Estudiantilización

En estadística , la estudentización , llamada así por William Sealy Gosset , quien escribía bajo el seudónimo de Student , es el proceso de dividir un estadístico derivado de una muestra (como la media muestral) por una estimación de la desviación estándar poblacional basada en la muestra . A diferencia de la "normalización", donde solo el numerador es incierto, la estudentización tiene tanto el numerador como el denominador inciertos, típicamente (es decir, bajo supuestos gaussianos) siguiendo una distribución t de Student. El término también se usa para la estandarización de un estadístico de grado superior por otro estadístico del mismo grado: ^{[ 1 ] [ 2 ]} por ejemplo, una estimación del tercer momento central se estandarizaría dividiéndola por el cubo de la desviación estándar muestral.

Si bien la estandarización generalmente implica dividir una variable centrada por la desviación estándar conocida de la población (${\displaystyle \sigma }$), se requiere la estudiantilización cuando${\displaystyle \sigma }$es desconocido. Un ejemplo simple es el proceso de dividir una media muestral por la desviación estándar muestral cuando los datos provienen de una familia de ubicación-escala . La consecuencia de la "estudiantización" es que la complicación de tratar la distribución de probabilidad de la media, que depende tanto de los parámetros de ubicación como de escala, se ha reducido a considerar una distribución que depende solo del parámetro de ubicación. Sin embargo, el hecho de que se utilice una desviación estándar muestral, en lugar de la desviación estándar poblacional desconocida, complica las matemáticas para encontrar la distribución de probabilidad de un estadístico estudentizado. Debido a que el denominador es en sí mismo una variable aleatoria que fluctúa de una muestra a otra, el estadístico resultante generalmente sigue una distribución más dispersa, como la distribución t de Student , en lugar de la distribución normal estándar .

Más allá de las pruebas básicas, es fundamental en el diagnóstico de regresión —mediante residuos estudentizados— y en comparaciones múltiples , donde la distribución de rango estudentizada se utiliza para mantener la potencia estadística controlando los errores de tipo I. En estadística computacional , la idea de utilizar estadísticas estudentizadas es importante para el desarrollo de intervalos de confianza con propiedades mejoradas en el contexto del remuestreo y, en particular, del bootstrapping . ^{[ 3 ]}

El desarrollo de la formación de estudiantes se debió a las necesidades prácticas del control de calidad industrial a principios del siglo XX. Este concepto está estrechamente relacionado con la obra de William Sealy Gosset , químico y matemático que estudió en el New College de Oxford y trabajó para la cervecería Guinness en Dublín. Gosset se enfrentó a problemas prácticos de control de calidad que implicaban el análisis de pequeñas muestras de materias primas como la cebada y el lúpulo.

En ese momento, los métodos estadísticos predominantes, desarrollados en gran medida por Karl Pearson , se basaban en grandes conjuntos de datos donde la desviación estándar de la población (${\displaystyle \sigma }$Se podía asumir que la media era conocida. La prueba normal estándar (Z) se utilizaba comúnmente para inferir la media, pero requería conocer la desviación estándar de la población. Sin embargo, en contextos industriales y de laboratorio, la varianza de la población a menudo se desconocía y debía estimarse a partir de la muestra.

Gosset reconoció que reemplazar la desviación estándar de la población con la desviación estándar de la muestra (${\displaystyle s}$Esto alteró la distribución del estadístico de prueba, introduciendo incertidumbre adicional, especialmente cuando el tamaño de la muestra era muy pequeño. Dado que la cervecería solo podía permitirse tomar muestras muy pequeñas (a menudo tan solo tres o cuatro mediciones), la prueba Z tradicional subestimó sistemáticamente el error, lo que llevó a conclusiones incorrectas sobre la calidad de la cerveza.

