Esquema para diales horizontales

• Utilizando una hoja de papel grande.
• Se traza una línea horizontal desde la parte inferior y una vertical que sube por el centro. El punto donde se cruzan se convierte en el origen O, el pie del Gnomon.
• Una línea horizontal dibuja una línea que fija el tamaño de la esfera. Donde cruza la línea central es un punto de construcción importante F
• Se traza una línea de construcción hacia arriba desde O en el ángulo de latitud. ^{[ c ]}
• Usando una escuadra (trazando una línea), se dibuja una línea desde F a través de la línea de construcción de manera que se crucen en ángulo recto. Ese punto E es un punto de construcción importante. Para ser precisos, es la línea FE la que es importante ya que es de longitud${\displaystyle \sin \phi }$.
• Utilizando un compás o un divisor, se copió la longitud FE hacia arriba en la línea central desde F. El nuevo punto de construcción se llama G. Se borran las líneas de construcción y FE.

• 
  Configurando un dial para 52°N. Las tres líneas iniciales.
• 
  Marcar la latitud, trazar la longitud${\displaystyle \sin \phi }$y copiando a G en vertical.
• 
  Una tangente: trazar la longitud${\displaystyle \tan \theta }$
• 
  Tangente de un seno: Trazado de líneas de longitud${\displaystyle \sin \phi \tan h}$donde h es un número entero de 0 a 5.

Estas construcciones geométricas eran bien conocidas y siguieron formando parte del currículo de la escuela secundaria (escuela de gramática del Reino Unido) hasta la revolución de las Nuevas Matemáticas en la década de 1970. ^{[ 3 ]}

El esquema mostrado arriba fue utilizado en 1525 (a partir de una obra anterior de 1440) por Durero y todavía se usa hoy en día. Los esquemas más simples eran más adecuados para esferas diseñadas para latitudes bajas, que requerían una hoja de papel estrecha para su construcción, que para aquellas destinadas a latitudes altas. Esto impulsó la búsqueda de otras construcciones.

• Comience con el método básico que se muestra arriba.
• Desde G se traza una serie de líneas, separadas por 15°, lo suficientemente largas como para cruzar la línea que pasa por F. Estas marcan los puntos horarios 1, 2, 3, 4, 5 y 7, 8, 9, 10, 11.
• El centro de la esfera está en la parte inferior, en el punto O. La línea trazada desde cada uno de estos puntos horarios hasta O será la línea horaria en la esfera terminada. ^{[ 4 ]}

El problema significativo es el ancho del papel necesario en las latitudes más altas. ^{[ 5 ]}

• 
  Configurando un dial para 52°N. Las tres líneas iniciales.
• 
  Marcar la latitud, trazar la longitud${\displaystyle \sin \phi }$y copiando a G en vertical.
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• 
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Giambattista Benedetti , un noble empobrecido, trabajó como matemático en la corte de Savola. Su libro que describe este método fue De gnomonum umbrarumque solarium usu, publicado en 1574. Describe un método para mostrar las horas legales, es decir, las horas iguales como las que usamos hoy, mientras que la mayoría de la gente todavía usaba horas desiguales que dividían las horas de luz del día en 12 horas iguales, pero que cambiaban a medida que avanzaba el año. El método de Benedetti divide el cuadrante en segmentos de 15°. Se realizan dos construcciones: una línea horizontal paralela que define las distancias tan h, y una línea polar gnomónica GT que representa sin φ.

• Dibuja un cuadrante GRB, con segmentos de 15°. GR es horizontal.
• Se traza una línea horizontal paralela desde PE y se marcan los puntos donde biseca los rayos de 15°.
• GX es la latitud. T es el punto de intersección con PE. GTE es el triángulo gnomónico.
• La longitud GT se copia en la parte inferior de E, dando como resultado el punto F.
• Las líneas horarias están trazadas desde la letra F, y la esfera está completa.

Benedetti incluyó instrucciones para dibujar un gnomon de punto para poder representar horas desiguales. ^{[ 6 ]}

• 
  Cuadrante con segmentos de 15°.
• 
  construyendo los rayos.
• 
  Encontrar el origen.
• 
  Añadiendo las líneas de las horas.
• 
  Esfera.

( Fabica et usus instrumenti ad horologiorum descriptionem. ) Roma Italia.

El método Clavius ​​considera un cuarto de la esfera. Considera el plano horizontal y el plano perpendicular al eje polar como dos rectángulos articulados alrededor del borde superior de ambas esferas. El eje polar estará a φ grados con respecto al eje polar, y las líneas horarias estarán equidistantes en el plano polar de una esfera ecuatorial (15°). Los puntos horarios en el plano polar se conectarán con el punto correspondiente en el plano horizontal. