Segunda forma fundamental

La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica S en R³ fue introducida y estudiada por Gauss . Supongamos primero que la superficie es la gráfica de una función dos veces ^{continuamente} diferenciable , z = f ( x , y ) , y que el plano z = 0 es tangente a la superficie en el origen. Entonces, f y sus derivadas parciales con respecto a x e y se anulan en (0,0). Por lo tanto, el desarrollo de Taylor de f en (0,0) comienza con términos cuadráticos:

${\displaystyle z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{términos de orden superior}}\,,}$

y la segunda forma fundamental en el origen en las coordenadas ( x , y ) es la forma cuadrática

${\displaystyle L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.}$

Para un punto suave P en S , se puede elegir el sistema de coordenadas de modo que el plano z = 0 sea tangente a S en P , y definir la segunda forma fundamental de la misma manera.

La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica general se define de la siguiente manera. Sea r = r ( u , v ) una parametrización regular de una superficie en R ³ , donde r es una función vectorial suave de dos variables. Es común denotar las derivadas parciales de r con respecto a u y v por r _u y r _v . La regularidad de la parametrización significa que r _u y r _v son linealmente independientes para cualquier ( u , v ) en el dominio de r , y por lo tanto generan el plano tangente a S en cada punto. Equivalentemente, el producto vectorial r _u × r _v es un vector no nulo normal a la superficie. La parametrización define así un campo de vectores normales unitarios n :

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.}$

La segunda forma fundamental se suele escribir como

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,;}$

Su matriz en la base { r _u , r _v } del plano tangente es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.}$

Los coeficientes L , M , N en un punto dado del plano uv paramétrico vienen dados por las proyecciones de las segundas derivadas parciales de r en ese punto sobre la línea normal a S y pueden calcularse con la ayuda del producto escalar de la siguiente manera:

${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.}$

Para un campo de distancias con signo de Hessiano H , los coeficientes de la segunda forma fundamental se pueden calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle L=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{u}\,,\quad M=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,,\quad N=-\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,.}$

La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica general S se define de la siguiente manera.

Sea r = r ( u ¹ , u ² ) una parametrización regular de una superficie en R ³ , donde r es una función vectorial suave de dos variables. Es común denotar las derivadas parciales de r con respecto a u ^α por r _α , α = 1, 2 . La regularidad de la parametrización significa que r ₁ y r ₂ son linealmente independientes para cualquier ( u ¹ , u ² ) en el dominio de r , y por lo tanto generan el plano tangente a S en cada punto. Equivalentemente, el producto vectorial r ₁ × r ₂ es un vector no nulo normal a la superficie. La parametrización define así un campo de vectores normales unitarios n :

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.}$

La segunda forma fundamental se suele escribir como

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =b_{\alpha \beta }\,du^{\alpha }\,du^{\beta }\,.}$

La ecuación anterior utiliza la convención de suma de Einstein .

Los coeficientes b _αβ en un punto dado del plano paramétrico u ¹ u ² vienen dados por las proyecciones de las segundas derivadas parciales de r en ese punto sobre la línea normal a S y pueden calcularse en términos del vector normal n de la siguiente manera:

${\displaystyle b_{\alpha \beta }=r_{,\alpha \beta }^{\ \ \,\gamma }n_{\gamma }\,.}$

La segunda forma fundamental puede generalizarse a codimensión arbitraria . En ese caso, es una forma cuadrática en el espacio tangente con valores en el fibrado normal y puede definirse mediante

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,}$

dónde${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}$denota la proyección ortogonal de la derivada covariante${\displaystyle \nabla _{v}w}$al paquete normal.

En el espacio euclidiano , el tensor de curvatura de una subvariedad se puede describir mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z)\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)-\mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w)\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z).}$

Esto se conoce como la ecuación de Gauss , ya que puede considerarse una generalización del Teorema Egregium de Gauss .

Para variedades riemannianas generales, hay que añadir la curvatura del espacio ambiente; si N es una variedad incrustada en una variedad riemanniana ( M , g ) , entonces el tensor de curvatura R _N de N con métrica inducida se puede expresar usando la segunda forma fundamental y R _M , el tensor de curvatura de M :

${\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.}$