Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Elemento autoadjunto

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama autoadjunto si es igual a su adjunto (es decir, a = a ∗ {\displaystyle a=a^{*}} ). Definición Dejar A {\displaystyle {\math...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama autoadjunto si es igual a su adjunto (es decir,a=a∗{\displaystyle a=a^{*}}).

Definición

DejarA{\displaystyle {\mathcal {A}}}ser un *-álgebra. Un elementoa∈A{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}se denomina autoadjunto sia=a∗{\displaystyle a=a^{*}}. [ 1 ]

El conjunto de elementos autoadjuntos se denominaAsa{\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}.

Un subconjuntoB⊆A{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}}que está cerrado bajo la involución *, es decirB=B∗{\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}}, se denomina autoadjunto. [ 2 ]

Un caso especial de particular importancia es el caso en el queA{\displaystyle {\mathcal {A}}}es un *-álgebra normada completa , que satisface la identidad C* (‖a∗a‖=‖a‖2 ∀a∈A{\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}), que se denomina álgebra C* .

Especialmente en la literatura antigua sobre *-álgebras y C*-álgebras, a estos elementos se les suele llamar hermíticos. [ 1 ] Debido a eso, las notacionesAh{\displaystyle {\mathcal {A}}_{h}},AH{\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}}oH(A){\displaystyle H({\mathcal {A}})}El conjunto de elementos autoadjuntos también se utiliza a veces, incluso en la literatura más reciente.

Ejemplos

  • Cada elemento positivo de un álgebra C* es autoadjunto. [ 3 ]
  • Para cada elementoa{\displaystyle a}de un *-álgebra, los elementosaa∗{\displaystyle aa^{*}}ya∗a{\displaystyle a^{*}a}son autoadjuntos, ya que * es un antiautomorfismo involutivo . [ 4 ]
  • Para cada elementoa{\displaystyle a}de un *-álgebra, las partes real e imaginariaRe⁡(a)=12(a+a∗){\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}ySoy⁡(a)=12i(a−a∗){\textstyle \operatorname {Estoy} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(aa^{*})}son autoadjuntos, dondei{\displaystyle \mathrm {i} }denota la unidad imaginaria . [ 1 ]
  • Sia∈Anorte{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}es un elemento normal de un álgebra C*A{\displaystyle {\mathcal {A}}}, entonces para cada función de valor realF{\displaystyle f}, que es continuo en el espectro dea{\displaystyle a}, el cálculo funcional continuo define un elemento autoadjuntoF(a){\displaystyle f(a)}. [ 5 ]

Criterios

DejarA{\displaystyle {\mathcal {A}}}Sea un *-álgebra. Entonces:

  • Dejara∈A{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}, entoncesa∗a{\displaystyle a^{*}a}es autoadjunto, ya que(a∗a)∗=a∗(a∗)∗=a∗a{\displaystyle (a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a}Un cálculo similar arroja queaa∗{\displaystyle aa^{*}}También es autoadjunto. [ 6 ]
  • Dejara=a1a2{\displaystyle a=a_{1}a_{2}}ser el producto de dos elementos autoadjuntosa1,a2∈Asa{\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}. Entoncesa{\displaystyle a}es autoadjunto sia1{\displaystyle a_{1}}ya2{\displaystyle a_{2}}conmutar , ya que(a1a2)∗=a2∗a1∗=a2a1{\displaystyle (a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}}Siempre se cumple. [ 1 ]
  • SiA{\displaystyle {\mathcal {A}}}es un álgebra C*, entonces un elemento normala∈Anorte{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}es autoadjunto si y solo si su espectro es real, es decirσ(a)⊆R{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }. [ 5 ]

Propiedades

En *-álgebras

DejarA{\displaystyle {\mathcal {A}}}Sea un *-álgebra. Entonces:

  • Cada elementoa∈A{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}puede descomponerse de forma única en partes reales e imaginarias, es decir, existen elementos determinados de forma única.a1,a2∈Asa{\displaystyle a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}}, de modo quea=a1+ia2{\displaystyle a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}}sostiene. Dondea1=12(a+a∗){\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}ya2=12i(a−a∗){\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}. [ 1 ]
  • El conjunto de elementos autoadjuntosAsa{\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}es un subespacio lineal real deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}De la propiedad anterior se deduce queA{\displaystyle {\mathcal {A}}}es la suma directa de dos subespacios lineales reales, es decirA=Asa⊕iAsa{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}}. [ 7 ]
  • Sia∈Asa{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}es autoadjunto, entoncesa{\displaystyle a}es normal. [ 1 ]
  • El álgebra *A{\displaystyle {\mathcal {A}}}Se denomina *-álgebra hermitiana si cada elemento autoadjuntoa∈Asa{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}tiene un espectro realσ(a)⊆R{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }. [ 8 ]

En álgebras C*

DejarA{\displaystyle {\mathcal {A}}}ser un álgebra C* ya∈Asa{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}. Entonces:

  • Para el espectro‖a‖∈σ(a){\displaystyle \left\|a\right\|\in \sigma (a)}o−‖a‖∈σ(a){\displaystyle -\left\|a\right\|\in \sigma (a)}se sostiene, ya queσ(a){\displaystyle \sigma (a)}es real yr(a)=‖a‖{\displaystyle r(a)=\left\|a\right\|}se cumple para el radio espectral , porquea{\displaystyle a}es normal. [ 9 ]
  • Según el cálculo funcional continuo, existen elementos positivos determinados de forma única.a+,a−∈A+{\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}, de tal manera quea=a+−a−{\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}cona+a−=a−a+=0{\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}. Por norma,‖a‖=máximo(‖a+‖,‖a−‖){\displaystyle \left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)}sostiene. [ 10 ] Los elementosa+{\displaystyle a_{+}}ya−{\displaystyle a_{-}}También se les conoce como partes positivas y negativas . Además,|a|=a++a−{\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}se mantiene para el valor absoluto definido para cada elemento.|a|=(a∗a)12{\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}. [ 11 ]
  • Por cadaa∈A+{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}y extrañonorte∈norte{\displaystyle n\in \mathbb {N} }, existe una determinación únicab∈A+{\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}que satisfacebnorte=a{\displaystyle b^{n}=a}, es decir, un úniconorte{\displaystyle n}raíz -ésima , como se puede demostrar con el cálculo funcional continuo. [ 12 ]

Véase también

Notas

  1. ^ Dixmier 1977 , pág .​​ 4.
  2. ↑ Dixmier 1977 , pág. 3.
  3. ↑ Palmer 2001 , pág. 800.
  4. ↑ Dixmier 1977 , págs. 3–4.
  5. 1 2 Kadison y Ringrose 1983 , pág. 271.
  6. ^ Palmer 2001 , págs. 798–800.
  7. ↑ Palmer 2001 , pág. 798.
  8. ↑ Palmer 2001 , pág. 1008.
  9. ↑ Kadison y Ringrose 1983 , pág. 238.
  10. ↑ Kadison y Ringrose 1983 , pág. 246.
  11. ↑ Dixmier 1977 , pág. 15.
  12. ↑ Blackadar 2006 , pág. 63.

Referencias

  • Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de las C*-álgebras y las álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. pág.  63. ISBN 3-540-28486-9.
  • Dixmier, Jacques (1977). Álgebras C* . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
  • Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la teoría de las álgebras de operadores. Volumen 1: Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
  • Palmer, Theodore W. (2001). Álgebras de Banach y la teoría general de las *-álgebras: Volumen 2, *-álgebras . Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.