SnapGuisante

SnapPea es un software libre diseñado para ayudar a los matemáticos , en particular a los topólogos de baja dimensión , a estudiar las 3-variedades hiperbólicas . El desarrollador principal es Jeffrey Weeks , quien creó la primera versión ^{[ 1 ]} como parte de su tesis doctoral, ^{[ 2 ]} supervisada por William Thurston . No debe confundirse con el malware para Android del mismo nombre, que no guarda relación con este. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

La última versión es la 3.0d3. Marc Culler , Nathan Dunfield y sus colaboradores han ampliado el núcleo SnapPea y han desarrollado módulos de extensión en Python que permiten utilizarlo en un programa Python o en el intérprete. También proporcionan una interfaz gráfica de usuario escrita en Python que funciona en la mayoría de los sistemas operativos (véanse los enlaces externos a continuación).

Las siguientes personas aparecen en la lista de agradecimientos de SnapPea 2.5.3: Colin Adams , Bill Arveson , Pat Callahan , Joe Christy , Dave Gabai , Charlie Gunn , Martin Hildebrand , Craig Hodgson , Diane Hoffoss , AC Manoharan , Al Marden , Dick McGehee , Rob Meyerhoff , Lee Mosher , Walter Neumann , Carlo Petronio , Mark Phillips , Alan Reid y Makoto Sakuma .

El código fuente en C está ampliamente comentado por Jeffrey Weeks y contiene descripciones útiles de las matemáticas involucradas, con referencias.

El SnapPeaKernel se publica bajo la licencia GNU GPL 2+ ^{[ 6 ]} al igual que SnapPy. ^{[ 7 ]}

SnapPea se basa en dos algoritmos principales. El primero busca la triangulación ideal mínima de un complemento de enlace dado . El segundo calcula la descomposición canónica de una variedad hiperbólica tridimensional con cúspides . Casi todas las demás funciones de SnapPea dependen de alguna manera de una de estas descomposiciones.

SnapPea admite datos en diversos formatos. Dado un diagrama de enlaces , SnapPea puede triangular idealmente el complemento de enlaces . A continuación, realiza una serie de simplificaciones para encontrar una triangulación ideal localmente mínima.

Una vez encontrada una triangulación ideal adecuada, SnapPea puede intentar hallar una estructura hiperbólica. En sus apuntes de clase de Princeton, Thurston describió un método para describir la forma geométrica de cada tetraedro hiperbólico mediante un número complejo y un conjunto de ecuaciones no lineales de variables complejas cuya solución proporcionaría una métrica hiperbólica completa en la 3-variedad. Estas ecuaciones consisten en ecuaciones de aristas y ecuaciones de cúspides (completitud) . SnapPea utiliza un método iterativo basado en el método de Newton para buscar soluciones. Si no existe ninguna solución, se informa al usuario.

La minimalidad local de la triangulación tiene como objetivo aumentar la probabilidad de que exista tal solución, ya que, heurísticamente, cabría esperar que dicha triangulación se "enderezara" sin causar degeneraciones ni superposición de tetraedros.

A partir de esta descripción de la estructura hiperbólica en el complemento de enlace, SnapPea puede realizar un relleno de Dehn hiperbólico en las cúspides para obtener variedades tridimensionales más hiperbólicas. SnapPea lo logra tomando pendientes dadas que determinan ciertas ecuaciones de relleno de Dehn (explicadas también en las notas de Thurston) y ajustando las formas de los tetraedros ideales para obtener soluciones a estas ecuaciones y a las ecuaciones de arista. Para casi todas las pendientes, esto da como resultado una estructura hiperbólica incompleta en el complemento de enlace, cuya completitud da lugar a una estructura hiperbólica en la variedad rellena de Dehn. Su volumen es la suma de los volúmenes de los tetraedros ajustados.

SnapPea suele ser capaz de calcular la descomposición canónica de una variedad hiperbólica tridimensional con cúspides a partir de una triangulación ideal dada. Si no lo consigue, realiza una retriangulación aleatoria e intenta de nuevo. Nunca se ha registrado un fallo en este método.

La descomposición canónica permite a SnapPea distinguir dos variedades hiperbólicas tridimensionales con cúspides, transformando el problema del reconocimiento en una cuestión combinatoria: comprobar si las dos variedades tienen descomposiciones canónicas combinatoriamente equivalentes. SnapPea también puede comprobar si dos variedades hiperbólicas tridimensionales cerradas son isométricas, extrayendo geodésicas cortas para crear variedades hiperbólicas tridimensionales con cúspides y aplicando la descomposición canónica como antes.

El algoritmo de reconocimiento permite a SnapPea distinguir entre dos nudos o enlaces hiperbólicos. Weeks y otros también lograron compilar diferentes censos de variedades hiperbólicas tridimensionales utilizando el algoritmo para eliminar listas de duplicados.

Además, a partir de la descomposición canónica, SnapPea es capaz de:

• Calcular el dominio de Ford
• Calcula el grupo de simetría

SnapPea dispone de varias bases de datos de variedades hiperbólicas tridimensionales para su estudio sistemático.

• censo en cúspide
• Censo cerrado

• Regina incorpora aspectos de SnapPea.
• Topología computacional
• Las 24 preguntas de Thurston

• Sitio web de SnapPea Jeff Weeks
• Ampliación de SnapPy Culler y Dunfield
• La extensión Orb de Damian Heard permite:

• variedades hiperbólicas con frontera totalmente geodésica
• orbifolds donde el lugar geométrico del orbifold contiene vértices trivalentes