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Fórmula de los cordones de zapatos

Método de los cordones de zapatos para determinar el área de un polígono con coordenadas de puntos. ( incógnita 1 , y 1 ) , . . . , ( incógnita norte , y norte ) {\displaystyle ...

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Método de los cordones de zapatos para determinar el área de un polígono con coordenadas de puntos.(incógnita1,y1),...,(incógnitanorte,ynorte){\displaystyle (x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})}

La fórmula del cordón , también conocida como fórmula del área de Gauss y fórmula del agrimensor , [ 1 ] es un algoritmo matemático para determinar el área de un polígono simple cuyos vértices se describen mediante sus coordenadas cartesianas en el plano. [ 2 ] Se denomina fórmula del cordón debido a la constante multiplicación cruzada de las coordenadas que componen el polígono, como al enhebrar cordones. [ 2 ] Tiene aplicaciones en topografía y silvicultura, [ 3 ] entre otras áreas.

La fórmula fue descrita por Albrecht Ludwig Friedrich Meister (1724–1788) en 1769 [ 4 ] y se basa en la fórmula del trapecio que fue descrita por Carl Friedrich Gauss y CGJ Jacobi . [ 5 ] La forma triangular de la fórmula del área puede considerarse un caso especial del teorema de Green .

La fórmula del área también se puede aplicar a polígonos autosuperpuestos, ya que el significado de área sigue siendo claro, aunque los polígonos autosuperpuestos no suelen ser simples . [ 6 ] Además, un polígono autosuperpuesto puede tener múltiples "interpretaciones", pero la fórmula del cordón se puede usar para demostrar que el área del polígono es la misma independientemente de la interpretación. [ 7 ]

Las fórmulas del área de un polígono

Idea básica: Cada arista de un polígono determina el área con signo de un trapecio. La suma de todas estas áreas da como resultado el área del polígono.

Dado: Un polígono simple plano con una secuencia de puntos orientados positivamente (en sentido antihorario).PAGi=(incógnitai,yi),i=1,…,norte{\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,\dots ,n}en un sistema de coordenadas cartesianas . Para simplificar las fórmulas siguientes, es conveniente establecerPAG0=PAGnorte,PAGnorte+1=PAG1{\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}.

Las fórmulas: El área del polígono dado se puede expresar mediante diversas fórmulas, que están conectadas por operaciones simples (ver más abajo): Si el polígono está orientado negativamente , entonces el resultadoA{\displaystyle A}de las fórmulas es negativo. En cualquier caso|A|{\displaystyle |A|}es el área buscada del polígono. [ 8 ]

Fórmula trapezoidal

La fórmula del trapecio resume una secuencia de áreas orientadas.Ai=12(yi+yi+1)(incógnitai−incógnitai+1){\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}de trapecios conPAGiPAGi+1{\displaystyle P_{i}P_{i+1}}como uno de sus cuatro bordes (véase más abajo): A=12∑i=1norte(yi+yi+1)(incógnitai−incógnitai+1)=12((y1+y2)(incógnita1−incógnita2)+⋯+(ynorte+y1)(incógnitanorte−incógnita1)){\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}(y_{1}+y_{2})(x_{1}-x_{2})+\cdots +(y_{n}+y_{1})(x_{n}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}

Fórmula del triángulo

La fórmula del triángulo suma las áreas orientadas.Ai{\displaystyle A_{i}}de triángulosOPAGiPAGi+1{\displaystyle OP_{i}P_{i+1}}: [ 9 ]B=12∑i=1norte(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi)=12∑i=1norte|incógnitaiincógnitai+1yiyi+1|=12∑i=1norte|incógnitaiyiincógnitai+1yi+1|=12(incógnita1y2−incógnita2y1+incógnita2y3−incógnita3y2+⋯+incógnitanortey1−incógnita1ynorte){\displaystyle {\begin{aligned}B&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{vmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}{\Big )}\end{aligned}}}

Fórmula de los cordones de zapatos

Esquema de cordones, forma vertical: Con todas las barras diagonales dibujadas, la matriz se asemeja vagamente a un zapato con los cordones atados, lo que da origen al nombre del algoritmo.

