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Péndulo elástico

En física y matemáticas , en el área de sistemas dinámicos , un péndulo elástico [1] [2] (también llamado péndulo de resorte [3] [4] o resorte oscilante ) es un sistema físico d...

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En física y matemáticas , en el área de sistemas dinámicos , un péndulo elástico [1] [2] (también llamado péndulo de resorte [3] [4] o resorte oscilante ) es un sistema físico donde una pieza de masa está conectada a un resorte de modo que el movimiento resultante contiene elementos tanto de un péndulo simple como de un sistema unidimensional resorte-masa . [2] Para valores de energía específicos, el sistema demuestra todas las características del comportamiento caótico y es sensible a las condiciones iniciales . [2] A energías muy bajas y muy altas , también parece haber un movimiento regular. [5] El movimiento de un péndulo elástico está gobernado por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas . Este comportamiento sugiere una interacción compleja entre los estados de energía y la dinámica del sistema .

Análisis e interpretación

Péndulo elástico de 2 grados de libertad con gráficos de coordenadas polares. [6]

El sistema es mucho más complejo que un simple péndulo, ya que las propiedades del resorte añaden una dimensión extra de libertad al sistema. Por ejemplo, cuando el resorte se comprime, el radio más corto hace que el resorte se mueva más rápido debido a la conservación del momento angular . También es posible que el resorte tenga un rango que sea superado por el movimiento del péndulo, haciéndolo prácticamente neutral al movimiento del péndulo.

Lagrangiano

El resorte tiene la longitud de reposo y se puede estirar una longitud . El ángulo de oscilación del péndulo es . l 0 {\displaystyle l_{0}} x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta }

El Lagrangiano es: L {\displaystyle L}

L = T − V {\displaystyle L=T-V}

¿Dónde está la energía cinética y es la energía potencial ? T {\displaystyle T} V {\displaystyle V}

La ley de Hooke es la energía potencial del propio resorte:

V k = 1 2 k x 2 {\displaystyle V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}}

¿Dónde está la constante del resorte? k {\displaystyle k}

La energía potencial de la gravedad , por otra parte, está determinada por la altura de la masa. Para un ángulo y un desplazamiento determinados, la energía potencial es:

V g = − g m ( l 0 + x ) cos ⁡ θ {\displaystyle V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta }

¿Dónde está la aceleración gravitacional ? g {\displaystyle g}

La energía cinética viene dada por:

T = 1 2 m v 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}}

donde es la velocidad de la masa. Para relacionarla con las otras variables, la velocidad se escribe como una combinación de un movimiento a lo largo y perpendicular al resorte: v {\displaystyle v} v {\displaystyle v}

T = 1 2 m ( x ˙ 2 + ( l 0 + x ) 2 θ ˙ 2 ) {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})}

Por lo tanto el Lagrangiano se convierte en: [1]

L = T − V k − V g {\displaystyle L=T-V_{k}-V_{g}}
L [ x , x ˙ , θ , θ ˙ ] = 1 2 m ( x ˙ 2 + ( l 0 + x ) 2 θ ˙ 2 ) − 1 2 k x 2 + g m ( l 0 + x ) cos ⁡ θ {\displaystyle L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta }

Ecuaciones de movimiento

Con dos grados de libertad , para y , las ecuaciones de movimiento se pueden encontrar utilizando dos ecuaciones de Euler-Lagrange : x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta }

∂ L ∂ x − d d ⁡ t ∂ L ∂ x ˙ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0}
∂ L ∂ θ − d d ⁡ t ∂ L ∂ θ ˙ = 0 {\displaystyle {\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0}

Para : [1] x {\displaystyle x}

m ( l 0 + x ) θ ˙ 2 − k x + g m cos ⁡ θ − m x ¨ = 0 {\displaystyle m(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0}

x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} aislado:

x ¨ = ( l 0 + x ) θ ˙ 2 − k m x + g cos ⁡ θ {\displaystyle {\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta }

Y para : [1] θ {\displaystyle \theta }

− g m ( l 0 + x ) sin ⁡ θ − m ( l 0 + x ) 2 θ ¨ − 2 m ( l 0 + x ) x ˙ θ ˙ = 0 {\displaystyle -gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0}

θ ¨ {\displaystyle {\ddot {\theta }}} aislado:

θ ¨ = − g l 0 + x sin ⁡ θ − 2 x ˙ l 0 + x θ ˙ {\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}}

El péndulo elástico se describe ahora con dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas . Estas pueden resolverse numéricamente . Además, se pueden utilizar métodos analíticos para estudiar el intrigante fenómeno de orden-caos-orden [7] en este sistema.

Véase también

Referencias

  1. ^ abcd Xiao, Qisong; et al. "Dinámica del péndulo elástico" (PDF) .
  2. ^ abc Pokorny, Pavel (2008). "Condición de estabilidad para la oscilación vertical de un péndulo elástico de resorte pesado de 3 dimensiones" (PDF) . Dinámica regular y caótica . 13 (3): 155–165. Bibcode :2008RCD....13..155P. doi :10.1134/S1560354708030027. S2CID  56090968.
  3. ^ Sivasrinivas, Kolukula. "Péndulo de primavera".
  4. ^ Hill, Christian (19 de julio de 2017). "El péndulo de resorte".
  5. ^ Leah, Ganis. El resorte oscilante: movimiento regular y caótico .
  6. ^ Simionescu, PA (2014). Herramientas de simulación y gráficos asistidos por computadora para usuarios de AutoCAD (1.ª ed.). Boca Raton, Florida: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
  7. ^ Anurag, Anurag; Basudeb, Mondal; Bhattacharjee, Jayanta Kumar; Chakraborty, Sagar (2020). "Entendiendo la transición orden-caos-orden en el péndulo elástico plano". Physica D . 402 : 132256. Bibcode :2020PhyD..40232256A. doi :10.1016/j.physd.2019.132256. S2CID  209905775.

Lectura adicional

  • Pokorny, Pavel (2008). "Condición de estabilidad para la oscilación vertical de un péndulo elástico de resorte pesado de 3 dimensiones" (PDF) . Dinámica regular y caótica . 13 (3): 155–165. Bibcode :2008RCD....13..155P. doi :10.1134/S1560354708030027. S2CID  56090968.
  • Pokorny, Pavel (2009). "Continuación de soluciones periódicas de sistemas disipativos y conservativos: aplicación al péndulo elástico" (PDF) . Problemas matemáticos en ingeniería . 2009 : 1–15. doi : 10.1155/2009/104547 .
  • Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) "Oscilaciones de un péndulo elástico" (animación interactiva), Wolfram Demonstrations Project, publicado el 19 de febrero de 2019.
  • Holovatsky V., Holovatskyi I., Holovatska Ya., Struk Ya. Oscilaciones del péndulo elástico resonante. Física y tecnología educativa, 2023, 1, 10–17, https://doi.org/10.32782/pet-2023-1-2 http://journals.vnu.volyn.ua/index.php/physics/article/view/1093
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