Media aritmética

En matemáticas y estadística , la media aritmética ( / ˌ æ r ɪ θ ˈ m ɛ t ɪ k /^ⓘ arr-ith- MET -ik),promedio aritmético, o simplementemediaopromedioes la suma de una colección de números dividida por la cantidad de números en la colección.^[¹^] La colección suele ser un conjunto de resultados de unexperimento, unestudio observacionalo unaencuesta. El término "media aritmética" se prefiere en algunos contextos de matemáticas y estadística porque ayuda a distinguirla de otros tipos de medias, comola geométricayla armónica.

Las medias aritméticas también se utilizan con frecuencia en economía , antropología , historia y prácticamente en cualquier otro campo académico . Por ejemplo, el ingreso per cápita es el promedio aritmético del ingreso de la población de una nación .

Si bien la media aritmética se usa con frecuencia para informar sobre la tendencia central , no es una estadística robusta : se ve muy influenciada por los valores atípicos ( valores mucho mayores o menores que la mayoría). Para distribuciones asimétricas , como la distribución de ingresos en la que los ingresos de unas pocas personas son sustancialmente mayores que los de la mayoría, la media aritmética puede no coincidir con la noción de "centro". En ese caso, las estadísticas robustas, como la mediana , pueden proporcionar una mejor descripción de la tendencia central .

Definición

La media aritmética de un conjunto de datos observados es igual a la suma de los valores numéricos de cada observación, dividida por el número total de observaciones. Simbólicamente, para un conjunto de datos que consta de los valores $x_{1},\dots ,x_{n}$ , la media aritmética se define mediante la fórmula: ^{[ 2 ]}

{x}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}

En términos más sencillos, la fórmula para la media aritmética es:

${\frac {\text{Suma de todos los valores}}{\text{Número de valores}}}$

Por ejemplo, si los salarios mensuales de $5$ los empleados son $\{2500,2700,2300,2650,2450\}$ , entonces la media aritmética es:

${\frac {2500+2700+2300+2650+2450}{5}}=2520$

Si el conjunto de datos es una población estadística (es decir, consta de todas las observaciones posibles y no solo de un subconjunto de ellas), entonces la media de esa población se llama media poblacional y se denota con la letra griega μ. $\mu$ . Si el conjunto de datos es una muestra estadística (un subconjunto de la población), se denomina media muestral (que para un conjunto de datos $X$ se denota como ${\overline {X}}$ ).

La media aritmética se puede definir de manera similar para vectores en múltiples dimensiones, no solo para valores escalares ; a esto se le suele llamar centroide . De manera más general, debido a que la media aritmética es una combinación convexa (lo que significa que sus coeficientes suman 1/2) $1$ ), se puede definir en un espacio convexo , no solo en un espacio vectorial .

Historia

El estadístico Churchill Eisenhart , investigador principal del National Bureau of Standards de EE. UU. , rastreó la historia de la media aritmética en detalle. En la era moderna, comenzó a usarse como una forma de combinar varias observaciones que deberían ser idénticas, pero no lo eran, como las estimaciones de la dirección del norte magnético . En 1635 , el matemático Henry Gellibrand describió como "media" el punto medio de un número mínimo y uno máximo, que no era exactamente la media aritmética. En 1668 , una persona conocida como "DB" fue citada en las Transactions of the Royal Society describiendo "tomar la media" de cinco valores: ^{[ 3 ]}

En esta tabla, él [el capitán Sturmy] observa que la mayor diferencia es de 14 minutos; y así, tomando la media de la variación verdadera, concluye en ese momento que es de solo 1. grado 27. minutos.

— DB, pág. 726

Propiedades motivadoras

La media aritmética posee varias propiedades que la hacen interesante, especialmente como medida de tendencia central. Estas incluyen:

Si los números $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ tener un promedio ${\bar {x}}$ , entonces $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ . Desde $x_{i}-{\bar {x}}$ es la distancia de un número dado a la media, una forma de interpretar esta propiedad es diciendo que los números a la izquierda de la media se equilibran con los números a la derecha. La media es el único número para el cual los residuos (desviaciones de la estimación) suman cero. Esto también puede interpretarse como decir que la media es invariante traslacionalmente en el sentido de que para cualquier número real $a$ , ${\overline {x+a}}={\bar {x}}+a$ .
Si se requiere utilizar un solo número como valor "típico" para un conjunto de números conocidos $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ , entonces la media aritmética de los números hace esto mejor ya que minimiza la suma de las desviaciones al cuadrado del valor típico: la suma de $(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ . La media muestral es también el mejor predictor individual porque tiene el menor error cuadrático medio . ^{[ 4 ]} Si se desea la media aritmética de una población de números, entonces la estimación insesgada de la misma es la media aritmética de una muestra extraída de la población.

