Efecto de derrame (experimento)

Una suposición clave para la inferencia imparcial es la suposición de no interferencia, que postula que los resultados potenciales de un individuo solo se revelan por su propia asignación de tratamiento y no por la asignación de tratamiento de otros. ^{[ 7 ]} Esta suposición también se ha denominado Respuesta Individualista al Tratamiento ^{[ 8 ]} o suposición de valor estable del tratamiento de la unidad . La no interferencia se viola cuando los sujetos pueden comunicarse entre sí sobre sus tratamientos, decisiones o experiencias, influyendo así en los resultados potenciales de los demás. Si la suposición de no interferencia no se cumple, las unidades ya no tienen solo dos resultados potenciales (tratado y control), sino una variedad de otros resultados potenciales que dependen de las asignaciones de tratamiento de otras unidades, ^{[ 9 ]} lo que complica la estimación del efecto promedio del tratamiento .

Estimar los efectos indirectos requiere flexibilizar el supuesto de no interferencia. Esto se debe a que los resultados de una unidad dependen no solo de su asignación de tratamiento, sino también de la asignación de tratamiento de sus vecinos. El investigador debe plantear un conjunto de resultados potenciales que limiten el tipo de interferencia. Por ejemplo, consideremos un experimento que envía información política a estudiantes universitarios para aumentar su participación política. Si la población de estudio está formada por todos los estudiantes que viven con un compañero de habitación en una residencia universitaria, se pueden imaginar cuatro conjuntos de resultados potenciales, dependiendo de si el estudiante o su compañero recibieron la información (suponiendo que no hay efectos indirectos fuera de cada habitación de dos personas):

• Y _0,0 se refiere a los resultados potenciales de un individuo cuando no recibe tratamiento (0) y tampoco lo recibe su compañero de cuarto (0).
• Y _0,1 se refiere al resultado potencial de un individuo cuando no recibe tratamiento (0) pero su compañero de cuarto sí lo recibe (1).
• Y _1,0 se refiere al resultado potencial de un individuo cuando recibe tratamiento (1) pero su compañero de cuarto no lo recibe (0).
• Y _1,1 se refiere al resultado potencial de un individuo cuando recibe tratamiento (1) y su compañero de cuarto recibe tratamiento (1).

Ahora, los resultados de un individuo están influenciados tanto por si recibió el tratamiento como por si su compañero de habitación lo recibió. Podemos estimar un tipo de efecto indirecto observando cómo cambian los resultados de una persona dependiendo de si su compañero de habitación recibió el tratamiento o no, dado que el individuo no recibió tratamiento directamente. Esto se capturaría mediante la diferencia Y _0,1 - Y _0,0 . De manera similar, podemos medir cómo cambian los resultados de una persona dependiendo del estado de tratamiento de su compañero de habitación, cuando el individuo mismo recibe tratamiento. Esto equivale a tomar la diferencia Y _1,1 - Y _1,0 .

Si bien los investigadores suelen optar por experimentos porque requieren supuestos menos exigentes, los efectos indirectos pueden ser de alcance ilimitado e imposibles de especificar en su forma. ^{[ 10 ]} El investigador debe hacer supuestos específicos sobre qué tipos de efectos indirectos están presentes. El supuesto de no interferencia puede flexibilizarse de diversas maneras, según cómo se crea que ocurren los efectos indirectos en un contexto determinado. Una forma de modelar los efectos indirectos es mediante un indicador binario que indique si un vecino inmediato también fue tratado, como en el ejemplo anterior. También se pueden plantear efectos indirectos que dependan del número de vecinos inmediatos que también fueron tratados, conocidos como efectos de nivel k. ^{[ 11 ]}

En entornos experimentales donde el tratamiento es aleatorio, podemos usar la inferencia de aleatorización para probar la existencia de efectos indirectos. La principal ventaja de este enfoque es que la inferencia de aleatorización es válida para muestras finitas, sin requerir una especificación correcta del modelo ni una asintótica normal. Para ser más específicos, consideremos el experimento de ejemplo mencionado anteriormente en residencias universitarias y supongamos que queremos probar: $${\displaystyle H_{0}:Y_{0,1}=Y_{0,0}}$$ Esta hipótesis plantea que no existe un efecto indirecto en los estudiantes que no reciben la información (es decir, los estudiantes que están en el grupo de control del experimento). Rechazar esta hipótesis implica que, incluso cuando los estudiantes no reciben el mensaje informativo directamente, pueden recibirlo indirectamente de sus compañeros de habitación que sí reciben el tratamiento; por lo tanto, existe un efecto indirecto.

