Subasta secuencial

Una subasta secuencial es una subasta en la que varios artículos se venden, uno tras otro, al mismo grupo de compradores potenciales. En una subasta secuencial de primer precio (SAFP), cada artículo individual se vende mediante una subasta de primer precio , mientras que en una subasta secuencial de segundo precio (SASP), cada artículo individual se vende mediante una subasta de segundo precio .

Una subasta secuencial se diferencia de una subasta combinatoria , en la que se subastan varios artículos simultáneamente y los agentes pueden pujar por conjuntos de artículos. Una subasta secuencial es mucho más sencilla de implementar y más común en la práctica. Sin embargo, los postores en cada subasta saben que habrá subastas futuras, lo que puede influir en sus consideraciones estratégicas. A continuación, se presentan algunos ejemplos.

Ejemplo 1. [ ^{1 ] Hay} dos artículos en venta y dos compradores potenciales: Alice y Bob , con las siguientes valoraciones:

• Alice valora cada artículo como 5, y ambos artículos como 10 (es decir, su valoración es aditiva ).
• Bob valora cada artículo como 4, y ambos artículos como 4 (es decir, su valoración es la demanda unitaria ).

En un SASP, cada artículo se somete a una subasta de segundo precio. Por lo general, dicha subasta es un mecanismo veraz , por lo que si cada artículo se vende de forma aislada, Alice gana ambos artículos y paga 4 por cada uno, su pago total es 4+4=8 y su utilidad neta es 5  +  5  −  8  =  2. Pero, si Alice conoce las valoraciones de Bob, tiene una mejor estrategia: puede dejar que Bob gane el primer artículo (por ejemplo, ofreciendo 0). Entonces, Bob no participará en la segunda subasta, por lo que Alice ganará el segundo artículo y pagará 0, y su utilidad neta será 5  −  0  =  5.

Un resultado similar ocurre en un SAFP. Si cada artículo se vende de forma aislada, existe un equilibrio de Nash en el que Alice puja un poco más de 4 y gana, y su utilidad neta es ligeramente inferior a 2. Pero, si Alice conoce las valoraciones de Bob, puede desviarse a una estrategia que permita a Bob ganar en la primera ronda, de modo que en la segunda ronda ella pueda ganar por un precio ligeramente superior a 0.

Ejemplo 2. [ ^{2 ] Se} subastan varios objetos idénticos y los agentes tienen restricciones presupuestarias. Puede ser ventajoso para un postor pujar agresivamente por un objeto con el fin de aumentar el precio pagado por su rival y agotar su presupuesto para poder obtener el segundo objeto a un precio menor. En efecto, un postor puede desear “aumentar los costos de un rival” en un mercado para obtener ventaja en otro. Estas consideraciones parecen haber desempeñado un papel importante en las subastas de licencias de espectro radioeléctrico realizadas por la Comisión Federal de Comunicaciones . La evaluación de las restricciones presupuestarias de los postores rivales fue un componente principal de la preparación previa a la licitación del equipo de licitación de GTE .

Una subasta secuencial es un caso especial de un juego secuencial . Una pregunta natural que surge al plantearse este tipo de juego es si existe un equilibrio perfecto en subjuegos en estrategias puras (SPEPS). Cuando los jugadores disponen de información completa (es decir, conocen la secuencia de subastas de antemano) y se vende un único artículo en cada ronda, un SAFP siempre tiene un SPEPS, independientemente de las valoraciones de los jugadores. La demostración se realiza mediante inducción hacia atrás : ^{[ 1 ] : 872–874}