La media aritmética es independiente de la escala de las unidades de medida, en el sentido de que ${\text{avg}}(ca_{1},\cdots ,ca_{n})=c\cdot {\text{avg}}(a_{1},\cdots ,a_{n}).$ Por ejemplo, calcular la media de litros y luego convertirla a galones es lo mismo que convertirla primero a galones y luego calcular la media. Esto también se conoce como homogeneidad de primer orden .

Propiedades adicionales

La media aritmética de una muestra siempre se encuentra entre el valor máximo y el valor mínimo de dicha muestra.
La media aritmética de cualquier cantidad de grupos de números de igual tamaño es la media aritmética de las medias aritméticas de cada grupo.

Contraste con la mediana

La media aritmética difiere de la mediana , que es el valor que separa la mitad superior de la mitad inferior de un conjunto de datos. Cuando los valores de un conjunto de datos forman una progresión aritmética, la mediana y la media aritmética son iguales. Por ejemplo, en el conjunto de datos ${1,2,3,4}$ , tanto la media como la mediana son $2.5$ .

En otros casos, la media y la mediana pueden diferir significativamente. Por ejemplo, en el conjunto de datos ${1,2,4,8,16}$ , la media aritmética es $6.2$ , mientras que la mediana es $4$ Esto ocurre porque la media es sensible a los valores extremos y puede que no refleje con precisión la tendencia central de la mayoría de los datos.

Esta distinción tiene implicaciones prácticas en diferentes ámbitos. Por ejemplo, desde la década de 1980, el ingreso mediano en Estados Unidos ha aumentado a un ritmo más lento que el ingreso promedio aritmético. ^{[ 5 ]}

De manera similar, en los estudios climáticos, las distribuciones de temperatura media diaria tienden a aproximarse a una distribución normal, mientras que los totales de precipitación anual o mensual suelen presentar una distribución asimétrica, con algunos períodos que registran totales inusualmente altos, mientras que la mayoría presenta cantidades relativamente bajas. En tales casos, la mediana puede proporcionar una medida de tendencia central más representativa. ^{[ 6 ]}

Generalizaciones

Promedio ponderado

Un promedio ponderado, o media ponderada, es un promedio en el que algunos puntos de datos tienen más peso que otros, ya que se les da mayor ponderación en el cálculo. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, la media aritmética de $3$ y $5$ es ${\frac {3+5}{2}}=4$ o equivalentemente $3\cdot {\frac {1}{2}}+5\cdot {\frac {1}{2}}=4$ En cambio, una media ponderada en la que el primer número recibe, por ejemplo, el doble de peso que el segundo (quizás porque se supone que aparece el doble de veces en la población general de la que se extrajeron estos números) se calcularía como $3\cdot {\frac {2}{3}}+5\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {11}{3}}$ Aquí los pesos, que necesariamente suman uno, son ${\frac {2}{3}}$ y ${\frac {1}{3}}$ , siendo el primero el doble del segundo. La media aritmética (a veces llamada "promedio no ponderado" o "promedio ponderado por igual") puede interpretarse como un caso especial de un promedio ponderado en el que todos los pesos son iguales al mismo número ( ${\frac {1}{2}}$ en el ejemplo anterior y ${\frac {1}{n}}$ en una situación con $n$ números que se están promediando).

Funciones

En cálculo , y especialmente en cálculo multivariable , la media de una función se define de forma imprecisa como el valor promedio de la función en su dominio .

Distribuciones de probabilidad continuas

Si una propiedad numérica, y cualquier muestra de datos de ella, puede tomar cualquier valor de un rango continuo en lugar de, por ejemplo, solo enteros, entonces la probabilidad de que un número caiga en algún rango de valores posibles puede describirse integrando una distribución de probabilidad continua a lo largo de este rango, incluso cuando la probabilidad ingenua de que un número de muestra tome un valor cierto de entre infinitos es cero. En este contexto, el análogo de un promedio ponderado, en el que hay infinitas posibilidades para el valor preciso de la variable en cada rango, se llama media de la distribución de probabilidad . La distribución de probabilidad más común es la distribución normal ; tiene la propiedad de que todas las medidas de su tendencia central, incluyendo no solo la media sino también la mediana mencionada anteriormente y la moda (las tres M ^{[ 8 ]} ), son iguales. Esta igualdad no se cumple para otras distribuciones de probabilidad, como se ilustra aquí para la distribución log-normal.

Anglos

Se debe tener especial cuidado al utilizar datos cíclicos, como fases o ángulos . Calcular la media aritmética de 1 ° y 359° da como resultado 180°. Esto es incorrecto por dos razones:

Las mediciones de ángulos solo están definidas hasta una constante aditiva de 360° ( $2\pi$ o $\tau$ (si se miden en radianes ). Por lo tanto, fácilmente podrían llamarse 1° y −1°, o 361° y 719°, ya que cada uno de ellos produce un promedio diferente.
En esta situación, 0° (o 360°) es geométricamente un mejor valor promedio : hay una menor dispersión a su alrededor (los puntos están a 1° de él y a 179° de 180°, el promedio supuesto).