Para probar una hipótesis como${\displaystyle H_{0}}$Podemos aplicar una prueba de aleatorización de Fisher condicional. ^{[ 12 ]} Sea${\displaystyle R_{ij}=1}$ser un indicador que señale que los estudiantes${\displaystyle i,j}$son compañeros de habitación, donde asumimos por simplicidad que cada estudiante tiene exactamente un compañero de habitación. Supongamos que este es un diseño completamente aleatorio y dejemos${\displaystyle D_{i}}$denota el tratamiento binario del estudiante${\displaystyle i}$. Entonces:

1. Definir${\displaystyle I_{1}=\{i:\sum _{j}R_{ij}(1-D_{i})D_{j}=1\}}$y${\displaystyle I_{0}=\{i:\sum _{j}R_{ij}(1-D_{i})(1-D_{j})=1\}}$.
2. Calcular una estimación del efecto indirecto:${\displaystyle T(I_{1},I_{0})={\big |}{\frac {\sum _{i\in I_{1}}Y_{i}}{|I_{1}|}}-{\frac {\sum _{i\in I_{0}}Y_{i}}{|I_{0}|}}{\big |}}$Este es el estadístico de prueba .
3. Para${\displaystyle l=1,2,\ldots ,L}$
   1. Mezcla aleatoriamente las unidades entre${\displaystyle I_{1},I_{0}}$produciendo nuevos conjuntos aleatorios${\ Displaystyle I_ {1} ^ {(l)}, I_ {0} ^ {(l)}}$similar a la prueba de permutación .
   2. Recalcular el estadístico de prueba${\displaystyle T^{(l)}=T(I_{1}^{(l)},I_{0}^{(l)})}$.
4. Calcula el valor p de aleatorización:

$${\displaystyle \mathrm {pval} ={\frac {1}{L+1}}[1+\sum _{l}1(T^{(l)}>T^{obs})].}$$

Para explicar este procedimiento, en el Paso 1 definimos las subpoblaciones de interés: ${\displaystyle I_{1}}$es el grupo de estudiantes que tienen el control pero su compañero de cuarto es tratado y${\displaystyle I_{0}}$son los estudiantes que controlan con sus compañeros de cuarto también controlando. Estas se conocen como "unidades focales". ^{[ 13 ]} En el paso 2, definimos una estimación del efecto de contagio como${\displaystyle {\bar {Y}}_{0,1}-{\bar {Y}}_{0,0}}$la diferencia en los resultados entre poblaciones${\displaystyle I_{1},I_{0}}$Fundamentalmente, en la inferencia de aleatorización, no necesitamos derivar la distribución muestral de este estimador. La validez del procedimiento proviene del Paso 3, donde remuestreamos el tratamiento de acuerdo con la verdadera variación experimental (aquí, simplemente permutando las "exposiciones" 01 y 00) mientras mantenemos los resultados fijos bajo la hipótesis nula. Finalmente, en el Paso 4 calculamos el valor p de aleatorización .${\displaystyle 1/(L+1)}$El término es una corrección para muestras finitas que evita problemas con valores repetidos del estadístico de prueba. Como se mencionó anteriormente, el valor p de aleatorización es válido para cualquier tamaño de muestra finito y no depende de una especificación correcta del modelo. Este procedimiento de aleatorización puede extenderse a diseños arbitrarios y definiciones más generales de efectos de contagio, aunque debe tenerse cuidado de considerar adecuadamente la estructura de interferencia entre todos los pares de unidades. ^{[ 14 ]}

El procedimiento anterior también puede utilizarse para obtener una estimación por intervalos de un efecto de contagio constante mediante la inversión de la prueba. Además, el mismo procedimiento podría modificarse para comprobar si el efecto de contagio "promedio" es cero utilizando un estadístico de prueba estudentizado adecuado en el paso 2. ^{[ 15 ]}

Mapeos de exposición

El siguiente paso tras redefinir el estimador causal de interés es caracterizar la probabilidad de exposición indirecta para cada sujeto en el análisis, dado un vector de asignación de tratamiento. Aronow y Samii (2017) ^{[ 16 ]} presentan un método para obtener una matriz de probabilidades de exposición para cada unidad en el análisis.

Primero, defina una matriz diagonal con un vector de probabilidades de asignación de tratamiento.${\displaystyle \mathbf {P} =\operatorname {diag} \left(p_{\mathbf {z} _{1}},p_{\mathbf {z} _{2}},\dots ,p_{\mathbf {z} _{|\Omega |}}\right).}$

En segundo lugar, defina una matriz de indicadores.${\displaystyle \mathbf {I} }$de si la unidad está expuesta a derrames o no. Esto se hace utilizando una matriz de adyacencia como se muestra a la derecha, donde la información sobre una red se puede transformar en una matriz indicadora. Esta matriz indicadora resultante contendrá valores de${\displaystyle d_{k}}$, los valores realizados de una variable binaria aleatoria${\displaystyle D_{i}=f\left(\mathbf {Z} ,\theta _{i}\right)}$, indicando si esa unidad ha estado expuesta a derrames o no.

