Teorema de compresión

Según las hipótesis anteriores, tenemos que tomar el límite inferior y superior: $${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$$ Por lo tanto, todas las desigualdades son en realidad igualdades, y la tesis se deduce inmediatamente.

Una prueba directa, utilizando la definición de límite ( ε , δ ) , sería demostrar que para todo ε real > 0 existe un δ real > 0 tal que para todo x con${\displaystyle |xa|<\delta ,}$tenemos${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon .}$Simbólicamente,

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|xa|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Como

$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$$

significa que

y $${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$$

significa que

entonces tenemos

$${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$$${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$$

Podemos elegir${\displaystyle \delta$ :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}} . Entonces, si${\displaystyle |xa|<\delta }$, combinando ( 1 ) y ( 2 ), tenemos

$${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$$$${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon,}$$

lo cual completa la demostración. QED

La demostración para secuencias es muy similar, utilizando el${\displaystyle \varepsilon }$-definición del límite de una sucesión .

El límite

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

no se puede determinar mediante la ley límite

$${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$$

porque

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

No existe.

Sin embargo, por definición de la función seno ,

$${\displaystyle -1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.}$$

Resulta que

$${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}$$

Desde${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$, por el teorema de compresión,${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$También debe ser 0.

Probablemente los ejemplos más conocidos de encontrar un límite mediante compresión son las demostraciones de las igualdades. $${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}}$$

El primer límite se deduce mediante el teorema de compresión del hecho de que ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}$$

para x suficientemente cercano a 0. La corrección de esto para x positivo se puede ver mediante un razonamiento geométrico simple (ver dibujo) que también se puede extender a x negativo . El segundo límite se deduce del teorema de compresión y del hecho de que

$${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x}$$ para x suficientemente cercano a 0. Esto se puede derivar reemplazando sen x en el hecho anterior por${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$y elevando al cuadrado la desigualdad resultante.

Estos dos límites se utilizan en demostraciones de que la derivada de la función seno es la función coseno. Este hecho se utiliza en otras demostraciones de derivadas de funciones trigonométricas .

Es posible demostrar que $${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$$ apretando, como sigue.

En la ilustración de la derecha, el área del menor de los dos sectores sombreados del círculo es

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}$$

ya que el radio es sec θ y el arco en el círculo unitario tiene longitud Δ θ . De manera similar, el área del mayor de los dos sectores sombreados es 

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}$$

Lo que se encuentra entre ellos es el triángulo cuya base es el segmento vertical cuyos extremos son los dos puntos. La longitud de la base del triángulo es tan( θ + Δ θ ) − tan θ , y la altura es  1. Por lo tanto, el área del triángulo es

$${\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.}$$

De las desigualdades

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}$$

deducimos que

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),}$$

siempre que Δ θ > 0 , y las desigualdades se invierten si Δ θ < 0. Dado que la primera y la tercera expresiones se aproximan a sec ² θ cuando Δ θ → 0 , y la expresión del medio se aproxima  ${\displaystyle {\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,}$El resultado deseado se obtiene a continuación.

El teorema de compresión aún puede utilizarse en cálculo multivariable , pero las funciones inferior (y superior) deben estar por debajo (y por encima) de la función objetivo, no solo a lo largo de una trayectoria, sino en todo el entorno del punto de interés, y solo funciona si la función realmente tiene un límite en ese punto. Por lo tanto, puede utilizarse para demostrar que una función tiene un límite en un punto, pero nunca para demostrar que una función no tiene un límite en un punto. ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$$

no se puede encontrar tomando cualquier número de límites a lo largo de caminos que pasan por el punto, pero dado que

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}}$$

Por lo tanto, según el teorema de compresión,

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.}$$