En la práctica, este descuido provocará que el valor medio se desplace artificialmente hacia el centro del rango numérico. Una solución a este problema consiste en utilizar la formulación de optimización (es decir, definir la media como el punto central: el punto alrededor del cual se tiene la menor dispersión) y redefinir la diferencia como una distancia modular (es decir, la distancia en el círculo: de modo que la distancia modular entre 1° y 359° sea 2°, no 358°).

Símbolos y codificación

La media aritmética se suele denotar con una barra ( vinculum o macron ), como en ${\bar {x}}$ . ^{[ 4 ]}

Véase también

Notas

↑ Si NM = a y PM = b . AM = AM de a y b , y radio r = AQ = AG.Usando el teorema de Pitágoras , QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM .Usando el teorema de Pitágoras , AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM .Usando triángulos semejantes , ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM .

Referencias

↑ Jacobs, Harold R. (1994). Matemáticas: Una empresa humana (Tercera ed.). WH Freeman . pág. 547. ISBN 0-7167-2426-X.
↑ Weisstein, Eric W. "Media aritmética" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de agosto de 2020 .
↑ Eisenhart, Churchill (24 de agosto de 1971). "El desarrollo del concepto de la mejor media de un conjunto de mediciones desde la antigüedad hasta nuestros días" (PDF) . Discurso presidencial, 131.ª Reunión Anual de la Asociación Estadounidense de Estadística, Universidad Estatal de Colorado. págs. 68-69 .
1 2 Medhi, Jyotiprasad (1992). Métodos estadísticos: un texto introductorio . New Age International. págs. 53–58 . ISBN 9788122404197.
↑ Krugman, Paul (4 de junio de 2014) [Otoño de 1992]. "Los ricos, la derecha y los hechos: deconstruyendo el debate sobre la distribución del ingreso" . The American Prospect .
↑ Barry, Roger Graham; Chorley, Richard John (2005). Atmósfera, tiempo y clima (8.ª ed.). Londres: Routledge. pág. 407. ISBN 978-0-415-27170-7.
↑ "Media | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 21 de agosto de 2020 .
↑ Thinkmap Visual Thesaurus (30 de junio de 2010). "Las tres M de la estadística: moda, mediana y media. 30 de junio de 2010" . www.visualthesaurus.com . Consultado el 3 de diciembre de 2018 .

Lecturas adicionales

Huff, Darrell (1993). Cómo mentir con estadísticas . WW Norton. ISBN 978-0-393-31072-6.

[9] Si NM = a y PM = b . AM = AM de a y b , y radio r = AQ = AG.Usando el teorema de Pitágoras , QM ² = AQ ² + AM ² ∴ QM = √ AQ ² + AM ² = QM .Usando el teorema de Pitágoras , AM ² = AG ² + GM ² ∴ GM = √ AM ² − AG ² = GM .Usando triángulos semejantes , ⁠ HM / GM ⁠ = ⁠ GM / AM ⁠ ∴ HM = ⁠ GM ² / AM ⁠ = HM .

[1] Jacobs, Harold R. (1994). Matemáticas: Una empresa humana (Tercera ed.). WH Freeman . pág. 547. ISBN 0-7167-2426-X.

[2] Weisstein, Eric W. "Media aritmética" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 21 de agosto de 2020 .

[3] Eisenhart, Churchill (24 de agosto de 1971). "El desarrollo del concepto de la mejor media de un conjunto de mediciones desde la antigüedad hasta nuestros días" (PDF) . Discurso presidencial, 131.ª Reunión Anual de la Asociación Estadounidense de Estadística, Universidad Estatal de Colorado. págs. 68-69 .

[JM-4] 1 2 Medhi, Jyotiprasad (1992). Métodos estadísticos: un texto introductorio . New Age International. págs. 53–58 . ISBN 9788122404197.

[5] Krugman, Paul (4 de junio de 2014) [Otoño de 1992]. "Los ricos, la derecha y los hechos: deconstruyendo el debate sobre la distribución del ingreso" . The American Prospect .

[6] Barry, Roger Graham; Chorley, Richard John (2005). Atmósfera, tiempo y clima (8.ª ed.). Londres: Routledge. pág. 407. ISBN 978-0-415-27170-7.

[7] "Media | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 21 de agosto de 2020 .

[ThreeMs-8] Thinkmap Visual Thesaurus (30 de junio de 2010). "Las tres M de la estadística: moda, mediana y media. 30 de junio de 2010" . www.visualthesaurus.com . Consultado el 3 de diciembre de 2018 .

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