En tercer lugar, obtenga el producto sándwich.${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{k}^{\prime }}$, una matriz N  × N que contiene dos elementos: la probabilidad individual de exposición ${\displaystyle \pi _{i}\left(d_{k}\right)}$en diagonal y las probabilidades de exposición conjunta${\displaystyle \pi _{ij}\left(d_{k}\right)}$en las diagonales:

$${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{k}^{\prime }=\left[{\begin{array}{cccc}{\pi _{1}(d_{k})}&\pi _{12}(d_{k})&\cdots &\pi _{1N}(d_{k})\\\pi _{21}(d_{k})&\pi _{2}(d_{k})&\cdots &\pi _{2N}(d_{k})\\\vdots &\vdots &\ddots &\\\pi _{N1}(d_{k})&\pi _{N2}(d_{k})&{}&\pi _{N}(d_{k})\end{array}}\right]}$$De manera similar, la probabilidad conjunta de exposición de i está en condición de exposición${\displaystyle d_{k}}$y j estando en una condición de exposición diferente${\displaystyle d_{l}}$se puede obtener calculando${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{l}^{\prime }}$:

$${\displaystyle \mathbf {I} _{k}\mathbf {P} \mathbf {I} _{l}^{\prime }=\left[{\begin{array}{c c c c }{0}&{\pi _{12}\left(d_{k},d_{l}\right)}&{\dots }&{\pi _{1N}\left(d_{k},d_{l}\right)}\\{\pi _{21}\left(d_{k},d_{l}\right)}&{0}&{\ldots }&{\pi _{2N}\left(d_{k},d_{l}\right)}\\{\vdots }&{\vdots }&{\ddots }&{}\\\pi _{N1}(d_{k},d_{l})&\pi _{N2}(d_{k},d_{l})&&0\end{array}}\right]}$$Obsérvese que las diagonales de la segunda matriz son 0 porque un sujeto no puede estar expuesto simultáneamente a dos condiciones de exposición diferentes a la vez, del mismo modo que un sujeto no puede revelar dos resultados potenciales diferentes a la vez.

Las probabilidades de exposición obtenidas${\displaystyle \pi }$entonces se puede utilizar para la ponderación de probabilidad inversa (IPW, que se describe a continuación), en un estimador como el estimador de Horvitz-Thompson .

Una advertencia importante es que este procedimiento excluye todas las unidades cuya probabilidad de exposición es cero (por ejemplo, una unidad que no está conectada a ninguna otra unidad), ya que estos números terminan en el denominador de la regresión IPW.

La estimación de los efectos indirectos requiere especial atención: si bien el tratamiento se asigna directamente, la exposición a dichos efectos se asigna indirectamente, lo que puede generar probabilidades diferenciales de asignación para cada unidad. Por ejemplo, es más probable que un sujeto con 10 contactos de amistad esté expuesto indirectamente al tratamiento que uno con solo uno. No tener en cuenta las diferentes probabilidades de exposición a los efectos indirectos puede sesgar las estimaciones del efecto promedio.

La Figura 1 muestra un ejemplo donde las unidades tienen probabilidades variables de ser asignadas a la condición de derrame. La Subfigura A muestra una red de 25 nodos donde las unidades en verde son elegibles para recibir tratamiento. Los derrames se definen como compartir al menos una arista con una unidad tratada. Por ejemplo, si el nodo 16 recibe tratamiento, los nodos 11, 17 y 21 se clasificarían como unidades de derrame. Supongamos que tres de estas seis unidades verdes se seleccionan aleatoriamente para ser tratadas, de modo que${\displaystyle {\binom {6}{3}}=20}$Es posible que se produzcan diferentes conjuntos de asignaciones de tratamiento. En este caso, la subfigura B muestra la probabilidad de que cada nodo sea asignado a la condición de contagio. El nodo 3 se asigna al contagio en el 95 % de las aleatorizaciones porque comparte aristas con tres unidades que reciben tratamiento. Este nodo solo será un nodo de control en el 5 % de las aleatorizaciones: es decir, cuando los tres nodos tratados sean 14, 16 y 18. Mientras tanto, el nodo 15 se asigna al contagio solo en el 50 % de los casos; si el nodo 14 no recibe tratamiento directo, el nodo 15 no se asignará al contagio.