Método de descenso más pronunciado

En matemáticas , el método del descenso más pronunciado o método del punto de silla es una extensión del método de Laplace para aproximar una integral. En este método, se deforma una integral de contorno en el plano complejo para que pase cerca de un punto estacionario ( punto de silla ), aproximadamente en la dirección del descenso más pronunciado o fase estacionaria. La aproximación del punto de silla se utiliza con integrales en el plano complejo, mientras que el método de Laplace se utiliza con integrales reales.

La integral que se va a estimar suele tener la forma

\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,dz,

donde C es un contorno y λ es grande. Una versión del método del descenso más pronunciado deforma el contorno de integración C en una nueva trayectoria de integración C′ de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

C′ pasa por uno o más ceros de la derivada g ′( z ),
La parte imaginaria de g ( z ) es constante en C′ .

El método del descenso más pronunciado fue publicado por primera vez por Debye (1909) , quien lo utilizó para estimar funciones de Bessel y señaló que aparecía en la nota inédita de Riemann (1863) sobre funciones hipergeométricas . El contorno del descenso más pronunciado posee una propiedad minimax, véase Fedoryuk (2001) . Siegel (1932) describió otras notas inéditas de Riemann, donde utilizó este método para derivar la fórmula de Riemann-Siegel .

Cuando se aplica a la distribución de la suma de un gran número de variables aleatorias independientes en estadística, el método del descenso más pronunciado se denomina método de aproximación del punto de silla . En física estadística , esta aproximación se utiliza ampliamente en el límite termodinámico para evaluar funciones de partición y energías libres . ^{[ 1 ]}^{: 341-342}

Idea básica

El método del descenso más pronunciado es un método para aproximar una integral compleja de la forma $I(\lambda )=\int _{C}f(z)e^{\lambda g(z)}\,\mathrm {d} z$ para grandes $\lambda \rightarrow \infty$ , dónde $f(z)$ y $g(z)$ son funciones analíticas de $z$ . Debido a que el integrando es analítico, el contorno $C$ puede deformarse en un nuevo contorno $C'$ sin cambiar la integral. En particular, se busca un nuevo contorno en el que la parte imaginaria, denotada $\Im (\cdot )$ , de $g(z)=\Re [g(z)]+i\,\Im [g(z)]$ es constante ( $\Re (\cdot )$ denota la parte real ). Entonces $I(\lambda )=e^{i\lambda \Im \{g(z)\}}\int _{C'}f(z)e^{\lambda \Re \{g(z)\}}\,\mathrm {d} z,$ y la integral restante puede aproximarse con otros métodos como el método de Laplace . ^{[ 2 ]}

Etimología

El método se llama método del descenso más pronunciado porque para el análisis $g(z)$ Los contornos de fase constante son equivalentes a los contornos de descenso más pronunciado.

Si $g(z)=X(z)+iY(z)$ es una función analítica de $z=x+iy$ Satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. ${\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial y}}\qquad {\text{y}}\qquad {\frac {\partial X}{\partial y}}=-{\frac {\partial Y}{\partial x}}.$ Entonces ${\frac {\partial X}{\partial x}}{\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial y}}{\frac {\partial Y}{\partial y}}=\nabla X\cdot \nabla Y=0,$ Por lo tanto, las curvas de nivel de fase constante son también curvas de nivel de descenso más pronunciado.

Una estimación simple

Sea $f$ $,$ $S$ $:$ $C$ $n$ $\to$ $C$ y $C$ $\subset$ $C$ $n$ . Si

M=\sup _{x\in C}\Re (S(x))<\infty ,

dónde $\Re (\cdot )$ denota la parte real, y existe un número real positivo $λ 0$ tal que

\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx<\infty ,

Entonces se cumple la siguiente estimación: ^{[ 3 ]}

\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|\leqslant {\text{const}}\cdot e^{\lambda M},\qquad \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\quad \lambda \geqslant \lambda _{0}.

