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Dispersión espacial

Un metamaterial electromagnético compuesto por resonadores de anillo partido . Estas estructuras pueden exhibir una fuerte dispersión espacial más allá de su límite de homogenei...

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Un metamaterial electromagnético compuesto por resonadores de anillo partido . Estas estructuras pueden exhibir una fuerte dispersión espacial más allá de su límite de homogeneización . [ 1 ]

En la física de medios continuos , la dispersión espacial es un fenómeno en el que parámetros del material, como la permitividad o la conductividad, dependen del vector de onda . Normalmente, por simplicidad, se supone que dicha dependencia está ausente; sin embargo, la dispersión espacial existe en diversos grados en todos los materiales.

La razón física subyacente de la dependencia del vector de onda suele ser que el material posee alguna estructura espacial más pequeña que la longitud de onda de cualquier señal (como luz o sonido) que se esté considerando. Dado que estas pequeñas estructuras espaciales no pueden ser resueltas por las ondas, solo se pueden detectar efectos indirectos (por ejemplo, la dependencia del vector de onda). En tal caso, aunque la luz no puede resolver los átomos individuales, estos, como agregados, pueden afectar la forma en que la luz se propaga. Otro mecanismo común es que la luz (por ejemplo) se acople a una excitación del material, como un plasmón .

La dispersión espacial puede compararse con la dispersión temporal, a la que a menudo se denomina simplemente dispersión . La dispersión temporal representa efectos de memoria en los sistemas, comúnmente observados en óptica y electrónica. La dispersión espacial, por otro lado, representa efectos de propagación y suele ser significativa solo a escalas microscópicas. La dispersión espacial introduce perturbaciones relativamente pequeñas en la óptica, generando efectos débiles como la actividad óptica . La dispersión espacial y la temporal pueden coexistir en el mismo sistema.

La dispersión espacial también se distingue de los efectos anisotrópicos como la birrefringencia . En estos últimos, los parámetros materiales efectivos que experimenta una onda dependen de la dirección del vector de onda, pero esto puede describirse completamente como un parámetro material tensorial , donde los componentes del tensor son independientes del vector de onda. Por el contrario, la dispersión espacial implica que el parámetro tensorial en sí depende del vector de onda: su magnitud y (a menudo) también su dirección.

Origen: respuesta no local

El origen de la dispersión espacial puede modelarse como una respuesta no local, donde la respuesta a un campo de fuerza aparece en múltiples ubicaciones, incluso en aquellas donde la fuerza es cero. Esto suele deberse a la propagación de efectos por los grados de libertad microscópicos ocultos. [ 2 ]

Como ejemplo, consideremos el actualJ(incógnita,t){\displaystyle J(x,t)}que se activa en respuesta a un campo eléctrico.mi(incógnita,t){\displaystyle E(x,t)}, que varía en el espacio (x) y el tiempo (t). Leyes simplificadas como la ley de Ohm dirían que son directamente proporcionales entre sí,J=σmi{\displaystyle J=\sigma E}, pero esto falla si el sistema tiene memoria (dispersión temporal) o propagación (dispersión espacial). La respuesta lineal más general viene dada por:

J(incógnita,t)=∫−∞−∞dincógnita′∫−∞−∞dt′σ(incógnita,incógnita′,t,t′)mi(incógnita′,t′),{\displaystyle J(x,t)=\int _{-\infty }^{-\infty }dx'\int _{-\infty }^{-\infty }dt'\,\sigma (x,x',t,t')E(x',t'),}

dóndeσ(incógnita,incógnita′,t,t′)dincógnita′dt′{\displaystyle \sigma (x,x',t,t')dx'\,dt'}es la función de conductividad no local .

Si el sistema es invariante en el tiempo ( simetría de traslación temporal ) e invariante en el espacio (simetría de traslación espacial), entonces podemos simplificar porqueσ(incógnita,incógnita′,t,t′)=σsymetro(incógnita−incógnita′,t−t′){\displaystyle \sigma (x,x',t,t')=\sigma _{\rm {sym}}(xx',tt')}para algún núcleo de convoluciónσsymetro{\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}}También podemos considerar soluciones de ondas planas parami{\displaystyle E}yJ{\displaystyle J}así:

J(incógnita,t)=Re⁡(J0miikincógnita−iωt){\displaystyle J(x,t)=\operatorname {Re} (J_{0}e^{ikx-i\omega t})}
mi(incógnita,t)=Re⁡(mi0miikincógnita−iωt){\displaystyle E(x,t)=\operatorname {Re} (E_{0}e^{ikx-i\omega t})}

lo que da como resultado una relación notablemente simple entre las amplitudes complejas de las dos ondas planas:

J0=σ~(k,ω)mi0.{\displaystyle J_{0}={\tilde {\sigma }}(k,\omega )E_{0}.}

donde la funciónσ~(k,ω){\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )}viene dada por una transformada de Fourier de la función de respuesta espacio-temporal:

σ~(k,ω)=∫−∞−∞dincógnita″∫−∞−∞dt″mi−ikincógnita″+iωt″σsymetro(incógnita″,t″).{\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )=\int _{-\infty }^{-\infty }dx''\int _{-\infty }^{-\infty }dt''\,e^{-ikx''+i\omega t''}\sigma _{\rm {sym}}(x'',t'').}

La función de conductividadσ~(k,ω){\displaystyle {\tilde {\sigma }}(k,\omega )}tiene dispersión espacial si depende del vector de onda k . Esto ocurre si la función espacialσsymetro(incógnita−incógnita′,t−t′){\displaystyle \sigma _{\rm {sym}}(xx',tt')}no es una respuesta puntual ( función delta ) en xx' .

Dispersión espacial en el electromagnetismo

En electromagnetismo , la dispersión espacial influye en algunos efectos materiales, como la actividad óptica y el ensanchamiento Doppler . La dispersión espacial también desempeña un papel importante en la comprensión de los metamateriales electromagnéticos . Generalmente, interesa la dispersión espacial de la permitividad ε .

Óptica de cristal

Dentro de los cristales puede haber una combinación de dispersión espacial, dispersión temporal y anisotropía. [ 3 ] La relación constitutiva para el vector de polarización se puede escribir como:

PAGi(k→,ω)=∑j(ϵij(k→,ω)−ϵ0δij)mij(k→,ω),{\displaystyle P_{i}({\vec {k}},\omega )=\sum _{j}(\epsilon _{ij}({\vec {k}},\omega )-\epsilon _{0}\delta _{ij})E_{j}({\vec {k}},\omega ),}

Es decir, la permitividad es un tensor que depende del vector de onda y de la frecuencia .

Considerando las ecuaciones de Maxwell , se pueden encontrar los modos normales de onda plana dentro de dichos cristales. Estos ocurren cuando se satisface la siguiente relación para un vector de campo eléctrico distinto de cero.mi→{\displaystyle {\vec {E}}}: [ 3 ]

ω2μ0ϵ(k→,ω)mi→−(k→⋅k→)mi→+(k→⋅mi→)k→=0.{\displaystyle \omega ^{2}\mu _{0}\epsilon ({\vec {k}},\omega ){\vec {E}}-({\vec {k}}\cdot {\vec {k}}){\vec {E}}+({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}){\vec {k}}=0.}

Dispersión espacial enϵ(k→,ω){\displaystyle \epsilon ({\vec {k}},\omega )}puede dar lugar a fenómenos extraños, como la existencia de múltiples modos con la misma frecuencia y dirección del vector de onda, pero con diferentes magnitudes de vector de onda.

Cerca de las superficies y límites del cristal, ya no es válido describir la respuesta del sistema en términos de vectores de onda. Para una descripción completa, es necesario volver a una función de respuesta no local completa (sin simetría traslacional ); sin embargo, el efecto final a veces puede describirse mediante "condiciones de contorno adicionales" (ABC).

En medios isotrópicos

En materiales que no poseen una estructura cristalina relevante, la dispersión espacial puede ser importante.

Aunque la simetría exige que la permitividad sea isotrópica para un vector de onda cero, esta restricción no se aplica para vectores de onda distintos de cero. La no isotropía de la permitividad para vectores de onda distintos de cero da lugar a efectos como la actividad óptica en soluciones de moléculas quirales. En materiales isotrópicos sin actividad óptica, el tensor de permitividad puede descomponerse en componentes transversales y longitudinales, que se refieren a la respuesta a campos eléctricos perpendiculares o paralelos al vector de onda. [ 2 ]

Para frecuencias cercanas a una línea de absorción (por ejemplo, un excitón ), la dispersión espacial puede desempeñar un papel importante. [ 2 ]

Amortiguación de Landau

En física de plasmas, una onda puede ser amortiguada sin colisiones por partículas en el plasma cuya velocidad coincide con la velocidad de fase de la onda. Esto se representa típicamente como una pérdida espacialmente dispersiva en la permitividad del plasma.

