Socle (matemáticas)

En matemáticas , el término zócalo tiene varios significados relacionados.

En el contexto de la teoría de grupos , el socle de un grupo G , denotado soc( G ), es el subgrupo generado por los subgrupos normales mínimos de G. Puede ocurrir que un grupo no tenga subgrupos normales no triviales mínimos (es decir, todo subgrupo normal no trivial contiene propiamente otro subgrupo de este tipo) y, en ese caso, el socle se define como el subgrupo generado por la identidad. El socle es un producto directo de subgrupos normales mínimos. ^{[ 1 ]}

Como ejemplo, consideremos el grupo cíclico Z ₁₂ con generador u , que tiene dos subgrupos normales mínimos, uno generado por u ⁴ (que da un subgrupo normal con 3 elementos) y el otro por u ⁶ (que da un subgrupo normal con 2 elementos). Por lo tanto, el socle de Z ₁₂ es el grupo generado por u ⁴ y u ⁶ , que es simplemente el grupo generado por u ² .

El socle es un subgrupo característico y, por lo tanto, un subgrupo normal. Sin embargo, no es necesariamente transitivamente normal .

Si un grupo G es un grupo finito resoluble , entonces el socle puede expresarse como un producto de p- grupos abelianos elementales . Por lo tanto, en este caso, es simplemente un producto de copias de Z / p Z para varios p , donde el mismo p puede aparecer varias veces en el producto.

En el contexto de la teoría de módulos y la teoría de anillos, el zócalo de un módulo${\displaystyle M}$sobre un anillo${\displaystyle R}$se define como la suma de los submódulos no nulos mínimos de${\displaystyle M}$. Puede considerarse como una noción dual a la del radical de un módulo . En notación de conjuntos,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum _{N{\text{ es un submódulo simple de }}M}N.}$

De forma equivalente,

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap _{E{\text{ es un submódulo esencial de }}M}E.}$

El zócalo de un anillo${\displaystyle R}$puede referirse a uno de los dos conjuntos en el anillo. Considerando${\displaystyle R}$como un derecho${\displaystyle R}$-módulo,${\displaystyle \mathrm {soc} (R_ {R})}$se define y considerando${\displaystyle R}$como una izquierda${\displaystyle R}$-módulo,${\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)}$está definido. Ambos socles son ideales de anillo , y se sabe que no son necesariamente iguales.

• Si${\displaystyle M}$es un módulo artiniano ,${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$es en sí mismo un submódulo esencial de${\displaystyle M}$.

De hecho, si${\displaystyle M}$es un módulo semiartiniano , entonces${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$es en sí mismo un submódulo esencial de${\displaystyle M}$. Además, si${\displaystyle M}$es un módulo no nulo sobre un anillo semiartiniano izquierdo , entonces${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$es en sí mismo un submódulo esencial de${\displaystyle M}$Esto se debe a que cualquier módulo no nulo sobre un anillo semiartiniano izquierdo es un módulo semiartiniano.

• Un módulo es semisimple si y solo si${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=M}$. Anillos para los cuales${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=M}$para todos los módulos${\displaystyle M}$son precisamente anillos semisimples .
• ${\displaystyle \mathrm {soc} (\mathrm {soc} (M))=\mathrm {soc} (M)}$.
• ${\displaystyle M}$es un módulo cogenerado finitamente si y solo si${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$es finitamente generado y${\displaystyle \mathrm {soc} (M)}$es un submódulo esencial de${\displaystyle M}$.
• Dado que la suma de módulos semisimples es semisimple, el soclo de un módulo también podría definirse como el único submódulo semisimple maximal.
• Desde la definición de${\displaystyle \mathrm {rad} (R)}$, es fácil ver que${\displaystyle \mathrm {rad} (R)}$aniquila${\displaystyle \mathrm {soc} (R)}$. Si${\displaystyle R}$es un álgebra unitaria de dimensión finita y${\displaystyle M}$un generado finitamente${\displaystyle R}$-módulo entonces el socle consiste precisamente en los elementos aniquilados por el radical de Jacobson de${\displaystyle R}$. ^{[ 2 ]}

En el contexto de las álgebras de Lie , un soclo de un álgebra de Lie simétrica es el espacio propio de su automorfismo estructural que corresponde al valor propio  −1. (Un álgebra de Lie simétrica se descompone en la suma directa de su soclo y su cosoclo ). ^{[ 3 ]}

• Casco inyectivo
• Radical de un módulo
• Cosocle

• Alperín, JL ; Bell, Rowen B. (1995). Grupos y Representaciones . Springer-Verlag . pag. 136 . ISBN  0-387-94526-1.
• Anderson, Frank Wylie; Fuller, Kent R. (1992). Anillos y categorías de módulos . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97845-1.
• Robinson, Derek JS (1996), Un curso de teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  80 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag , pp.  xviii+499, doi : 10.1007/978-1-4419-8594-1 , ISBN 0-387-94461-3, MR 1357169