Prueba de la estimación simple:

{\begin{aligned}\left|\int _{C}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\right|&\leqslant \int _{C}|f(x)|\left|e^{\lambda S(x)}\right|dx\\&\equiv \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|dx\\&\leqslant \int _{C}|f(x)|e^{\lambda M}\left|e^{\lambda _{0}(S(x)-M)}\right|dx&&\left|e^{(\lambda -\lambda _{0})(S(x)-M)}\right|\leqslant 1\\&=\underbrace {e^{-\lambda _{0}M}\int _{C}\left|f(x)e^{\lambda _{0}S(x)}\right|dx} _{\text{const}}\cdot e^{\lambda M}.\end{aligned}}

El caso de un único punto de silla no degenerado

Nociones y notación básicas

Sea $x$ un vector complejo $n$ -dimensional, y

S''{}_{xx}(x)\equiv \left({\frac {\partial ^{2}S(x)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i,\,j\leqslant n,

denotamos la matriz hessiana para una función $S (x)$ . Si

{\boldsymbol {\varphi }}(x)=(\varphi _{1}(x),\varphi _{2}(x),\ldots ,\varphi _{k}(x))

es una función vectorial, entonces su matriz jacobiana se define como

{\boldsymbol {\varphi }}_{x}'(x)\equiv \left({\frac {\partial \varphi _{i}(x)}{\partial x_{j}}}\right),\qquad 1\leqslant i\leqslant k,\quad 1\leqslant j\leqslant n.

Un punto de silla no degenerado , $z 0 \in C n$ , de una función holomorfa $S (z)$ es un punto crítico de la función (es decir, $\nabla S (z 0) = 0 ) donde la matriz hessiana de la función tiene un$ determinante no nulo (es decir, $\det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0$ ).

La siguiente es la herramienta principal para construir la asintótica de integrales en el caso de un punto de silla no degenerado:

Lema complejo de Morse

El lema de Morse para funciones de valor real se generaliza de la siguiente manera ^{[ 4 ]} para funciones holomorfas : cerca de $un punto$ $de$ silla no degenerado $z₀$ de una función holomorfa $S (z)$ , existen coordenadas en términos de las cuales $S (z) - S (z₀)$ es exactamente cuadrática. Para precisar esto, sea $S$ $una$ función holomorfa con dominio $W \subset Cₙ$ , y sea $z₀$ en $W un punto$ $de$ silla no degenerado de $S$ $,$ es decir, $\nablaS (z₀ ) = 0$ y $\det S''{}_{zz}(z^{0})\neq 0$ Entonces existen entornos $U \subset W$ de $z 0$ y $V \subset C n$ de $w = 0$ , y una función holomorfa biyectiva $φ : V \to U$ con $φ (0) = z 0$ tal que

\forall w\in V:\qquad S({\boldsymbol {\varphi }}(w))=S(z^{0})+{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}w_{j}^{2},\quad \det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1,

Aquí, los $μ j$ son los valores propios de la matriz. $S''{}_{zz}(z^{0})$ .

Demostración del lema complejo de Morse

La siguiente demostración es una generalización directa de la demostración del lema de Morse real , que se puede encontrar en ^{[ 5 ]} . Comenzamos demostrando

Declaración auxiliar. Sea

f

:

C

n

\to

C

holomorfa en un entorno del origen y

f

(0) = 0 . Entonces

, en algún entorno, existen funciones

g

i

:

C

n

\to

C

tales que

f(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z),

donde cada

g i

es holomorfo y

g_{i}(0)=\left.{\tfrac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.

Desde la identidad

f(z)=\int _{0}^{1}{\frac {d}{dt}}f\left(tz_{1},\cdots ,tz_{n}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}z_{i}\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt,

concluimos que

g_{i}(z)=\int _{0}^{1}\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=(tz_{1},\ldots ,tz_{n})}dt

y

g_{i}(0)=\left.{\frac {\partial f(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}.

Sin pérdida de generalidad, trasladamos el origen a $z 0$ , de modo que $z 0 = 0$ y $S (0) = 0$ . Usando la Declaración Auxiliar, tenemos

S(z)=\sum _{i=1}^{n}z_{i}g_{i}(z).

Dado que el origen es un punto de silla,

\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{i}}}\right|_{z=0}=g_{i}(0)=0,

También podemos aplicar la Declaración Auxiliar a las funciones $g i (z)$ y obtener

Recordemos que una matriz arbitraria $A$ puede representarse como una suma de matrices simétricas $A (s)$ y antisimétricas $A (a) ,$

A_{ij}=A_{ij}^{(s)}+A_{ij}^{(a)},\qquad A_{ij}^{(s)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}+A_{ji}\right),\qquad A_{ij}^{(a)}={\tfrac {1}{2}}\left(A_{ij}-A_{ji}\right).

La contracción de cualquier matriz simétrica B con una matriz arbitraria $A$ es

es decir, el componente antisimétrico de $A$ no contribuye porque

\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=\sum _{i,j}B_{ji}C_{ji}=-\sum _{i,j}B_{ij}C_{ij}=0.

