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Conjeturas de Stark

En teoría de números , las conjeturas de Stark , introducidas por Stark ( 1971 , 1975 , 1976 , 1980 ) y posteriormente ampliadas por Tate ( 1984 ) , proporcionan información con...

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En teoría de números , las conjeturas de Stark , introducidas por Stark ( 1971 , 1975 , 1976 , 1980 ) y posteriormente ampliadas por Tate ( 1984 ) , proporcionan información conjetural sobre el coeficiente del término principal en el desarrollo de Taylor de una función L de Artin asociada a una extensión de Galois K / k de cuerpos numéricos algebraicos . Las conjeturas generalizan la fórmula analítica de números de clase que expresa el coeficiente principal de la serie de Taylor para la función zeta de Dedekind de un cuerpo numérico como el producto de un regulador relacionado con las unidades S del cuerpo y un número racional .  

Cuando K / k es una extensión abeliana y el orden de anulación de la función L en s  =  0 es uno, Stark dio un refinamiento de su conjetura, prediciendo la existencia de ciertas unidades S, llamadas unidades de Stark , que generan extensiones abelianas de cuerpos numéricos.

Formulación

Caso general

Las conjeturas de Stark, en su forma más general, predicen que el coeficiente principal de una función L de Artin es el producto de un tipo de regulador, el regulador de Stark , con un número algebraico .

caso de rango uno abeliano

Cuando la extensión es abeliana y el orden de anulación de una función L en s  =  0 es uno, la conjetura refinada de Stark predice la existencia de unidades de Stark , cuyas raíces generan extensiones de Kummer de K que son abelianas sobre el cuerpo base k (y no solo abelianas sobre K , como implica la teoría de Kummer). Por lo tanto, este refinamiento de su conjetura tiene implicaciones teóricas para la resolución del duodécimo problema de Hilbert .

Cálculo

Las unidades de Stark en el caso abeliano de rango uno se han calculado en ejemplos específicos, lo que permite verificar la veracidad de su conjetura refinada. Estas unidades también proporcionan una importante herramienta computacional para generar extensiones abelianas de cuerpos numéricos, constituyendo la base de algunos algoritmos estándar para el cálculo de dichas extensiones.

Los primeros casos de rango cero se utilizan en versiones recientes del sistema de álgebra computacional PARI/GP para calcular campos de clases de Hilbert de campos de números totalmente reales, y las conjeturas proporcionan una solución al duodécimo problema de Hilbert, que desafió a los matemáticos a mostrar cómo se pueden construir campos de clases sobre cualquier campo numérico mediante los métodos del análisis complejo .

Progreso

La conjetura principal de Stark se ha demostrado en algunos casos especiales, como cuando el carácter que define la función L toma solo valores racionales. Excepto cuando el cuerpo base es el cuerpo de los números racionales o un cuerpo cuadrático imaginario , que fueron tratados en el trabajo de Stark, [ 1 ] la conjetura abeliana de Stark aún no se ha demostrado para cuerpos numéricos. Se ha avanzado más en cuerpos de funciones de una variedad algebraica .

Manin ( 2004 ) relacionó las conjeturas de Stark con la geometría no conmutativa de Alain Connes . [ 2 ] Esto proporciona un marco conceptual para estudiar las conjeturas, aunque por el momento no está claro si las técnicas de Manin producirán la demostración real. 

Variaciones

En 1980, Benedict Gross formuló la conjetura de Gross-Stark , un análogo p -ádico de las conjeturas de Stark que relacionan las derivadas de las funciones L p -ádicas de Deligne-Ribet (para caracteres totalmente pares de cuerpos de números totalmente reales ) con las p - unidades. [ 3 ] Esto fue demostrado condicionalmente por Henri Darmon , Samit Dasgupta y Robert Pollack en 2011. [ 4 ] La demostración fue completada y hecha incondicional por Dasgupta, Mahesh Kakde y Kevin Ventullo en 2018. [ 5 ] Gross propuso un refinamiento adicional de la conjetura p -ádica en 1988. [ 6 ]

En 1984, John Tate formuló la conjetura de Brumer-Stark , que proporciona un refinamiento de la conjetura de Stark abeliana de rango uno en primos finitos totalmente escindidos (para extensiones totalmente complejas de cuerpos base totalmente reales). El análogo de cuerpo de funciones de la conjetura de Brumer-Stark fue demostrado por John Tate y Pierre Deligne en 1984. [ 7 ] [ 8 ] En 2023, Dasgupta y Kakde demostraron la conjetura de Brumer-Stark fuera del primo 2. [ 9 ]

En 1996, Karl Rubin propuso un refinamiento integral de la conjetura de Stark en el caso abeliano. [ 10 ] En 1999, Cristian Dumitru Popescu propuso un análogo de la conjetura de Rubin en el campo de funciones y lo demostró en algunos casos. [ 11 ]