Para abordar este problema, desarrolló una familia de distribuciones de probabilidad que tenían en cuenta esta variabilidad adicional. Su trabajo fundamental se publicó en 1908 en la revista Biometrika bajo el seudónimo de "Student" (debido a la política de Guinness de mantener en secreto los descubrimientos técnicos), dando lugar a lo que hoy se conoce como la distribución t de Student . La estudentización surgió como el mecanismo central subyacente a este ajuste. Posteriormente, Ronald A. Fisher refinó estas ideas formalizando el uso de grados de libertad , típicamente${\displaystyle n-1}$, que determinan la forma de la distribución t. ^{[ 4 ]}

En el análisis de regresión , los residuos estudentizados son un tipo de residuo estandarizado particularmente útil para identificar valores atípicos y observaciones influyentes. En un modelo de regresión lineal típico , los residuos brutos (la diferencia entre los valores observados y los valores predichos por el modelo) no tienen todos la misma varianza , incluso si los errores subyacentes tienen la misma varianza. Esto se debe a que la varianza de cada residuo depende del " apalancamiento " de su punto de datos correspondiente: los puntos más alejados de la media de las variables independientes tienen mayor apalancamiento y menor varianza residual.

Para que los residuos sean comparables y más fáciles de interpretar, los estadísticos utilizan la estudentización para "igualarlos". Esto se logra dividiendo cada residuo bruto por una estimación de su desviación estándar. Existen dos tipos principales de residuos estudentizados:

• Residuos estudentizados internos : Estos utilizan una estimación de la varianza basada en el conjunto de datos completo, incluyendo la observación que se está analizando. Si bien son útiles, una desventaja importante es que un valor atípico extremo puede influir en el modelo, inflando la estimación de la varianza global. Esto se conoce como "enmascaramiento", donde la propia influencia del valor atípico hace que parezca menos extremo de lo que realmente es. Por ejemplo, en un conjunto de datos con un valor atípico extremo, el residuo estudentizado interno puede parecer moderado, mientras que la versión estudentizada externa lo revela claramente.
• Residuos estudentizados externos (también conocidos como residuos eliminados ): Para superar el efecto de enmascaramiento, la varianza para el${\displaystyle i}$El residuo -ésimo se estima ajustando el modelo al conjunto de datos excluyendo el${\displaystyle i}$-ésima observación. Esto garantiza que un único punto de datos anómalo no contamine su propia estimación de error, lo que hace que este método sea mucho más sensible para la detección de valores atípicos.

El uso de residuos estudentizados es una práctica habitual en el diagnóstico de regresión . Al representar gráficamente estos residuos frente a los valores predichos, los investigadores pueden verificar si se cumplen los supuestos del modelo lineal (como la homocedasticidad ) o si ciertos datos están distorsionando los resultados del análisis completo.

Más allá de sus orígenes históricos, la estudentización aparece en diversos contextos estadísticos modernos, siendo el rango estudentizado el más utilizado. En estadística, el rango estudentizado se define como la diferencia entre los valores máximo y mínimo de una muestra, dividida por el error estándar estimado: q = (x_máx − x_mín) / s, donde s es el error estándar estimado de los datos.

Esta estadística es la base de la prueba HSD (Diferencia Honestamente Significativa) de Tukey, que permite a los investigadores comparar las medias de varios grupos para determinar cuáles difieren significativamente entre sí. Sin la estandarización, comparar múltiples grupos aumentaría significativamente el riesgo de un error de tipo I (encontrar una diferencia donde no la hay). Al utilizar una escala estandarizada, la prueba proporciona un umbral consistente que tiene en cuenta el número de grupos comparados, lo que garantiza que el nivel de confianza general del estudio se mantenga preciso.

En campos como la biología y la psicología, donde los experimentos a menudo involucran múltiples grupos de tratamiento, la distribución de rango estudentizado proporciona un marco más sólido que la realización de múltiples pruebas t individuales.

• Rango estudiado
• residuo estudiado

• Cantidad fundamental