4 ]}
• Doo-Sabin (1978), Cuadrados: El segundo esquema de subdivisión fue desarrollado por Doo y Sabin, quienes extendieron con éxito el método de corte de esquinas de Chaikin (George Chaikin, 1974 ^{[ 5 ]} ) para curvas a superficies. Utilizaron la expresión analítica de la superficie B-spline uniforme bicuadrática para generar su procedimiento de subdivisión para producir superficies límite C ¹ con topología arbitraria para mallas iniciales arbitrarias. Un punto auxiliar puede mejorar la forma de la subdivisión de Doo-Sabin. ^{[ 6 ]} Después de una subdivisión, todos los vértices tienen valencia 4. ^{[ 7 ]}
• Loop (1987), Triángulos – Loop propuso su esquema de subdivisión basado en una caja-spline cuártica de seis vectores de dirección para proporcionar una regla para generar superficies límite continuas C ² en todas partes excepto en vértices extraordinarios donde son continuas C ¹ (Zorin 1997).
• Esquema de subdivisión de aristas medias (1997–1999) : El esquema de subdivisión de aristas medias fue propuesto independientemente por Peters-Reif (1997) ^{[ 8 ]} y Habib-Warren (1999) ^{[ 9 ]} . El primero utilizó el punto medio de cada arista para construir la nueva malla. El segundo utilizó una spline de caja de cuatro direcciones para construir el esquema. Este esquema genera superficies límite ^continuas C1 en mallas iniciales con topología arbitraria. (La subdivisión de aristas medias, que podría denominarse "subdivisión √2" ya que dos pasos reducen las distancias a la mitad, podría considerarse la más lenta).
• Esquema de subdivisión √3 (2000), Triángulos – Este esquema fue desarrollado por Kobbelt ^{[ 10 ]} y ofrece varias características interesantes: maneja mallas triangulares arbitrarias, es continuo C ² en todas partes excepto en vértices extraordinarios donde es continuo C ¹ y ofrece un refinamiento adaptativo natural cuando se requiere. Presenta al menos dos especificidades: es un esquema dual para mallas triangulares y tiene una tasa de refinamiento más lenta que los esquemas primarios.

Planes de subdivisión

Catmull-Clark

Doo-Sabin

Bucle

• 1978: Edwin Catmull y Jim Clark describieron superficies de subdivisión (véase superficie de subdivisión de Catmull-Clark ), y Daniel Doo y Malcom Sabin (véase superficies de subdivisión de Doo-Sabin ).
• 1995: Ulrich Reif resolvió el comportamiento de la superficie de subdivisión cerca de vértices extraordinarios. ^{[ 14 ]}
• 1998: Jos Stam aportó un método para la evaluación exacta de superficies de subdivisión de Catmull-Clark bajo valores de parámetros arbitrarios. ^{[ 15 ]}

• Geri's Game (1997) – una película de Pixar que fue pionera en el uso de superficies de subdivisión para representar la piel humana.
• Superficies NURBS ( spline B racional no uniforme ): otro método para representar superficies curvas.

• Geri's Game  : Animación de Pixar ganadora del Oscar , finalizada en 1997, que introdujo superficies de subdivisión utilizando la subdivisión de Catmull-Clark (junto con la simulación de tela).
• Tutorial sobre subdivisión para modelado y animación , apuntes del curso SIGGRAPH 1999
• Tutorial sobre subdivisión para modelado y animación , apuntes del curso SIGGRAPH 2000
• Un enfoque unificado para algoritmos de subdivisión cerca de vértices extraordinarios , Ulrich Reif (Computer Aided Geometric Design 12(2):153–174 marzo de 1995)
• Subdivisión de mallas superficiales y volumétricas , software para realizar subdivisiones utilizando los esquemas más populares.
• Métodos de subdivisión de superficies en CGAL , la biblioteca de algoritmos de geometría computacional.