Por lo tanto, se puede suponer que $h ij (z)$ en la ecuación (1) es simétrica con respecto al intercambio de los índices $i$ y $j$ . Nótese que

\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{i}\partial z_{j}}}\right|_{z=0}=2h_{ij}(0);

Por lo tanto, $det(h ij (0)) \neq 0$ porque el origen es un punto de silla no degenerado.

Demostremos por inducción que existen coordenadas locales $u = (u 1, ... u n), z = ψ (u), 0 = ψ (0)$ , tales que

Primero, supongamos que existen coordenadas locales $y = (y 1, ... y n), z = φ (y), 0 = φ (0)$ , tales que

donde $H ij$ es simétrica debido a la ecuación (2). Mediante un cambio lineal de las variables $(y r, ... y n)$ , podemos asegurar que $H rr (0) \neq 0$ . De la regla de la cadena , tenemos

{\frac {\partial ^{2}S({\boldsymbol {\phi }}(y))}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}=\sum _{l,k=1}^{n}\left.{\frac {\partial ^{2}S(z)}{\partial z_{k}\partial z_{l}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial \phi _{l}}{\partial y_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {\partial S(z)}{\partial z_{k}}}\right|_{z={\boldsymbol {\phi }}(y)}{\frac {\partial ^{2}\phi _{k}}{\partial y_{i}\partial y_{j}}}

Por lo tanto:

S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))={\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)^{T}S''{}_{zz}(0){\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0),\qquad \det {\boldsymbol {\phi }}'_{y}(0)\neq 0;

De dónde,

0\neq \det S''{}_{yy}({\boldsymbol {\phi }}(0))=2^{r-1}\det \left(2H_{ij}(0)\right).

La matriz $(H ij (0))$ puede reescribirse en la forma normal de Jordan : $(H ij (0)) = LJL -1$ , donde $L$ da la transformación lineal no singular deseada y la diagonal de $J contiene$ los autovalores no nulos de $(H ij (0))$ . Si $H ij (0) \neq 0$ entonces, debido a la continuidad de $H ij (y)$ , también debe ser no nula en algún entorno del origen. Habiendo introducido ${\tilde {H}}_{ij}(y)=H_{ij}(y)/H_{rr}(y)$ , escribimos

{\begin{aligned}S({\boldsymbol {\varphi }}(y))=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[y_{r}^{2}+2y_{r}\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)+\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\right]\\=&y_{1}^{2}+\cdots +y_{r-1}^{2}+H_{rr}(y)\left[\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}-\left(\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right)^{2}\right]+H_{rr}(y)\sum _{i,j=r+1}^{n}y_{i}y_{j}{\tilde {H}}_{ij}(y)\end{aligned}}

Motivados por la última expresión, introducimos nuevas coordenadas $z = η (x), 0 = η (0),$

x_{r}={\sqrt {H_{rr}(y)}}\left(y_{r}+\sum _{j=r+1}^{n}y_{j}{\tilde {H}}_{rj}(y)\right),\qquad x_{j}=y_{j},\quad \forall j\neq r.

El cambio de las variables $y \leftrightarrow x$ es localmente invertible ya que el jacobiano correspondiente no es cero,

\left.{\frac {\partial x_{r}}{\partial y_{k}}}\right|_{y=0}={\sqrt {H_{rr}(0)}}\left[\delta _{r,\,k}+\sum _{j=r+1}^{n}\delta _{j,\,k}{\tilde {H}}_{jr}(0)\right].

Por lo tanto,

Comparando las ecuaciones (4) y (5), concluimos que la ecuación (3) se verifica. Denotando los valores propios de $S''{}_{zz}(0)$ por $μ j$ , la ecuación (3) se puede reescribir como

Por lo tanto,

De la ecuación (6) se deduce que $\det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\mu _{1}\cdots \mu _{n}$ . La forma normal de Jordan $S''{}_{zz}(0)$ lecturas $S''{}_{zz}(0)=PJ_{z}P^{-1}$ , donde $J z$ es una matriz diagonal superior que contiene los valores propios y $det P \neq 0$ ; por lo tanto, $\det S''{}_{zz}(0)=\mu _{1}\cdots \mu _{n}$ . Obtenemos de la ecuación (7)

\det S''{}_{ww}({\boldsymbol {\varphi }}(0))=\left[\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)\right]^{2}\det S''{}_{zz}(0)\Longrightarrow \det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=\pm 1.