La fórmula del triángulo es la base de la popular fórmula del cordón de zapato , que es un esquema que optimiza el cálculo de la suma de los determinantes de 2×2 a mano: 2A=|incógnita1incógnita2y1y2|+|incógnita2incógnita3y2y3|+⋯+|incógnitanorteincógnita1ynortey1|=|incógnita1incógnita2incógnita3⋯incógnitanorteincógnita1y1y2y3⋯ynortey1|{\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}+\cdots +{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\\[10mu]&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\cdots &x_{n}&x_{1}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\cdots &y_{n}&y_{1}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}

A veces, este determinante se transpone (se escribe verticalmente, en dos columnas), como se muestra en el diagrama.

Otras fórmulas

A=12∑i=1norteyi(incógnitai−1−incógnitai+1)=12(y1(incógnitanorte−incógnita2)+y2(incógnita1−incógnita3)+⋯+ynorte(incógnitanorte−1−incógnita1)){\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})\\&={\frac {1}{2}}{\Big (}y_{1}(x_{n}-x_{2})+y_{2}(x_{1}-x_{3})+\cdots +y_{n}(x_{n-1}-x_{1}){\Big )}\end{aligned}}}A=12∑i=1norteincógnitai(yi+1−yi−1){\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}

Álgebra exterior

Una formulación particularmente concisa de la fórmula puede expresarse en términos del álgebra exterior . Seav1,v2,…,vnorte{\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}Sean los vértices consecutivos del polígono. La expansión en coordenadas cartesianas del producto exterior con respecto a la base plana ortonormal ordenada estándar.(incógnita,y){\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}davi∧vi+1=(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi)incógnita∧y{\displaystyle \mathbf {v} _{i}\wedge \mathbf {v} _{i+1}=(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\;\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} }y el área orientada se da de la siguiente manera. A=12∑i=1nortevi∧vi+1=12∑i=1norte(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi)incógnita∧y{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\;\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} } Tenga en cuenta que el área se expresa como un múltiplo del área unitaria.incógnita∧y{\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {y} }.

Ejemplo
Forma de cordón horizontal para el ejemplo.

Ejemplo

Para el área del pentágono con PAG1=(1,6),PAG2=(3,1),PAG3=(7,2),PAG4=(4,4),PAG5=(8,5){\displaystyle {\begin{aligned}&P_{1}=(1,6),P_{2}=(3,1),P_{3}=(7,2),\\[5pt]&P_{4}=(4,4),P_{5}=(8,5)\end{aligned}}} uno consigue 2A=|1361|+|3712|+|7424|+|4845|+|8156|=(1−18)+(6−7)+(28−8)+(20−32)+(48−5)=33A=16.5{\displaystyle {\begin{aligned}2A&={\begin{vmatrix}1&3\\6&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}3&7\\1&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}7&4\\2&4\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}4&8\\4&5\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}8&1\\5&6\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(1-18)\;+(6-7)\;+(28-8)\;+(20-32)\;+(48-5)=33\\[5pt]A&=16.5\end{aligned}}}

La ventaja del formato de cordón: solo hay que escribir 6 columnas para calcular los 5 determinantes con 10 columnas.

Derivación de las fórmulas

Fórmula trapezoidal

Derivación de la fórmula del trapecio

El bordePAGi,PAGi+1{\displaystyle P_{i},P_{i+1}}determina el trapecio(incógnitai,yi),(incógnitai+1,yi+1),(incógnitai,0),(incógnitai+1,0){\displaystyle (x_{i},y_{i}),(x_{i+1},y_{i+1}),(x_{i},0),(x_{i+1},0)}con su área orientada

Ai=12(yi+yi+1)(incógnitai−incógnitai+1){\displaystyle A_{i}={\tfrac {1}{2}}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}

En caso deincógnitai<incógnitai+1{\displaystyle x_{i}<x_{i+1}}el númeroAi{\displaystyle A_{i}}es negativo, de lo contrario positivo oAi=0{\displaystyle A_{i}=0}siincógnitai=incógnitai+1{\displaystyle x_{i}=x_{i+1}}En el diagrama, la orientación de un borde se muestra mediante una flecha. El color muestra el signo deAi{\displaystyle A_{i}}: rojo significaAi<0{\displaystyle A_{i}<0}, verde indicaAi>0{\displaystyle A_{i}>0}En el primer caso, el trapecio se llama negativo; en el segundo, positivo . Los trapecios negativos eliminan las partes de los trapecios positivos que quedan fuera del polígono. En el caso de un polígono convexo (en el diagrama, el ejemplo superior), esto es obvio: el área del polígono es la suma de las áreas de los trapecios positivos (bordes verdes) menos las áreas de los trapecios negativos (bordes rojos). En el caso no convexo, hay que considerar la situación con más detenimiento (véase el diagrama). En cualquier caso, el resultado es A=∑i=1norteAi=12∑i=1norte(yi+yi+1)(incógnitai−incógnitai+1){\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}A_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}

Forma triangular, forma determinante

Forma triangular: El color de los bordes indica qué área del triángulo es positiva (verde) y negativa (rojo) respectivamente.

Eliminando los corchetes y usando ∑i=1norteincógnitaiyi=∑i=1norteincógnitai+1yi+1{\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i+1}}(véase la convención) PAGnorte+1=PAG1{\displaystyle P_{n+1}=P_{1}}(arriba), se obtiene la forma determinante de la fórmula del área: A=12∑i=1norte(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi)=12∑i=1norte|incógnitaiincógnitai+1yiyi+1|{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}} Porque la mitad del i-ésimo determinante es el área orientada del triángulo.O,PAGi,PAGi+1{\displaystyle O,P_{i},P_{i+1}}Esta versión de la fórmula del área se llama forma triangular .

Otras fórmulas

Con∑i=1norteincógnitaiyi+1=∑i=1norteincógnitai−1yi {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}\ }(véase la convención) PAG0=PAGnorte,PAGnorte+1=PAG1{\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}arriba) uno obtiene 2A=∑i=1norte(incógnitaiyi+1−incógnitai+1yi)=∑i=1norteincógnitaiyi+1−∑i=1norteincógnitai+1yi=∑i=1norteincógnitai−1yi−∑i=1norteincógnitai+1yi{\displaystyle 2A=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i-1}y_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}} Combinando ambas sumas y excluyendoyi{\displaystyle y_{i}}conduce a A=12∑i=1norteyi(incógnitai−1−incógnitai+1){\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})} Con la identidad∑i=1norteincógnitai+1yi=∑i=1norteincógnitaiyi−1{\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i-1}}uno consigue A=12∑i=1norteincógnitai(yi+1−yi−1){\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})}

Alternativamente, este es un caso especial del teorema de Green con una función establecida en 0 y la otra en x, de modo que el área es la integral de xdy a lo largo del límite.

Manipulaciones de un polígono

A(PAG1,…,PAGnorte){\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})}indica el área orientada del polígono simplePAG1,…,PAGnorte{\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}connorte≥4{\displaystyle n\geq 4}(véase más arriba).A{\displaystyle A}es positivo/negativo si la orientación del polígono es positiva/negativa. A partir de la forma triangular de la fórmula del área o del diagrama siguiente se observa que1<k<norte{\displaystyle 1<k<n}: A(PAG1,…,PAGnorte)=A(PAG1,…,PAGk−1,PAGk+1,…,PAGnorte)+A(PAGk−1,PAGk,PAGk+1){\displaystyle A(P_{1},\dots ,P_{n})=A(P_{1},\dots ,P_{k-1},P_{k+1},\dots ,P_{n})+A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})} En caso dek=1onorte{\displaystyle k=1\;{\text{or}}\;n}Primero hay que cambiar los índices.

Por eso:

  1. EmocionantePAGk{\displaystyle P_{k}}afecta soloA(PAGk−1,PAGk,PAGk+1){\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}y hojasA(PAG1,...,PAGk−1,PAGk+1,...,PAGnorte){\displaystyle A(P_{1},...,P_{k-1},P_{k+1},...,P_{n})}sin cambios. No hay cambios en el área siPAGk{\displaystyle P_{k}}se mueve en paralelo aPAGk−1PAGk+1¯{\displaystyle {\overline {P_{k-1}P_{k+1}}}}.
  2. PurgaPAGk{\displaystyle P_{k}}cambia el área total enA(PAGk−1,PAGk,PAGk+1){\displaystyle A(P_{k-1},P_{k},P_{k+1})}, que puede ser positivo o negativo.
  3. Punto de inserciónQ{\displaystyle Q}entrePAGk,PAGk+1{\displaystyle P_{k},P_{k+1}}cambia el área total enA(PAGk,Q,PAGk+1){\displaystyle A(P_{k},Q,P_{k+1})}, que puede ser positivo o negativo.

Ejemplo:

PAG1=(3,1),PAG2=(7,2),PAG3=(4,4),{\displaystyle P_{1}=(3,1),P_{2}=(7,2),P_{3}=(4,4),}
PAG4=(8,6),PAG5=(1,7), Q=(4,3){\displaystyle P_{4}=(8,6),P_{5}=(1,7),\ Q=(4,3)}
Manipulaciones de un polígono

Con la notación anterior del esquema de cordones se obtiene para el área orientada de la

  • polígono azul :A(PAG1,PAG2,PAG3,PAG4,PAG5)=12|374813124671|=20.5{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&4&8&1&3\\1&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=20.5}
  • triángulo verde :A(PAG2,PAG3,PAG4)=12|74872462|=−7{\displaystyle A(P_{2},P_{3},P_{4})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}7&4&8&7\\2&4&6&2\end{vmatrix}}=-7}
  • triángulo rojo :A(PAG1,Q,PAG2)=12|34731321|=−3.5{\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&3\\1&3&2&1\end{vmatrix}}=-3.5}
  • polígono azul punto menosPAG3{\displaystyle P_{3}}:A(PAG1,PAG2,PAG4,PAG5)=12|3781312671|=27.5{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&7&8&1&3\\1&2&6&7&1\end{vmatrix}}=27.5}
  • polígono azul más puntoQ{\displaystyle Q}entrePAG1,PAG2{\displaystyle P_{1},P_{2}}:A(PAG1,Q,PAG2,PAG3,PAG4,PAG5)=12|34748131324671|=17{\displaystyle A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}3&4&7&4&8&1&3\\1&3&2&4&6&7&1\end{vmatrix}}=17}

Se comprueba que se cumplen las siguientes ecuaciones: A(PAG1,PAG2,PAG3,PAG4,PAG5)=A(PAG1,PAG2,PAG4,PAG5)+A(PAG2,PAG3,PAG4)=20.5{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=A(P_{1},P_{2},P_{4},P_{5})+A(P_{2},P_{3},P_{4})=20.5}A(PAG1,PAG2,PAG3,PAG4,PAG5)+A(PAG1,Q,PAG2)=A(PAG1,Q,PAG2,PAG3,PAG4,PAG5)=17{\displaystyle A(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})+A(P_{1},Q,P_{2})=A(P_{1},Q,P_{2},P_{3},P_{4},P_{5})=17}

Generalización

En dimensiones superiores, el área de un polígono se puede calcular a partir de sus vértices utilizando la forma algebraica exterior de la fórmula del cordón (por ejemplo, en 3D, la suma de productos cruzados sucesivos ):A=12‖∑i=1nortevi∧vi+1‖{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left\|\sum _{i=1}^{n}v_{i}\wedge v_{i+1}\right\|}(Cuando los vértices no son coplanares, esto calcula el área vectorial encerrada por el bucle, es decir, el área proyectada o "sombra" en el plano en el que es mayor).

Esta formulación también puede generalizarse para calcular el volumen de un politopo n-dimensional a partir de las coordenadas de sus vértices, o más precisamente, a partir de su malla hipersuperficial . [ 10 ] Por ejemplo, el volumen de un poliedro tridimensional puede hallarse triangulando su malla superficial y sumando los volúmenes con signo de los tetraedros formados por cada triángulo superficial y el origen:V=16‖∑Fva∧vb∧vdo‖{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left\|\sum _{F}v_{a}\wedge v_{b}\wedge v_{c}\right\|}donde la suma se realiza sobre las caras y se debe tener cuidado de ordenar los vértices de manera consistente (todos en sentido horario o antihorario vistos desde fuera del poliedro). Alternativamente, se puede derivar una expresión en términos de las áreas de las caras y las normales de la superficie utilizando el teorema de la divergencia (véase Poliedro § Volumen ).