• En la última ronda, tenemos una subasta simple de primer precio . Tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura en el que el agente de mayor valor gana al ofertar ligeramente por encima del segundo valor más alto.
• En cada ronda anterior, la situación es un caso especial de una subasta de primer precio con externalidades . En dicha subasta, cada agente puede obtener valor, no solo cuando gana, sino también cuando ganan otros agentes. En general, la valoración del agente${\displaystyle i}$está representado por un vector${\displaystyle v_{i}[1],\dots,v_{i}[n]}$, dónde${\displaystyle v_{i}[j]}$es el valor del agente${\displaystyle i}$cuando el agente${\displaystyle j}$victorias. En una subasta secuencial, las externalidades están determinadas por los resultados de equilibrio en las rondas futuras. En el ejemplo introductorio, hay dos resultados posibles:
  • Si Alice gana la primera ronda, entonces el resultado de equilibrio en la segunda ronda es que Alice compra un artículo que vale $5 por $4, ^{[ 3 ]} por lo que su ganancia neta es $1. Por lo tanto, su valor total por ganar la primera ronda es${\displaystyle v_{\text{Alice}}[{\text{Alice}}]=5+1=6}$.
  • Si Bob gana la primera ronda, entonces el resultado de equilibrio en la segunda ronda es que Alice compra un artículo que vale $5 por $0, por lo que su ganancia neta es de $5. Por lo tanto, su valor total por dejar que Bob gane es${\displaystyle v_{\text{Alice}}[{\text{Bob}}]=0+5=5}$.
• Cada subasta de primer precio con externalidades tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura. ^{[ 1 ]} En el ejemplo anterior, el equilibrio en la primera ronda es que Bob gana y paga  $1.
• Por lo tanto, mediante inducción hacia atrás, cada SAFP tiene un SPE de estrategia pura.

Notas:

• El resultado de existencia también se cumple para SASP. De hecho, cualquier resultado de equilibrio de una subasta de primer precio con externalidades es también un resultado de equilibrio de una subasta de segundo precio con las mismas externalidades.
• El resultado de existencia se mantiene independientemente de las valoraciones de los postores: pueden tener funciones de utilidad arbitrarias sobre bienes indivisibles . Por el contrario, si todas las subastas se realizan simultáneamente , no siempre existe un equilibrio de Nash de estrategia pura, incluso si los postores tienen funciones de utilidad subaditivas . ^{[ 4 ]}

Una vez que sabemos que existe un equilibrio perfecto en subjuegos , la siguiente pregunta natural es cuán eficiente es: ¿alcanza el máximo bienestar social? Esto se cuantifica mediante el precio de la anarquía (PdA), que es la relación entre el máximo bienestar social alcanzable y el bienestar social en el peor equilibrio. En el Ejemplo 1 introductorio, el máximo bienestar social alcanzable es 10 (cuando Alice gana ambos artículos), pero el bienestar en equilibrio es 9 (Bob gana el primer artículo y Alice gana el segundo), por lo que el PdA es 10/9. En general, el PdA de las subastas secuenciales depende de las funciones de utilidad de los postores.

Los primeros cinco resultados se aplican a agentes con información completa (todos los agentes conocen las valoraciones de todos los demás agentes):

Caso 1: Artículos idénticos . ^{[ 5 ] [ 6 ]} Hay varios artículos idénticos. Hay dos postores. Al menos uno de ellos tiene una función de valoración cóncava ( rendimientos decrecientes ). El PoA de SASP es como máximo${\displaystyle 1/(1-e)\approx 1.58}$Los resultados numéricos muestran que, cuando hay muchos postores con funciones de valoración cóncavas, la pérdida de eficiencia disminuye a medida que aumenta el número de usuarios.

Caso 2: Postores aditivos . ^{[ 1 ] : 885} Los artículos son diferentes y todos los postores consideran todos los artículos como bienes independientes , por lo que sus valoraciones son funciones de conjunto aditivas . El PoA de SASP no está acotado: el bienestar en un SPEPS podría ser arbitrariamente pequeño.

Caso 3: Postores de demanda unitaria . ^{[ 1 ]} Todos los postores consideran todos los artículos como bienes sustitutos puros , por lo que sus valoraciones son de demanda unitaria . El PoA de SAFP es como máximo 2; el bienestar en un SPEPS es al menos la mitad del máximo (si se permiten estrategias mixtas, el PoA es como máximo 4). Por el contrario, el PoA en SASP es nuevamente ilimitado.

Estos resultados son sorprendentes y ponen de relieve la importancia de la decisión de diseño de utilizar una subasta de primer precio (en lugar de una subasta de segundo precio) en cada ronda.

Caso 4: postores submodulares . ^{[ 1 ]} Las valoraciones de los postores son funciones de conjunto submodulares arbitrarias (nótese que la demanda aditiva y unitaria son casos especiales de submodular). En este caso, el PoA tanto de SAFP como de SASP es ilimitado, incluso cuando solo hay cuatro postores. La intuición es que el postor de alto valor podría preferir dejar ganar a un postor de bajo valor, para disminuir la competencia que podría enfrentar en las rondas futuras.