Si $\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=-1$ , entonces intercambiar dos variables asegura que $\det {\boldsymbol {\varphi }}'_{w}(0)=+1$ .

El desarrollo asintótico en el caso de un único punto de silla no degenerado

Asumir

$f (z)$ y $S (z)$ son funciones holomorfas en unconjunto abierto , acotado y simplemente conexo $Ω x \subset C n$ tal que $I x = Ω x \cap R n$ es conexo ;
$\Re (S(z))$ tiene un único máximo: $\max _{z\in I_{x}}\Re (S(z))=\Re (S(x^{0}))$ para exactamente un punto $x 0 \in I x$ ;
$x 0$ es un punto de silla no degenerado (es decir, $\nabla S (x 0) = 0$ y $\det S''{}_{xx}(x^{0})\neq 0$ ).

Entonces, se cumple la siguiente condición asintótica.

donde $μ j$ son los valores propios de la matriz hessiana. $S''{}_{xx}(x^{0})$ y $(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}$ se definen con argumentos

Esta afirmación es un caso especial de resultados más generales presentados en Fedoryuk (1987). ^{[ 6 ]}

Derivación de la ecuación (8)

Primero, deformamos el contorno $I x$ en un nuevo contorno. $I'_{x}\subset \Omega _{x}$ pasando por el punto de silla $x 0$ y compartiendo el límite con $I x$ . Esta deformación no cambia el valor de la integral $I (λ)$ . Empleamos el Lema de Morse Complejo para cambiar las variables de integración. Según el lema, la función $φ (w)$ mapea un entorno $x 0 \in U \subset Ω x$ sobre un entorno $Ω w$ que contiene el origen. La integral $I (λ)$ se puede dividir en dos: $I (λ) = I 0 (λ) + I 1 (λ)$ , donde $I 0 (λ)$ es la integral sobre $U\cap I'_{x}$ , mientras que $I 1 (λ)$ está sobre $I'_{x}\setminus (U\cap I'_{x})$ (es decir, la parte restante del contorno $I' x$ ). Dado que esta última región no contiene el punto de silla $x 0$ , el valor de $I 1 (λ)$ es exponencialmente menor que $I 0 (λ)$ cuando $λ \to \infty$ ; ^{[ 7 ]} por lo tanto, se ignora $I 1 (λ) . Introduciendo el contorno$ $I w$ tal que $U\cap I'_{x}={\boldsymbol {\varphi }}(I_{w})$ , tenemos

Recordando que $x 0 = φ (0)$ así como $\det {\boldsymbol {\varphi }}_{w}'(0)=1$ , expandimos la función preexponencial $f[{\boldsymbol {\varphi }}(w)]$ en una serie de Taylor y conservar solo el término de orden cero principal.

Aquí, hemos sustituido la región de integración $I w$ por $R n$ porque ambas contienen el origen, que es un punto de silla, por lo tanto son iguales salvo un término exponencialmente pequeño. ^{[ 8 ]} Las integrales en el lado derecho de la ecuación (11) se pueden expresar como

De esta representación, concluimos que la condición (9) debe cumplirse para que el lado derecho y el lado izquierdo de la ecuación (12) coincidan. Según la suposición 2, $\Re \left(S''{}_{xx}(x^{0})\right)$ es una forma cuadrática definida negativamente (es decir, $\Re (\mu _{j})<0$ ) lo que implica la existencia de la integral ${\mathcal {I}}_{j}$ , que se calcula fácilmente

{\mathcal {I}}_{j}={\frac {2}{{\sqrt {-\mu _{j}}}{\sqrt {\lambda }}}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\xi ^{2}}{2}}}d\xi ={\sqrt {\frac {2\pi }{\lambda }}}(-\mu _{j})^{-{\frac {1}{2}}}.

