Error estándar

Supongamos que una muestra estadísticamente independiente de${\displaystyle n}$observaciones${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$se toma de una población estadística con una desviación estándar de${\displaystyle \sigma }$(la desviación estándar de la población). El valor medio calculado a partir de la muestra,${\displaystyle {\bar {x}}}$, tendrá un error estándar asociado en la media ,${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}}$, dado por: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

En la práctica, esto nos indica que al intentar estimar el valor de la media de una población, debido al factor${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$Para reducir el error en la estimación a la mitad, se requiere adquirir cuatro veces más observaciones en la muestra; para reducirlo a diez veces, se requieren cien veces más observaciones.

La desviación estándar${\displaystyle \sigma }$La media de la población muestreada rara vez se conoce. Por lo tanto, el error estándar de la media se suele estimar reemplazando${\displaystyle \sigma }$con la desviación estándar de la muestra${\displaystyle \sigma _{x}}$en cambio: $${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}.}$$

Como esto es solo una estimación del verdadero "error estándar", es común ver otras notaciones aquí, como por ejemplo: $${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}:={\frac {\sigma _{x}}{\sqrt {n}}}\qquad {\text{ or }}\qquad {s}_{\bar {x}}\$$ :={\frac {s}{\sqrt {n}}}.}

Una fuente común de confusión surge al no distinguir claramente entre:

• la desviación estándar de la población (${\displaystyle \sigma }$),
• la desviación estándar de la muestra (${\displaystyle \sigma _{x}}$),
• la desviación estándar de la media de la muestra en sí (${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$, que es el error estándar), y
• el estimador de la desviación estándar de la media muestral (${\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{\bar {x}}}$, que es la cantidad que se calcula con mayor frecuencia y que coloquialmente también se denomina a menudo error estándar ).

El error estándar de la media puede derivarse de la varianza de una suma de variables aleatorias independientes, ^{[ 6 ]} dada la definición de varianza y algunas de sus propiedades . Si${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$es una muestra de${\displaystyle n}$observaciones independientes de una población con media${\displaystyle x}$y desviación estándar${\displaystyle \sigma }$, entonces podemos definir el total$${\displaystyle T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}),}$$que debido a la fórmula de Bienaymé , tendrá varianza

$${\displaystyle \operatorname {Var} (T)=\operatorname {Var} (x_{1})+\operatorname {Var} (x_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (x_{n})=n\sigma ^{2}.}$$

La media de estas mediciones${\displaystyle {\bar {x}}}$(media muestral) viene dada por$${\displaystyle {\bar {x}}=T/n.}$$La varianza de la media es entonces

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {x}})=\operatorname {Var} \left({\frac {T}{n}}\right)={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (T)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}},}$$

donde se utiliza una propagación en la varianza en la segunda igualdad. El error estándar es, por definición, la desviación estándar de${\displaystyle {\bar {x}}}$que es la raíz cuadrada de la varianza:

$${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

En otras palabras, si hay un gran número de observaciones por muestreo (${\textstyle n}$es alta en comparación con la varianza de la población${\textstyle \sigma }$), luego la media calculada por muestra${\textstyle {\bar {x}}}$Se espera que esté cerca de la media poblacional.${\displaystyle x}$.

Para variables aleatorias correlacionadas, la varianza muestral debe calcularse de acuerdo con el teorema del límite central de la cadena de Markov .

Hay casos en los que se toma una muestra sin saber, de antemano, cuántas observaciones serán aceptables según algún criterio. En tales casos, el tamaño de la muestra${\displaystyle N}$es una variable aleatoria cuya variación se suma a la variación de${\displaystyle X}$de tal manera que,$${\displaystyle \operatorname {Var} (T)=\operatorname {E} (N)\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (N){\big (}\operatorname {E} (X){\big )}^{2}}$$^{[ 7 ]} que se deduce de laley de la varianza total.

Si${\displaystyle N}$tiene una distribución de Poisson , entonces${\displaystyle \operatorname {E} (N)=\operatorname {Var} (N)}$con estimador${\displaystyle n=N}$. Por lo tanto, el estimador de${\displaystyle \operatorname {Var} (T)}$se convierte${\displaystyle nS_{X}^{2}+n{\bar {X}}^{2}}$, lo que lleva a la siguiente fórmula para el error estándar: $${\displaystyle \operatorname {Standard~Error} ({\bar {X}})={\sqrt {\frac {S_{X}^{2}+{\bar {X}}^{2}}{n}}}}$$ (ya que la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza).