Ambigüedad entre permitividad y permeabilidad a frecuencia distinta de cero

A frecuencias distintas de cero, es posible representar todas las magnetizaciones como polarizaciones variables en el tiempo . Además, dado que los campos eléctrico y magnético están directamente relacionados por∇×mi=−∂B/∂t{\displaystyle \nabla \times E=-\partial B/\partial t}La magnetización inducida por un campo magnético puede representarse, en cambio, como una polarización inducida por el campo eléctrico, aunque con una relación altamente dispersiva.

Esto significa que, a frecuencias distintas de cero, cualquier contribución a la permeabilidad μ puede representarse alternativamente mediante una contribución espacialmente dispersiva a la permitividad ε . En esta representación alternativa, los valores de la permeabilidad y la permitividad difieren, pero esto no produce diferencias observables en magnitudes reales como el campo eléctrico, la densidad de flujo magnético, los momentos magnéticos y la corriente.

Como resultado, en frecuencias ópticas es más común establecer μ a la permeabilidad del vacío μ 0 y considerar únicamente una permitividad dispersiva ε . [ 2 ] Existe cierta discusión sobre si esto es apropiado en metamateriales donde se utilizan aproximaciones de medio efectivo para μ , y debate sobre la realidad de la "permeabilidad negativa" observada en metamateriales de índice negativo . [ 4 ]

Dispersión espacial estática

Incluso a frecuencia cero, una perturbación de carga en una ubicación causará una nube deslocalizada que enmascara su efecto. Esta deslocalización puede describirse como dispersión espacial en la permitividad estática. [ 5 ] En un metal, esto toma la forma de oscilaciones de Friedel , donde en la función de permitividadϵ(k){\displaystyle \epsilon (k)}puede entenderse como un corte brusco para vectores de onda que superan el doble del vector de onda de Fermi, y este corte brusco provoca una forma de artefacto de resonancia .

Dispersión espacial en acústica

En acústica , especialmente en sólidos, la dispersión espacial puede ser significativa para longitudes de onda comparables al espaciado de la red cristalina, lo que suele ocurrir a frecuencias muy altas ( gigahercios y superiores).

En los sólidos, la diferencia en la propagación de los modos acústicos transversales y longitudinales del sonido se debe a una dispersión espacial en el tensor de elasticidad que relaciona la tensión y la deformación. Para las vibraciones polares ( fonones ópticos ), la distinción entre los modos longitudinales y transversales puede considerarse como una dispersión espacial en las fuerzas restauradoras, provenientes del grado de libertad no mecánico "oculto" que es el campo electromagnético.

Muchos efectos de las ondas electromagnéticas debidos a la dispersión espacial encuentran un análogo en las ondas acústicas . Por ejemplo, existe actividad acústica —la rotación del plano de polarización de las ondas sonoras transversales— en materiales quirales , [ 6 ] análoga a la actividad óptica.

Referencias

  1. ↑ Silveirinha, Mário G.; Belov, Pavel A. (2008). "Dispersión espacial en redes de resonadores de anillo partido con permeabilidad cercana a cero". Physical Review B . 77 (23) 233104. Bibcode : 2008PhRvB..77w3104S . doi : 10.1103/PhysRevB.77.233104 .
  2. 1 2 3 4 L.D. Landau ; EM Lifshitz ; LP Pitaevskii (1984). Electrodinámica de medios continuos . Vol. 8 (2.ª ed.). Butterworth-Heinemann . ISBN   978-0-7506-2634-7.
  3. 1 2 Agranovich y Ginzburg. Óptica cristalina con dispersión espacial y excitones [2.ª ed.]. 978-3-662-02408-9, 978-3-662-02406-5
  4. ↑ Agranovich, Vladimir M.; Gartstein, Yu.N. (2006). "REVISIONES DE PROBLEMAS DE ACTUALIDAD: Dispersión espacial y refracción negativa de la luz". Physics-Uspekhi . 49 (10): 1029. Bibcode : 2006PhyU...49.1029A . doi : 10.1070/PU2006v049n10ABEH006067 . S2CID 119408077 . 
  5. ↑ Gabovich, AM; Il'Chenko, LG; Pashitskiǐ, EA; Romanov, Yu. A. (1978). "Apantallamiento de cargas y oscilaciones de Friedel de la densidad electrónica en metales con superficies de Fermi de forma diferente" (PDF) . JETP . 48 : 124. Bibcode : 1978JETP...48..124G .
  6. ↑ Portigal, DL; Burstein, E. (1968). "Actividad acústica y otros efectos de dispersión espacial de primer orden en cristales". Physical Review . 170 (3): 673– 678. Bibcode : 1968PhRv..170..673P . doi : 10.1103/PhysRev.170.673 . ISSN 0031-899X .