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Variedad Shimura

En teoría de números , una variedad de Shimura es un análogo de dimensión superior de una curva modular que surge como una variedad cociente de un espacio simétrico hermitiano m...

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En teoría de números , una variedad de Shimura es un análogo de dimensión superior de una curva modular que surge como una variedad cociente de un espacio simétrico hermitiano mediante un subgrupo de congruencia de un grupo algebraico reductivo definido sobre Q. Las variedades de Shimura no son variedades algebraicas , sino familias de variedades algebraicas. Las curvas de Shimura son las variedades de Shimura unidimensionales. Las superficies modulares de Hilbert y las variedades modulares de Siegel se encuentran entre las clases más conocidas de variedades de Shimura.

Las instancias especiales de las variedades de Shimura fueron introducidas originalmente por Goro Shimura en el curso de su generalización de la teoría de la multiplicación compleja . Shimura demostró que, si bien inicialmente se definieron analíticamente, son objetos aritméticos, en el sentido de que admiten modelos definidos sobre un cuerpo numérico , el cuerpo reflejo de la variedad de Shimura. En la década de 1970, Pierre Deligne creó un marco axiomático para el trabajo de Shimura. En 1979, Robert Langlands señaló que las variedades de Shimura forman un ámbito natural de ejemplos para los cuales se puede probar la equivalencia entre las funciones L motívicas y automórficas postuladas en el programa de Langlands . Las formas automórficas realizadas en la cohomología de una variedad de Shimura son más susceptibles de estudio que las formas automórficas generales; en particular, existe una construcción que les asocia representaciones de Galois . [ 1 ]

Definición

Dato de Shimura

Sea S = Res C / R G m la restricción de Weil del grupo multiplicativo de números complejos a números reales . Es un grupo algebraico real , cuyo grupo de R -puntos, S ( R ), es C * y su grupo de C -puntos es C * × C * . Un dato de Shimura es un par ( G , X ) que consta de un grupo algebraico reductivo (conexo) G definido sobre el cuerpo Q de los números racionales y una clase de conjugación G ( R ) -X de homomorfismos h : S → G R que satisfacen los siguientes axiomas:

  • Para cualquier h en X , solo pueden aparecer pesos (0,0), (1, − 1), ( − 1,1) en g C , es decir, el álgebra de Lie complejizada de G se descompone en una suma directa
gramo⊗do=k⊕pag+⊕pag−,{\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},}
donde para cualquier z ∈ S , h ( z ) actúa trivialmente sobre el primer sumando y a través dez/z¯{\displaystyle z/{\bar {z}}}(respectivamente,z¯/z{\displaystyle {\bar {z}}/z}) en el segundo (respectivamente, tercer) sumando.
  • La acción adjunta de h( i ) induce una involución de Cartan en el grupo adjunto de G R .
  • El grupo adjunto de G R no admite un factor H definido sobre Q tal que la proyección de h sobre H sea trivial.

De estos axiomas se deduce que X tiene una estructura única de una variedad compleja (posiblemente, desconectada) tal que para cada representación ρ : G R → GL ( V ), la familia ( V , ρ ⋅ h ) es una familia holomorfa de estructuras de Hodge ; además, forma una variación de la estructura de Hodge, y X es una unión disjunta finita de dominios simétricos hermíticos .   

Variedad Shimura

Sea A ƒ el anillo de adeles finitos de Q. Para cada subgrupo abierto compacto K suficientemente pequeño de G ( A ƒ ), el espacio de clases laterales dobles

ShK⁡(GRAMO,incógnita)=GRAMO(Q)∖incógnita×GRAMO(AF)/K{\displaystyle \operatorname {Sh} _{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K}

es una unión disjunta finita de variedades localmente simétricas de la formaΓi∖incógnita+{\displaystyle \Gamma _{i}\backslash X^{+}}donde el superíndice más indica un componente conexo . Las variedades Sh K ( G , X ) son variedades algebraicas complejas y forman un sistema inverso sobre todos los subgrupos abiertos compactos K suficientemente pequeños . Este sistema inverso

(ShK⁡(GRAMO,incógnita))K{\displaystyle (\operatorname {Sh} _{K}(G,X))_{K}}

admite una acción derecha natural de G ( A ƒ ). Se llama la variedad de Shimura asociada con el dato de Shimura ( G , X ) y se denota Sh( G , X ).   

Historia

Para tipos especiales de dominios simétricos hermíticos y subgrupos de congruencia Γ , Goro Shimura introdujo variedades algebraicas de la forma Γ  \ X = Sh K ( G , X ) y sus compactificaciones en una serie de artículos durante la década de 1960. El enfoque de Shimura, presentado posteriormente en su monografía, fue en gran medida fenomenológico, buscando las generalizaciones más amplias de la formulación de la ley de reciprocidad de la teoría de la multiplicación compleja . En retrospectiva, el nombre "variedad de Shimura" fue introducido por Deligne , quien procedió a aislar las características abstractas que desempeñaban un papel en la teoría de Shimura. En la formulación de Deligne, las variedades de Shimura son espacios de parámetros de ciertos tipos de estructuras de Hodge . Así, forman una generalización natural de dimensiones superiores de las curvas modulares vistas como espacios de módulos de curvas elípticas con estructura de nivel. En muchos casos, los problemas de módulos a los que las variedades de Shimura son soluciones también se han identificado de manera similar. 

Ejemplos

Sea F un cuerpo de números totalmente reales y D un álgebra de división de cuaterniones sobre F. El grupo multiplicativo D × da lugar a una variedad de Shimura canónica. Su dimensión d es el número de lugares infinitos sobre los que D se divide. En particular, si d = 1 (por ejemplo, si F = Q y D ⊗ R ≅ M 2 ( R )), fijando un subgrupo aritmético suficientemente pequeño de D × , se obtiene una curva de Shimura, y las curvas que surgen de esta construcción ya son compactas (es decir, proyectivas ).     

Algunos ejemplos de curvas de Shimura con ecuaciones explícitamente conocidas vienen dadas por las curvas de Hurwitz de género bajo:

y por la curva de Fermat de grado 7. [ 2 ]

Otros ejemplos de variedades de Shimura incluyen las superficies modulares de Picard y las superficies modulares de Hilbert , también conocidas como variedades de Hilbert-Blumenthal.

Modelos canónicos y puntos especiales

Cada variedad de Shimura puede definirse sobre un cuerpo numérico canónico E llamado cuerpo reflexivo . Este importante resultado, debido a Shimura, demuestra que las variedades de Shimura, que a priori son solo variedades complejas, poseen un cuerpo de definición algebraico y, por lo tanto, significado aritmético. Constituye el punto de partida en su formulación de la ley de reciprocidad, donde ciertos puntos especiales definidos aritméticamente desempeñan un papel importante .

La naturaleza cualitativa del cierre de Zariski de conjuntos de puntos especiales en una variedad de Shimura se describe mediante la conjetura de André-Oort . Se han obtenido resultados condicionales sobre esta conjetura, asumiendo una hipótesis de Riemann generalizada . [ 3 ]

Función en el programa Langlands

Las variedades de Shimura desempeñan un papel fundamental en el programa de Langlands . El teorema prototípico, la relación de congruencia de Eichler-Shimura , implica que la función zeta de Hasse-Weil de una curva modular es un producto de funciones L asociadas a formas modulares de peso  2 determinadas explícitamente. De hecho, fue en el proceso de generalización de este teorema que Goro Shimura introdujo sus variedades y demostró su ley de reciprocidad. Las funciones zeta de las variedades de Shimura asociadas al grupo GL 2 sobre otros cuerpos numéricos y sus formas internas (es decir, grupos multiplicativos de álgebras de cuaterniones) fueron estudiadas por Eichler, Shimura, Kuga, Sato e Ihara. Sobre la base de sus resultados, Robert Langlands predijo que la función zeta de Hasse-Weil de cualquier variedad algebraica W definida sobre un cuerpo numérico sería un producto de potencias positivas y negativas de funciones L automórficas, es decir, debería surgir de una colección de representaciones automórficas . [ 1 ] Por muy natural que parezca filosóficamente esperar tal descripción, afirmaciones de este tipo solo se han demostrado cuando W es una variedad de Shimura. [ 4 ] En palabras de Langlands:

Demostrar que todas las funciones L asociadas a las variedades de Shimura —y, por lo tanto, a cualquier motivo definido por una variedad de Shimura— pueden expresarse en términos de las funciones L automorfas de [su artículo de 1970] es más débil, incluso mucho más débil, que demostrar que todas las funciones L motivacionales son iguales a dichas funciones L. Además, aunque se espera que la afirmación más fuerte sea válida, hasta donde sé, no hay ninguna razón muy convincente para esperar que todas las funciones L motivacionales estén asociadas a las variedades de Shimura. [ 5 ]

Notas

  1. 1 2 Langlands, Robert (1979). "Representaciones automórficas, variedades de Shimura y motivos. Un cuento" (PDF) . En Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L: Simposio de matemáticas puras . Vol.  XXXIII Parte 1. Chelsea Publishing Company. págs. 205–246 . 
  2. ↑ Elkies, sección 4.4 (págs. 94–97) en ( Levy 1999 ) .
  3. ↑ Klingler, Bruno; Yafaev, Andrei (2014), "La conjetura de André-Oort" (PDF) , Annals of Mathematics , 2.ª serie, 180 (3): 867–925 , doi : 10.4007/annals.2014.180.3.2 , archivado del original (PDF) el 25 de febrero de 2012
  4. ↑ Aclaración: se conocen muchos ejemplos, y el sentido en el que todos ellos "provienen" de las variedades de Shimura es algo abstracto.
  5. ↑ Langlands, Robert (1979). "Representaciones automórficas, variedades de Shimura y motivos. Un cuento" (PDF) . En Borel, Armand ; Casselman, William (eds.). Formas automórficas, representaciones y funciones L: Simposio de matemáticas puras . Vol. XXXIII Parte 1. Chelsea Publishing Company. pág. 208.  

Referencias

  • Alsina, Montserrat; Bayer, Pilar (2004), Órdenes de cuaterniones, formas cuadráticas y curvas de Shimura , CRM Monograph Series, vol.  22, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3359-6, Zbl 1073.11040 
  • James Arthur, David Ellwood y Robert Kottwitz (eds.) , Análisis armónico, la fórmula de la traza y las variedades de Shimura , Clay Mathematics Proceedings, vol. 4, AMS, 2005 ISBN 978-0-8218-3844-0
  • Pierre Deligne, Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. Núm. 389, págs.  123-165. Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 244, Springer, Berlín, 1971. SEÑOR 0498581 , Numdam 
  • Pierre Deligne, Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et técnicas de construcción de modèles canoniques, en Formas, representaciones y funciones L automórficas , Proc. Simposios. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), parte 2, págs.  247–289, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 1979. SEÑOR 0546620 
  • Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus , Kuang-yen Shi, ciclos de Hodge, motivos y variedades de Shimura. Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1982. ii+414 págs. ISBN 3-540-11174-3MR 0654325 
  • Levy, Silvio, ed. (1999), The Eightfold Way , Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol.  35, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66066-2, MR 1722410 , Zbl 0941.00006  , edición de bolsillo de Cambridge University Press, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. Lea esto: El camino óctuple, reseñado por Ruth Michler .
  • Milne, JS (2001) [1994], "Variedad de Shimura" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  • J. Milne, Variedades de Shimura y motivos , en U. Jannsen, S. Kleiman. J.-P. Serre (eds.), Motivos , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, 55:2, Sociedad Matemática Americana (1994), págs.  447–523
  • JS Milne , Introducción a las variedades de Shimura , en Arthur, Ellwood y Kottwitz (2005)
  • Harry Reimann, La función zeta semisimple de las variedades de Shimura cuaterniónicas , Lecture Notes in Mathematics, 1657, Springer, 1997
  • Goro Shimura, Obras completas de Goro Shimura (2003), vol. 1–5
  • Goro Shimura Introducción a la teoría aritmética de las funciones automorfas