Esferinda

En geometría cuatridimensional , el esferíndro , o cilindro esférico o prisma esférico , es un objeto geométrico, definido como el producto cartesiano de una esfera de 3 dimensiones (o esfera sólida de 2 dimensiones ) de radio r ₁ y un segmento de línea de longitud 2 r ₂ :

${\displaystyle D=\{(x,y,z,w)|x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r_{1}^{2},\ w^{2 }\leq r_{2}^{2}\}}$

Al igual que el duocilindro , también es análogo a un cilindro en el espacio tridimensional, que es el producto cartesiano de un disco con un segmento de línea .

Se puede ver en el espacio tridimensional mediante proyección estereográfica como dos esferas concéntricas, de manera similar a cómo un teseracto (prisma cúbico) puede proyectarse como dos cubos concéntricos, y cómo un cilindro circular puede proyectarse en el espacio bidimensional como dos círculos concéntricos.

Se puede definir un sistema de coordenadas "esferíndricas" ( r , θ , φ , w ) , que consiste en coordenadas esféricas con una coordenada adicional w . Esto es análogo a cómo se definen las coordenadas cilíndricas : r y φ son coordenadas polares con una coordenada de elevación z . Las coordenadas esferíndricas se pueden convertir a coordenadas cartesianas utilizando las fórmulas donde r es el radio, θ es el ángulo cenital, φ es el ángulo acimutal y w es la altura. Las coordenadas cartesianas se pueden convertir a coordenadas esferíndricas utilizando las fórmulas El elemento de hipervolumen para coordenadas esferíndricas es que se puede derivar calculando el jacobiano . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \sin \theta \\y&=r\sin \varphi \sin \theta \\z&=r\cos \theta \\w&=w\end{ alineado}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\arctan {\frac {y}{x}}\\\theta &=\operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\w&=w\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathrm {d} H=r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\ matemáticas {d} w,}$

Dado un esferíndro con una base esférica de radio r y una altura h , el hipervolumen del esferíndro está dado por$${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\pi r^{3}h}$$

El volumen superficial de un esférico, al igual que el área superficial de un cilindro, se compone de tres partes:

• el volumen de la base superior:${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• el volumen de la base inferior:${\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$
• el volumen de la superficie lateral 3D: , que es el área de la superficie de la base esférica multiplicada por la altura${\textstyle 4\pi r^{2}h}$

Por lo tanto, el volumen total de la superficie es

$${\displaystyle SV={\frac {8}{3}}\pi r^{3}+4\pi r^{2}h}$$

Las fórmulas anteriores para el hipervolumen y el volumen de la superficie se pueden demostrar mediante integración. El hipervolumen de una región 4D arbitraria se obtiene mediante la integral cuádruple$${\displaystyle H=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H}$$

El hipervolumen del esferíndro se puede integrar sobre coordenadas esferíndricas.$${\displaystyle H_{\mathrm {spherinder} }=\iiiint \limits _{D}\mathrm {d} H=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\ int _{0}^{\pi }\int _{0}^{R}r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w={\frac {4}{3}}\pi R^{3}h}$$

El esferindro está relacionado con los policoros prismáticos uniformes , que son el producto cartesiano de un poliedro regular o semirregular y un segmento de línea . Hay dieciocho prismas convexos uniformes basados ​​en los sólidos platónico y arquimediano ( prisma tetraédrico , prisma tetraédrico truncado , prisma cúbico , prisma cuboctaédrico , prisma octaédrico , prisma rombicuboctaédrico , prisma cúbico truncado , prisma octaédrico truncado , prisma cuboctaédrico truncado , prisma cúbico romo , prisma dodecaédrico , prisma icosidodecaédrico , prisma icosaédrico , prisma dodecaédrico truncado , prisma rombicosidodecaédrico , prisma icosidodecaédrico truncado , prisma icosidodecaédrico truncado , prisma dodecaédrico romo ), más una familia infinita basada en antiprismas , y otra familia infinita de duoprismas uniformes , que son productos de dos polígonos regulares .

• Toro de Clifford

• La cuarta dimensión explicada de forma sencilla , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, Nueva York. Disponible en la biblioteca de la Universidad de Virginia. También disponible en línea: La cuarta dimensión explicada de forma sencilla, que contiene una descripción de los duoprismas y los duocilindros (cilindros dobles).
• La guía visual de dimensiones adicionales: visualización de la cuarta dimensión, politopos de dimensiones superiores e hipersuperficies curvas , Chris McMullen, 2008, ISBN  978-1438298924