Prueba

Aplique el teorema de la divergencia al campo vectorial.v(incógnita,y,z)=(incógnita,y,z){\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=(x,y,z)}y el poliedroPAG{\displaystyle P}con límite∂PAG{\displaystyle \partial P}que consta de caras triangularesFi{\displaystyle F_{i}}:

∇⋅v=∂v∂incógnita+∂v∂y+∂v∂z=3{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial z}}=3} Entonces 13∫PAG∇⋅vdV=V(PAG){\displaystyle {\frac {1}{3}}\int _{P}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV=V(P)}

Para cada cara triangularF{\displaystyle F}con vérticesv1,v2,v3{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}, denotemos el vector normal exterior pornorte{\displaystyle \mathbf {n} }, denotamos el área porA{\displaystyle A}.

norteA=(v3−v2)∧(v1−v2){\displaystyle \mathbf {n} A=(v_{3}-v_{2})\wedge (v_{1}-v_{2})}es el vector normal deF{\displaystyle F}con magnitudA{\displaystyle A}.

El flujo dev{\displaystyle \mathbf {v} }a través deF{\displaystyle F}es∫Fv⋅nortedA{\displaystyle \int _{F}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA}

Para cada punto(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}enF{\displaystyle F}, v(incógnita,y,z)⋅norte{\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)\cdot \mathbf {n} }es la proyección del vector(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}sobre el vector normal unitarionorte{\displaystyle \mathbf {n} }, que es la alturah{\displaystyle h}del tetraedro formado porv1,v2,v3{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}y(0,0,0){\displaystyle (0,0,0)}Por lo tanto, el integrando es constante.h{\displaystyle h}enF{\displaystyle F}.

∫Fv⋅nortedA=A⋅h=±12‖v1∧v2∧v3‖{\displaystyle \int _{F}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=A\cdot h=\pm {\frac {1}{2}}\|v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}\|}

dónde‖v1∧v2∧v3‖{\displaystyle \|v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}\|}es 6 veces el volumen del tetraedro formado porv1,v2,v3{\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}y(0,0,0){\displaystyle (0,0,0)}El signo del valor pseudoescalarv1∧v2∧v3{\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}}representa la orientación de nuestra zona y debe tenerse en cuenta para calcular el flujo total.

El flujo total es la suma de los flujos a través de todas las caras:

V(PAG)=13∫∂PAGv⋅nortedA=16‖∑Fv1∧v2∧v3‖{\displaystyle V(P)={\frac {1}{3}}\int _{\partial P}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA={\frac {1}{6}}\left\|\sum _{F}v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}\right\|}

Véase también

  • Vídeo de Mathologer sobre la fórmula de Gauss para el cordón de zapato.

Referencias

  1. ↑ Bart Braden (1986). "La fórmula del área del agrimensor" (PDF) . The College Mathematics Journal . 17 (4): 326– 337. doi : 10.2307/2686282 . JSTOR 2686282. Archivado del original (PDF) el 29 de junio de 2014. 
  2. 1 2 Dahlke, Karl. "Fórmula de los cordones" . Recuperado el 9 de junio de 2008 .
  3. ↑ Hans Pretzsch, Dinámica forestal, crecimiento y rendimiento: de la medición al modelo , Springer, 2009, ISBN 3-540-88306-1pág. 232.
  4. ^ Meister, ALF (1769), "Generalia de genesi figurarum planarum et inde pendentibus earum afectibus" , nov. Com. Gött. (en latín), 1 : 144.
  5. ↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3662068095, 9783662068090, pág. 116
  6. ↑ PW Shor; CJ Van Wyk (1992), "Detección y descomposición de curvas autosuperpuestas", Comput. Geom. Theory Appl. , 2 (1): 31– 50, doi : 10.1016/0925-7721(92)90019-O
  7. ↑ Ralph P. Boland; Jorge Urrutia (2000). Problemas de área de polígonos . 12.ª Conferencia Canadiense sobre Geometría Computacional. págs. 159–162 . 
  8. ↑ Antti Laaksonen: Guía de programación competitiva: Aprendizaje y mejora de algoritmos mediante concursos , Springer, 2018, ISBN 3319725475, 9783319725475, pág. 217
  9. ↑ Mauren Abreu de Souza, Humberto Remigio Gamba, Helio Pedrini: Imágenes multimodales: aplicaciones y técnicas computacionales , Springer, 2018, ISBN 331998974X, 9783319989747, pág. 229
  10. ↑ Allgower, Eugene L.; Schmidt, Phillip H. (1986). "Cálculo de volúmenes de poliedros" (PDF) . Matemáticas de la computación . 46 (173): 171– 174. doi : 10.2307/2008221 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2008221 .  
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