Caso 5: aditivo+UD . ^{[ 7 ]} Algunos licitadores tienen valoraciones aditivas, mientras que otros tienen valoraciones de demanda unitaria. El PoA de SAFP podría ser al menos${\displaystyle \min(n,m)}$donde m es el número de artículos y n es el número de postores. Además, los equilibrios ineficientes persisten incluso bajo la eliminación iterada de estrategias débilmente dominadas. Esto implica ineficiencia lineal para muchos entornos naturales, incluyendo:

• Postores con valoraciones sustitutivas brutas ,
• valoraciones con capacidad,
• valoraciones que añaden presupuesto,
• valoraciones aditivas con estrictas restricciones presupuestarias en los pagos.

Caso 6: postores con demanda unitaria e información incompleta . ^{[ 8 ]} Los agentes desconocen las valoraciones de los demás agentes, y solo la distribución de probabilidad de la que se extraen sus valoraciones. La subasta secuencial es entonces un juego bayesiano , y su PoA podría ser mayor. Cuando todos los postores tienen valoraciones de demanda unitaria , el PoA de un equilibrio de Nash bayesiano en un SAFP es como máximo 3.

Una cuestión práctica importante para los vendedores que venden varios artículos es cómo diseñar una subasta que maximice sus ingresos. Hay varias preguntas:

• 1. ¿Es mejor usar una subasta secuencial o una subasta simultánea? Las subastas secuenciales con pujas anunciadas entre ventas parecen preferibles porque las pujas pueden transmitir información sobre el valor de los objetos que se venderán posteriormente. La literatura sobre subastas muestra que este efecto informativo aumenta los ingresos esperados del vendedor, ya que reduce la maldición del ganador . Sin embargo, también existe un efecto de engaño que se desarrolla en las ventas secuenciales. Si un postor sabe que su puja actual revelará información sobre objetos posteriores, entonces tiene un incentivo para pujar por debajo del valor real. ^{[ 9 ]}
• 2. Si se utiliza una subasta secuencial, ¿en qué orden deben venderse los artículos para maximizar los ingresos del vendedor?

Supongamos que hay dos artículos y un grupo de postores sujetos a restricciones presupuestarias. Los objetos tienen valores comunes para todos los postores, pero no necesariamente son idénticos, y pueden ser bienes complementarios o sustitutos . En un juego con información completa : ^{[ 2 ]}

• 1. Una subasta secuencial genera más ingresos que una subasta ascendente simultánea si: (a) la diferencia entre los valores de los artículos es grande, o (b) existen complementariedades significativas. Una forma híbrida simultánea-secuencial genera mayores ingresos que la subasta secuencial.
• 2. Si los objetos se venden mediante una secuencia de subastas abiertas ascendentes, entonces siempre es óptimo vender primero el objeto más valioso (suponiendo que los valores de los objetos sean de conocimiento común).

Además, las restricciones presupuestarias pueden surgir de forma endógena. Es decir, una empresa licitante puede indicar a su representante: «Puede gastar como máximo X en esta subasta», aunque la propia empresa disponga de mucho más dinero. Limitar el presupuesto de antemano otorga a los licitadores ciertas ventajas estratégicas.

Cuando se venden varios artículos, las restricciones presupuestarias pueden tener otras consecuencias imprevistas. Por ejemplo, un precio de reserva puede aumentar los ingresos del vendedor, aunque se fije en un nivel tan bajo que nunca sea vinculante en el equilibrio.

Las subastas secuenciales y simultáneas son casos especiales de un contexto más general, en el que los mismos postores participan en varios mecanismos diferentes. Syrgkanis y Tardos ^{[ 10 ]} proponen un marco general para el diseño eficiente de mecanismos con propiedades de buena calidad garantizadas, incluso cuando los jugadores participan en múltiples mecanismos de forma simultánea o secuencial. La clase de mecanismos suaves —mecanismos que generan precios de equilibrio de mercado aproximados— produce resultados de alta calidad tanto en equilibrio como en aprendizaje en el contexto de información completa, así como en equilibrio bayesiano con incertidumbre sobre los participantes. Los mecanismos suaves se componen bien: la suavidad local en cada mecanismo implica eficiencia global. Para mecanismos donde un buen rendimiento requiere que los postores no pujen por encima de su valor, se pueden utilizar mecanismos débilmente suaves , como la subasta de Vickrey. Son aproximadamente eficientes bajo el supuesto de no sobrepuja, y la propiedad de suavidad débil también se mantiene mediante la composición. Algunos de los resultados son válidos también cuando los participantes tienen restricciones presupuestarias.