Proceso de punto simple

Un proceso de puntos simple es un tipo especial de proceso de puntos en la teoría de la probabilidad . En los procesos de puntos simples, a cada punto se le asigna el peso uno.

Dejar${\displaystyle S}$sea ​​un segundo espacio de Hausdorff localmente compacto y numerable y deje que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$sea ​​su Borel${\displaystyle \sigma }$-álgebra . Un proceso puntual${\displaystyle \xi }$, interpretado como una medida aleatoria en${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$, se denomina proceso de punto simple si se puede escribir como

${\displaystyle \xi =\sum _{i\in I}\delta _{X_{i}}}$

para un conjunto de índices${\displaystyle I}$y elementos aleatorios${\displaystyle X_{i}}$que son prácticamente distintos entre sí. Aquí${\displaystyle \delta _{x}}$denota la medida de Dirac en el punto${\displaystyle x}$.

Los procesos puntuales simples incluyen muchas clases importantes de procesos puntuales, como los procesos de Poisson , los procesos de Cox y los procesos binomiales .

Si${\displaystyle {\mathcal {I}}}$es un anillo generador de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$luego un proceso de puntos simple${\displaystyle \xi }$está determinado de forma única por sus valores en los conjuntos${\displaystyle U\in {\mathcal {I}}}$Esto significa que dos procesos puntuales simples${\displaystyle \xi }$y${\displaystyle \zeta }$tienen las mismas distribuciones si y solo si

${\displaystyle P(\xi (U)=0)=P(\zeta (U)=0){\text{ para todo }}U\in {\mathcal {I}}}$

• Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol.  77. Suiza: Springer. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
• Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Introducción a la teoría de los procesos puntuales: Volumen I: Teoría elemental y métodos . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-95541-0.