La ecuación (8) también se puede escribir como

donde la rama de

{\sqrt {\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)}}

se selecciona de la siguiente manera

{\begin{aligned}\left(\det \left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}&=\exp \left(-i{\text{ Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)\right)\prod _{j=1}^{n}\left|\mu _{j}\right|^{-{\frac {1}{2}}},\\{\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)&={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\arg(-\mu _{j}),&&|\arg(-\mu _{j})|<{\tfrac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

Consideremos casos especiales importantes:

Si $S (x)$ es de valor real para $x$ real y $x 0$ en $R n$ (también conocido como el método de Laplace multidimensional ), entonces ^{[ 9 ]} ${\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)=0.$
Si $S (x)$ es puramente imaginario para $x$ real (es decir, $\Re (S(x))=0$ para todo $x$ en $R n$ ) y $x 0$ en $R n$ (también conocido como el método de fase estacionaria multidimensional ), ^{[ 10 ]} entonces ^{[ 11 ]} ${\text{Ind}}\left(-S''{}_{xx}(x^{0})\right)={\frac {\pi }{4}}{\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0}),$ dónde ${\text{sign }}S''{}_{xx}(x_{0})$ denota la firma de la matriz $S''{}_{xx}(x_{0})$ , que es igual al número de autovalores negativos menos el número de autovalores positivos. Es notable que en las aplicaciones del método de fase estacionaria a la aproximación WKB multidimensional en mecánica cuántica (así como en óptica), $Ind$ está relacionado con el índice de Maslov , véase, por ejemplo, Chaichian y Demichev (2001) y Schulman (2005) .

El caso de múltiples puntos de silla no degenerados

Si la función $S (x)$ tiene múltiples puntos de silla aislados no degenerados, es decir,

\nabla S\left(x^{(k)}\right)=0,\quad \det S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\neq 0,\quad x^{(k)}\in \Omega _{x}^{(k)},

dónde

\left\{\Omega _{x}^{(k)}\right\}_{k=1}^{K}

es una cubierta abierta de $Ω x$ , entonces el cálculo de la integral asintótica se reduce al caso de un único punto de silla empleando la partición de la unidad . La partición de la unidad nos permite construir un conjunto de funciones continuas $ρ k (x) : Ω x \to [0, 1], 1 \leq k \leq K,$ tales que

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{K}\rho _{k}(x)&=1,&&\forall x\in \Omega _{x},\\\rho _{k}(x)&=0&&\forall x\in \Omega _{x}\setminus \Omega _{x}^{(k)}.\end{aligned}}

De dónde,

\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx\equiv \sum _{k=1}^{K}\int _{I_{x}\subset \Omega _{x}}\rho _{k}(x)f(x)e^{\lambda S(x)}dx.

Por lo tanto, cuando $λ \to \infty$ tenemos:

\sum _{k=1}^{K}\int _{{\text{a neighborhood of }}x^{(k)}}f(x)e^{\lambda S(x)}dx=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{\frac {n}{2}}\sum _{k=1}^{K}e^{\lambda S\left(x^{(k)}\right)}\left(\det \left(-S''{}_{xx}\left(x^{(k)}\right)\right)\right)^{-{\frac {1}{2}}}f\left(x^{(k)}\right),

donde la ecuación (13) se utilizó en la última etapa, y la función preexponencial $f$ $($ $x$ $)$ debe ser al menos continua.

Los otros casos

Cuando $\nabla S (z 0) = 0$ y $\det S''{}_{zz}(z^{0})=0$ , el punto $z 0 \in C n$ se denomina punto de silla degenerado de una función $S (z)$ .

Calculando la asintótica de

\int f(x)e^{\lambda S(x)}dx,

Cuando $λ \to \infty, f (x)$ es continua y $S (z)$ tiene un punto de silla degenerado, se trata de un problema muy complejo, cuya solución depende en gran medida de la teoría de catástrofes . En este caso, la teoría de catástrofes reemplaza el lema de Morse , válido solo en el caso no degenerado, para transformar la función $S (z)$ en una de las múltiples representaciones canónicas. Para más detalles, véanse, por ejemplo, Poston y Stewart (1978) y Fedoryuk (1987) .

Las integrales con puntos de silla degenerados aparecen de forma natural en muchas aplicaciones, incluidas las cáusticas ópticas y la aproximación WKB multidimensional en mecánica cuántica.

Los otros casos, como por ejemplo, cuando $f$ $($ $x$ $)$ y/o $S$ $($ $x$ $)$ son discontinuos o cuando un extremo de $S$ $($ $x$ $)$ se encuentra en el límite de la región de integración, requieren un cuidado especial (véase, por ejemplo, Fedoryuk (1987) y Wong (1989) ).

Extensiones y generalizaciones

Una extensión del método del descenso más pronunciado es el llamado método de fase estacionaria no lineal/descenso más pronunciado . En este método, en lugar de integrales, se evalúan asintóticamente soluciones de problemas de factorización de Riemann-Hilbert .

