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Estabilidad de la materia

En física , la estabilidad de la materia se refiere a la capacidad de un gran número de partículas cargadas , como electrones y protones , para formar objetos macroscópicos sin ...

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En física , la estabilidad de la materia se refiere a la capacidad de un gran número de partículas cargadas , como electrones y protones , para formar objetos macroscópicos sin colapsar ni desintegrarse debido a interacciones electromagnéticas . La física clásica predice que tales sistemas deberían ser inherentemente inestables debido a las fuerzas electrostáticas de atracción y repulsión entre las cargas, por lo que la estabilidad de la materia era un problema teórico que requería una explicación cuántica .

La primera solución a este problema fue proporcionada por Freeman Dyson y Andrew Lenard en 1967-1968, [ 1 ] [ 2 ] pero una demostración más breve y conceptual fue hallada posteriormente por Elliott Lieb y Walter Thirring en 1975 utilizando la desigualdad de Lieb-Thirring . [ 3 ] La estabilidad de la materia se debe en parte al principio de incertidumbre y al principio de exclusión de Pauli . [ 4 ]

Descripción del problema

En mecánica estadística , la existencia de objetos macroscópicos se suele explicar en términos del comportamiento de la energía o la energía libre con respecto al número total.norte{\displaystyle N}de partículas. Más precisamente, la energía del estado fundamental debería ser una función lineal denorte{\displaystyle N}para valores grandes denorte{\displaystyle N}. [ 5 ] De hecho, si la energía del estado fundamental se comporta proporcional anortea{\displaystyle N^{a}}para algunosa≠1{\displaystyle a\neq 1}, entonces verter dos vasos de agua proporcionaría una energía proporcional a(2norte)a−2nortea=(2a−2)nortea{\displaystyle (2N)^{a}-2N^{a}=(2^{a}-2)N^{a}}, lo cual es enorme para grandesnorte{\displaystyle N}Un sistema se denomina estable de segundo tipo o termodinámicamente estable cuando la energía libre está limitada inferiormente por una función lineal denorte{\displaystyle N}Los límites superiores suelen ser fáciles de demostrar en las aplicaciones, y por eso los científicos se han centrado más en demostrar los límites inferiores.

Ignorando otras fuerzas, es razonable suponer que la materia ordinaria está compuesta de cargas no relativistas negativas y positivas ( electrones e iones ), que interactúan únicamente mediante la interacción de Coulomb . Un número finito de estas partículas siempre colapsa en mecánica clásica , debido a la profundidad infinita de la atracción electrón-núcleo, pero puede existir en mecánica cuántica gracias al principio de incertidumbre de Heisenberg . Demostrar que tal sistema es termodinámicamente estable se denomina problema de la estabilidad de la materia y es muy difícil debido al largo alcance del potencial de Coulomb. La estabilidad debería ser consecuencia de los efectos de apantallamiento , pero estos son difíciles de cuantificar.

Denotemos por

Hnorte,K=−∑i=1norteΔincógnitai2−∑k=1KΔRk2METROk−∑i=1norte∑k=1Kzk|incógnitai−Rk|+∑1≤i<j≤norte1|incógnitai−incógnitaj|+∑1≤k<metro≤Kzkzmetro|Rk−Rmetro|{\displaystyle H_{N,K}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\Delta _{x_{i}}}{2}}-\sum _{k=1}^{K}{\frac {\Delta _{R_{k}}}{2M_{k}}}-\sum _{i=1}^{N}\sum _{k=1}^{K}{\frac {z_{k}}{|x_{i}-R_{k}|}}+\sum _{1\leq i<j\leq N}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}+\sum _{1\leq k<m\leq K}{\frac {z_{k}z_{m}}{|R_{k}-R_{m}|}}}

el hamiltoniano cuántico denorte{\displaystyle N}electrones yK{\displaystyle K}núcleos de cargasz1,...,zK{\displaystyle z_{1},...,z_{K}}y masasMETRO1,...,METROK{\displaystyle M_{1},...,M_{K}}en unidades atómicas . AquíΔ=∇2=∑j=13∂jj{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{j=1}^{3}\partial _{jj}}denota el laplaciano , que es el operador de energía cinética cuántica . A temperatura cero, la pregunta es si la energía del estado fundamental (el mínimo del espectro deHnorte,K{\displaystyle H_{N,K}}) está acotado inferiormente por una constante multiplicada por el número total de partículas:

La constantedo{\displaystyle C}puede depender del mayor número de estados de espín para cada partícula, así como del mayor valor de las cargas.zk{\displaystyle z_{k}}Idealmente, no debería depender de las masas.METRO1,...,METROK{\displaystyle M_{1},...,M_{K}}para poder considerar el límite de masa infinita, es decir, los núcleos clásicos.

Historia

física del siglo XIX

A finales del siglo XIX se comprendía que las fuerzas electromagnéticas mantenían unida la materia. Sin embargo, coexistían dos problemas. [ 6 ] El teorema de Earnshaw de 1842 demostró que ningún cuerpo cargado puede estar en equilibrio estable bajo la influencia exclusiva de fuerzas electrostáticas . [ 6 ] El segundo problema era que James Clerk Maxwell había demostrado que la carga acelerada produce radiación electromagnética , lo que a su vez reduce su movimiento. [ 6 ] En 1900, Joseph Larmor sugirió la posibilidad de un sistema electromagnético con electrones en órbitas dentro de la materia. Demostró que, si tal sistema existiera, podría reducirse escalando las distancias y los tiempos de vibración; sin embargo, esto sugería una modificación de la ley de Coulomb a nivel molecular. [ 6 ] La física clásica, por lo tanto, no podía explicar la estabilidad de la materia y solo podía explicarse con la mecánica cuántica , que se desarrolló a principios del siglo XX. [ 6 ]

Solución de Dyson-Lenard

Freeman Dyson demostró [ 7 ] en 1967 que si todas las partículas son bosones , entonces la desigualdad ( 1 ) no puede ser cierta y el sistema es termodinámicamente inestable. De hecho, más tarde se demostró que en este caso la energía va comonorte7/5{\displaystyle N^{7/5}}en lugar de ser lineal ennorte{\displaystyle N}. [ 8 ] [ 9 ] Por lo tanto, es importante que las cargas positivas o negativas sean fermiones . En otras palabras, la estabilidad de la materia es una consecuencia del principio de exclusión de Pauli . En la vida real, los electrones son efectivamente fermiones, pero encontrar la manera correcta de usar el principio de Pauli y probar la estabilidad resultó ser notablemente difícil. Michael Fisher y David Ruelle formalizaron la conjetura en 1966 [ 10 ] Según Dyson, Fisher y Ruelle ofrecieron una botella de champán a cualquiera que pudiera probarlo. [ 11 ] Dyson y Lenard encontraron la prueba de ( 1 ) un año después [ 1 ] [ 2 ] y por lo tanto obtuvieron la botella.

Desigualdad de Lieb-Thirring

Como se mencionó anteriormente, la estabilidad es una condición necesaria para la existencia de objetos macroscópicos, pero no implica inmediatamente la existencia de funciones termodinámicas. En realidad, se debe demostrar que la energía se comporta linealmente con respecto al número de partículas. Basándose en el resultado de Dyson-Lenard, Elliott Lieb y Joel Lebowitz lo resolvieron de manera ingeniosa en 1972. [ 12 ]

Según el propio Dyson, la demostración de Dyson-Lenard es "extraordinariamente complicada y difícil" [ 11 ] y se basa en límites analíticos profundos y tediosos. La constante obtenidado{\displaystyle C}en ( 1 ) también era muy grande. En 1975, Elliott Lieb y Walter Thirring encontraron una demostración más simple y conceptual, basada en una desigualdad espectral, ahora llamada desigualdad de Lieb-Thirring . [ 3 ] [ 13 ] Obtuvieron una constantedo{\displaystyle C}que era varios órdenes de magnitud menor que la constante de Dyson-Lenard y tenía un valor realista. Llegaron a la desigualdad final.

