Centralizador y normalizador

El centralizador de un subconjunto${\displaystyle S}$del grupo (o semigrupo) G se define como ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

donde solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G puede omitirse de la notación. Cuando${\displaystyle S=\{a\}}$es un conjunto unitario , escribimos C _G ( a ) en lugar de C _G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z( a ), que es paralela a la notación para el centro . Con esta última notación, hay que tener cuidado de evitar confusiones entre el centro de un grupo G , Z( G ), y el centralizador de un elemento g en G , Z( g ).

El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

donde nuevamente solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si el conjunto${\displaystyle S}$es un subgrupo de${\displaystyle G}$, luego el normalizador${\displaystyle N_{G}(S)}$es el subgrupo más grande${\displaystyle G'\subseteq G}$dónde${\displaystyle S}$es un subgrupo normal de${\displaystyle G'}$. Las definiciones de centralizador y normalizador son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de${\displaystyle S}$y s está en${\displaystyle S}$, entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en${\displaystyle S}$, con t posiblemente diferente de s . Es decir, elementos del centralizador de${\displaystyle S}$debe viajar punto por punto con${\displaystyle S}$, pero los elementos del normalizador de S solo necesitan conmutar con S como conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .

Claramente${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$y ambos son subgrupos de${\displaystyle G}$.

Si R es un anillo o un álgebra sobre un cuerpo , y${\displaystyle S}$es un subconjunto de R , entonces el centralizador de${\displaystyle S}$es exactamente como se define para grupos, con R en lugar de G.

Si${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con producto de Lie [ x , y ], entonces el centralizador de un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$se define como ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición para anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces R puede definirse como el producto de corchetes [ x , y ] = xy − yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y solo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto de corchetes como L _R , entonces claramente el centralizador de anillo de${\displaystyle S}$en R es igual al centralizador de anillo de Lie de${\displaystyle S}$ en L _R .

El corchete de Lie también puede verse como una operación del conjunto.${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$en sí mismo, porque${\displaystyle [*,*]:{\mathfrak {L}}\times {\mathfrak {L}}\rightarrow {\mathfrak {L}}}$El corchete de Lie hace${\displaystyle ({\mathfrak {L}},[*,*])}$un grupo y su centralizador serían entonces todos los elementos${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=[s,x]{\text{ for all }}s\in S\}.}$Sin embargo, dado que el corchete de Lie es alternante, esta condición es equivalente a${\displaystyle \{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$Por lo tanto, el centralizador se define de la misma manera para las álgebras de Lie que para los grupos.

El normalizador de un subconjunto${\displaystyle S}$de un álgebra de Lie (o anillo de Lie)${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$viene dado por ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en el álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto.${\displaystyle S}$en${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$. Si${\displaystyle S}$es un subgrupo aditivo de${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, entonces${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$es el subanillo de Lie más grande (o subálgebra de Lie, según sea el caso) en el que${\displaystyle S}$es un ideal de Lie . ^{[ 5 ]}

Dejar${\displaystyle S'}$denotan el centralizador de${\displaystyle S}$en el semigrupo${\displaystyle A}$; es decir${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$Entonces${\displaystyle S'}$forma un subsemigrupo y${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$; es decir, un conmutador es su propio bicommutante .

Fuente: ^{[ 6 ]}

• El centralizador y normalizador de${\displaystyle S}$son ambos subgrupos de G.
• Claramente, C _G ( S ) ⊆ N _G ( S ) . De hecho, C _G ( S ) es siempre un subgrupo normal de N _G ( S ), siendo el núcleo del homomorfismo N _G ( S ) → Bij( S ) y el grupo N _G ( S )/C _G ( S ) actúa por conjugación como un grupo de biyecciones en S . Por ejemplo, el grupo de Weyl de un grupo de Lie compacto G con un toro T se define como W ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T ) , y especialmente si el toro es maximal (es decir C _G ( T ) = T ) es una herramienta central en la teoría de grupos de Lie.
• C _G (C _G ( S )) contiene${\displaystyle S}$, pero C _G ( S ) no necesita contener${\displaystyle S}$La contención se produce exactamente cuando${\displaystyle S}$es abeliano.
• Si H es un subgrupo de G , entonces N _G ( H ) contiene a H.
• Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande de G en el que H es normal es el subgrupo N _G ( H ).
• Si${\displaystyle S}$es un subconjunto de G tal que todos los elementos de S conmutan entre sí, entonces el subgrupo más grande de G cuyo centro contiene${\displaystyle S}$es el subgrupo C _G ( S ).
• Un subgrupo H de un grupo G se llamasubgrupo autonormalizador deGsiN _G ( H ) = H .
• El centro de G es exactamente C _G (G) y G es un grupo abeliano si y solo si C _G (G) = Z( G ) = G .
• Para conjuntos unitarios, C _G ( a ) = N _G ( a ) .
• Por simetría, si${\displaystyle S}$y T son dos subconjuntos de G , T ⊆ C _G ( S ) si y solo si S ⊆ C _G ( T ) .
• Para un subgrupo H del grupo G , el teorema N/C establece que el grupo cociente N _G ( H )/C _G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut( H ), el grupo de automorfismos de H . Dado que N _G ( G ) = G y C _G ( G ) = Z( G ) , el teorema N/C también implica que G /Z( G ) es isomorfo a Inn( G ), el subgrupo de Aut( G ) que consta de todos los automorfismos internos de G .
• Si definimos un homomorfismo de grupo T  : G → Inn( G ) por T ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , entonces podemos describir N _G ( S ) y C _G ( S ) en términos de la acción de grupo de Inn( G ) sobre G : el estabilizador de${\displaystyle S}$en Inn( G ) es T (N _G ( S )), y el subgrupo de Inn( G ) fijando${\displaystyle S}$puntualmente es T (C _G ( S )).
• Se dice que un subgrupo H de un grupo G es C-cerrado o autobicommutante si H = C _G ( S ) para algún subconjunto S ⊆ G . Si es así, entonces de hecho, H = C _G (C _G ( H )) .

Fuente: ^{[ 4 ]}

• Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un cuerpo son subanillos y subálgebras sobre un cuerpo, respectivamente; los centralizadores en anillos de Lie y en álgebras de Lie son subanillos de Lie y subálgebras de Lie, respectivamente.
• El normalizador de${\displaystyle S}$En un anillo de Lie se encuentra el centralizador de${\displaystyle S}$.
• C _R (C _R ( S )) contiene${\displaystyle S}$pero no necesariamente es igual. El teorema del doble centralizador trata situaciones en las que se da la igualdad.
• Si${\displaystyle S}$es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N _A ( S ) es el subanillo de Lie más grande de A en el que${\displaystyle S}$es un ideal de mentira.
• Si${\displaystyle S}$es un subanillo de Lie de un anillo de Lie A , entonces S ⊆ N _A ( S ) .