Dado un contorno C en la esfera compleja , una función f definida sobre dicho contorno y un punto especial, por ejemplo el infinito, se busca una función M holomorfa que se desplace fuera del contorno C , con un salto prescrito a través de C y con una normalización dada en el infinito. Si f y, por lo tanto, M son matrices en lugar de escalares, este es un problema que, en general, no admite una solución explícita.

Posteriormente, es posible realizar una evaluación asintótica siguiendo el método de fase estacionaria lineal/descenso más pronunciado. La idea es reducir asintóticamente la solución del problema de Riemann - Hilbert dado a la de un problema de Riemann - Hilbert más simple y explícitamente resoluble . El teorema de Cauchy se utiliza para justificar las deformaciones del contorno de salto.

La fase estacionaria no lineal fue introducida por Deift y Zhou en 1993, basándose en trabajos previos del matemático ruso Alexander Its . Un método de descenso más pronunciado (propiamente hablando) no lineal fue introducido por Kamvissis, K. McLaughlin y P. Miller en 2003, basándose en trabajos previos de Lax, Levermore, Deift, Venakides y Zhou. Al igual que en el caso lineal, los contornos de descenso más pronunciado resuelven un problema de minimización-maximización. En el caso no lineal, resultan ser "curvas en S" (definidas en un contexto diferente en la década de 1980 por Stahl, Gonchar y Rakhmanov).

El método de fase estacionaria no lineal/descenso más pronunciado tiene aplicaciones en la teoría de ecuaciones de solitones y modelos integrables , matrices aleatorias y combinatoria .

Otra extensión es el método de Chester-Friedman-Ursell para la coalescencia de puntos de silla y extensiones asintóticas uniformes.

Véase también

Notas

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↑ Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I. Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4757-3069-2 . ISBN 978-1-4419-3187-0.
↑ Una versión modificada del Lema 2.1.1 en la página 56 de Fedoryuk (1987) .
↑ Lema 3.3.2 en la página 113 de Fedoryuk (1987)
↑ Poston y Stewart (1978) , página 54; véase también el comentario en la página 479 de Wong (1989) .
↑ Fedoryuk (1987) , páginas 417-420.
↑ Esta conclusión se deriva de una comparación entre el final asintótico para $I 0 (λ)$ , dado por la ecuación (8), y una estimación simple para la integral descartada $I 1 (λ)$ .
↑ Esto se justifica comparando la integral asintótica sobre $R n$ [ver ecuación (8)] con una estimación simple para la parte alterada.
↑ Véase la ecuación (4.4.9) en la página 125 de Fedoryuk (1987).
↑ Rigurosamente hablando, este caso no puede inferirse de la ecuación (8) porque se viola la segunda suposición , utilizada en la derivación. Para incluir el caso discutido de una función de fase puramente imaginaria, la condición (9) debe ser reemplazada por $\left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.$
↑ Véase la ecuación (2.2.6') en la página 186 de Fedoryuk (1987).

Referencias

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Wong, R. (1989), Aproximaciones asintóticas de integrales , Academic Press.

[1] MacKay, David JC (2003). Teoría de la información, inferencia y algoritmos de aprendizaje . Cambridge, Reino Unido ; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64298-9.

[2] Bender, Carl M.; Orszag, Steven A. (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros I. Nueva York, NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4757-3069-2 . ISBN 978-1-4419-3187-0.

[3] Una versión modificada del Lema 2.1.1 en la página 56 de Fedoryuk (1987) .

[4] Lema 3.3.2 en la página 113 de Fedoryuk (1987)

[5] Poston y Stewart (1978) , página 54; véase también el comentario en la página 479 de Wong (1989) .

[6] Fedoryuk (1987) , páginas 417-420.

[7] Esta conclusión se deriva de una comparación entre el final asintótico para $I 0 (λ)$ , dado por la ecuación (8), y una estimación simple para la integral descartada $I 1 (λ)$ .

[8] Esto se justifica comparando la integral asintótica sobre $R n$ [ver ecuación (8)] con una estimación simple para la parte alterada.

[9] Véase la ecuación (4.4.9) en la página 125 de Fedoryuk (1987).

[10] Rigurosamente hablando, este caso no puede inferirse de la ecuación (8) porque se viola la segunda suposición , utilizada en la derivación. Para incluir el caso discutido de una función de fase puramente imaginaria, la condición (9) debe ser reemplazada por $\left|\arg {\sqrt {-\mu _{j}}}\right|\leqslant {\tfrac {\pi }{4}}.$

[11] Véase la ecuación (2.2.6') en la página 186 de Fedoryuk (1987).

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