dóndeZ=máximo(zk){\displaystyle Z=\max(z_{k})}es la carga nuclear más grande yq{\displaystyle q}es el número de estados de espín electrónico que es 2. Dado quenorte1/3K2/3≤norte+K{\displaystyle N^{1/3}K^{2/3}\leq N+K}Esto produce el límite inferior lineal deseado ( 1 ). La idea de Lieb-Thirring fue acotar la energía cuántica desde abajo en términos de la energía de Thomas-Fermi. Esta última es siempre estable debido a un teorema de Edward Teller que establece que los átomos nunca pueden unirse en el modelo de Thomas-Fermi . [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] La desigualdad de Lieb-Thirring se utilizó para acotar la energía cinética cuántica de los electrones en términos de la energía cinética de Thomas-Fermi.∫R3ρ(incógnita)53d3incógnita{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\rho (x)^{\frac {5}{3}}d^{3}x}El teorema de no vinculación de Teller también se utilizó, de hecho, para acotar inferiormente la interacción de Coulomb total en términos de la energía de Hartree más simple que aparece en la teoría de Thomas-Fermi. Hablando sobre la prueba de Lieb-Thirring, Dyson escribió más tarde [ 17 ] [ 18 ]

Lenard y yo encontramos una prueba de la estabilidad de la materia en 1967. Nuestra prueba era tan compleja y poco esclarecedora que impulsó a Lieb y Thirring a encontrar la primera prueba decente. (...) ¿Por qué nuestra prueba era tan mala y la suya tan buena? La razón es simple. Lenard y yo comenzamos con trucos matemáticos y nos abrimos paso a través de un laberinto de desigualdades sin ningún conocimiento físico. Lieb y Thirring partieron de un conocimiento físico y luego encontraron el lenguaje matemático apropiado para que su comprensión fuera rigurosa. Nuestra prueba fue un callejón sin salida. La suya fue una puerta de entrada a un nuevo mundo de ideas.

Trabajo adicional

El enfoque de Lieb-Thirring ha generado muchos trabajos y extensiones posteriores. Por ejemplo, se han estudiado desde el artículo de Lieb-Thirring sistemas (pseudo)relativistas, [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] campos magnéticos, [ 23 ] [ 24 ] campos cuantizados [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] y estadísticas fraccionarias bidimensionales ( aniones ) [ 28 ] [ 29 ] . La forma de la cota ( 1 ) también se ha mejorado a lo largo de los años. Por ejemplo, se puede obtener una constante independiente del númeroK{\displaystyle K}de núcleos. [ 19 ] [ 30 ]

Bibliografía

  • La estabilidad de la materia: de los átomos a las estrellas . Selección de Elliott H. Lieb . Editado por W. Thirring, con prólogo de F. Dyson. Cuarta edición. Springer, Berlín, 2005.
  • Elliott H. Lieb y Robert Seiringer , La estabilidad de la materia en la mecánica cuántica . Cambridge Univ. Press, 2010.
  • Elliott H. Lieb , La estabilidad de la materia: de los átomos a las estrellas . Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 22 (1990), n.º 1, 1-49.

Referencias

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  2. 1 2 Lenard, A.; Dyson, Freeman J. (mayo de 1968). "Estabilidad de la materia. II" . Journal of Mathematical Physics . 9 (5): 698– 711. Bibcode : 1968JMP.....9..698L . doi : 10.1063/1.1664631 .
  3. 1 2 Lieb, Elliott H.; Thirring, Walter E. (15 de septiembre de 1975). "Límite para la energía cinética de los fermiones que demuestra la estabilidad de la materia". Physical Review Letters . 35 (11): 687– 689. Bibcode : 1975PhRvL..35..687L . doi : 10.1103/PhysRevLett.35.687 .
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  5. ↑ Ruelle, David (abril de 1999). Mecánica estadística: resultados rigurosos . World Scientific. Bibcode : 1999smrr.book.....R . doi : 10.1142/4090 . ISBN 978-981-02-3862-9.
  6. 1 2 3 4 5 Jones, W (1980-04-01). "El teorema de Earnshaw y la estabilidad de la materia" . European Journal of Physics . 1 (2): 85– 88. Bibcode : 1980EJPh....1...85J . doi : 10.1088/0143-0807/1/2/004 . ISSN 0143-0807 . 
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