Notas

  1. ↑ Stark, Harold M. (1980), "Funciones L en s  =  1. IV. Primeras derivadas en s  =  0", Advances in Mathematics , 35 (3): 197–235 , doi : 10.1016/0001-8708(80)90049-3 , ISSN 0001-8708 , MR 0563924  
  2. ↑ Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría moderna de números . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (Segunda ed.). pág. 171. ISBN    978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .  
  3. ↑ Gross, Benedict H. (1982). " Serie L p -ádica en s = 0". Revista de la Facultad de Ciencias, Universidad de Tokio . 28 : 979–994 .
  4. ↑ Darmon, Henri; Dasgupta, Samit; Pollack, Robert (2011). "Formas modulares de Hilbert y la conjetura de Gross-Stark" . Annals of Mathematics . 174 (1): 439– 484. doi : 10.4007/annals.2011.174.1.12 .
  5. ↑ Dasgupta, Samit; Kakde, Mahesh; Ventullo, Kevin (2018). "Sobre la conjetura de Gross-Stark" (PDF) . Annals of Mathematics . 188 (3): 833– 870. doi : 10.4007/annals.2018.188.3.3 .
  6. ↑ Gross, Benedict H. (1988). "Sobre los valores de las funciones L abelianas en s = 0". Revista de la Facultad de Ciencias, Universidad de Tokio . 35 : 177–197 .
  7. ^ Tate, John (1984). Las conjeturas de Stark sobre las funciones L d'Artin en s = 0 . Progreso en Matemáticas. vol. 47. Boston, MA: Birkhäuser . 
  8. ↑ Rosen, Michael (2002), "15. La conjetura de Brumer-Stark", Teoría de números en campos de funciones , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 210, Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN  0-387-95335-3, Zbl 1043.11079 
  9. ↑ Dasgupta, Samit; Kakde, Mahesh (2023). "Sobre la conjetura de Brumer-Stark y sus refinamientos". Annals of Mathematics . 197 (1): 289– 388. doi : 10.4007/annals.2023.197.1.5 . S2CID 219557526 . 
  10. ↑ Rubin, Karl (1996). "Una conjetura de Stark "sobre Z" para funciones L abelianas con múltiples ceros" . Annales de l'Institut Fourier . 46 : 33–62 . doi : 10.5802/aif.1505 .
  11. ↑ Popescu, Cristian D. (1999). "Sobre una conjetura de Stark refinada para campos de funciones" . Compositio Mathematica . 116 (3): 321– 367. doi : 10.1023/A:1000833610462 . S2CID 15198245 . 

Referencias

  • Burns, David; Sands, Jonathan; Solomon, David, eds. (2004), Las conjeturas de Stark: trabajos recientes y nuevas direcciones , Contemporary Mathematics, vol.  358, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/conm/358 , ISBN 978-0-8218-3480-0, MR 2090725 , archivado del original el 26/04/2012 
  • Manin, Yuri Ivanovich (2004), "Multiplicación real y geometría no conmutativa (ein Alterstraum)", en Piene, Ragni; Laudal, Olav Arnfinn (eds.), El legado de Niels Henrik Abel , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 685–727 , arXiv : math/0202109 , Bibcode : 2002math......2109M , ISBN  978-3-540-43826-7, MR 2077591 
  • Popescu, Cristian D. (1999), "Sobre una conjetura de Stark refinada para campos de funciones", Compositio Mathematica , 116 (3): 321–367 , doi : 10.1023/A:1000833610462 , ISSN 0010-437X , MR 1691163  
  • Rubin, Karl (1996), "Una conjetura de Stark sobre Z para funciones L abelianas con múltiples ceros" , Annales de l'Institut Fourier , 46 (1): 33–62 , doi : 10.5802/aif.1505 , ISSN 0373-0956 , MR 1385509  
  • Stark, Harold M. (1971), "Valores de las funciones L en s  =  1. I. Funciones L para formas cuadráticas.", Advances in Mathematics , 7 (3): 301– 343, doi : 10.1016/S0001-8708(71)80009-9 , ISSN 0001-8708 , MR 0289429  
  • Stark, Harold M. (1975), "Funciones L en s  =  1. II. Funciones L de Artin con caracteres racionales", Advances in Mathematics , 17 (1): 60–92 , doi : 10.1016/0001-8708(75)90087-0 , ISSN 0001-8708 , MR 0382194  
  • Stark, HM (1977), "Campos de clases y formas modulares de peso uno", en Serre, Jean-Pierre ; Zagier, DB (eds.), Funciones modulares de una variable V: Actas de la Conferencia Internacional, Universidad de Bonn, Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik, julio de 1976 , Lecture Notes in Math, vol.  601, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 277–287 , doi : 10.1007/BFb0063951 , ISBN  978-3-540-08348-1, MR 0450243 
  • Stark, Harold M. (1976), "Funciones L en s  =  1. III. Campos totalmente reales y el duodécimo problema de Hilbert", Advances in Mathematics , 22 (1): 64–84 , doi : 10.1016/0001-8708(76)90138-9 , ISSN 0001-8708 , MR 0437501  
  • Stark, Harold M. (1980), "Funciones L en s  =  1. IV. Primeras derivadas en s  =  0", Advances in Mathematics , 35 (3): 197–235 , doi : 10.1016/0001-8708(80)90049-3 , ISSN 0001-8708 , MR 0563924  
  • Tate, John (1984), "Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s=0" , Programación matemática , Progreso en matemáticas, 47 ( 1– 3), Boston, MA: Birkhäuser Boston: 143– 153, doi : 10.1007/BF01580857 , ISBN 978-0-8176-3188-8, MR 0782485 , S2CID 13291194  {{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )
  • Hayes, David R. (1999), Lecciones sobre las conjeturas de Stark , archivado del original el 4 de febrero de 2012.