En la literatura científica y técnica, los datos experimentales suelen resumirse utilizando la media y la desviación estándar de la muestra, o bien la media con su error estándar. Esto suele generar confusión sobre su intercambiabilidad. Sin embargo, la media y la desviación estándar son estadísticas descriptivas , mientras que el error estándar de la media describe el proceso de muestreo aleatorio. La desviación estándar de la muestra describe la variación en las mediciones, mientras que el error estándar de la media es una afirmación probabilística sobre cómo el tamaño de la muestra proporcionará una mejor cota para las estimaciones de la media poblacional, según el teorema del límite central. ^{[ 8 ]}

En pocas palabras, el error estándar de la media muestral es una estimación de cuán alejada es probable que esté la media muestral de la media poblacional, mientras que la desviación estándar de la muestra es el grado en que los individuos dentro de la muestra difieren de la media muestral. ^{[ 9 ]} Si la desviación estándar poblacional es finita, el error estándar de la media de la muestra tenderá a cero a medida que aumente el tamaño de la muestra, porque la estimación de la media poblacional mejorará, mientras que la desviación estándar de la muestra tenderá a aproximarse a la desviación estándar poblacional a medida que aumente el tamaño de la muestra.

La fórmula anterior para el error estándar asume que la población es infinita. Sin embargo, se suele utilizar para poblaciones finitas cuando se busca medir el proceso que dio origen a dicha población (esto se denomina estudio analítico ). Si bien la fórmula anterior no es del todo precisa cuando la población es finita, la diferencia entre las versiones para poblaciones finitas e infinitas será pequeña cuando la fracción de muestreo sea reducida (por ejemplo, cuando se estudia una pequeña proporción de una población finita). En este caso, a menudo no se aplica la corrección para la población finita, tratándola esencialmente como una población "aproximadamente infinita".

Si se desea medir una población finita existente que no cambie con el tiempo, es necesario ajustarla al tamaño de la población (lo que se denomina estudio enumerativo ). Cuando la fracción de muestreo (a menudo denominada f ) es grande (aproximadamente del 5 % o más) en un estudio enumerativo , la estimación del error estándar debe corregirse multiplicándola por una « corrección de población finita » (también conocida como FPC ): ^{[ 10 ] [ 11 ]}$${\displaystyle \operatorname {FPC} ={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}}$$ lo cual, para N grande : $${\displaystyle \operatorname {FPC} \approx {\sqrt {1-{\frac {n}{N}}}}={\sqrt {1-f}}}$$para tener en cuenta la precisión adicional obtenida al muestrear cerca de un porcentaje mayor de la población. El efecto del FPC es que el error se vuelve cero cuando el tamaño de la muestra n es igual al tamaño de la población N.

Esto ocurre en la metodología de encuestas cuando se realiza un muestreo sin reemplazo . Si el muestreo es con reemplazo, entonces el FPC no entra en juego.

Si los valores de la cantidad medida A no son estadísticamente independientes, pero se han obtenido de ubicaciones conocidas en el espacio de parámetros x , se puede obtener una estimación insesgada del verdadero error estándar de la media (en realidad una corrección en la parte de la desviación estándar) multiplicando el error estándar calculado de la muestra por el factor f :   $${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1+\rho }{1-\rho }}},}$$ donde el coeficiente de sesgo de la muestra ρ es la estimación de Prais-Winsten, ampliamente utilizada , del coeficiente de autocorrelación (una cantidad entre -1 y +1) para todos los pares de puntos de la muestra. Esta fórmula aproximada es para tamaños de muestra moderados a grandes; la referencia proporciona las fórmulas exactas para cualquier tamaño de muestra y puede aplicarse a series temporales con alta autocorrelación, como las cotizaciones bursátiles de Wall Street. Además, esta fórmula funciona tanto para valores positivos como negativos de ρ. ^{[ 12 ]} Véase también la estimación insesgada de la desviación estándar para una discusión más detallada.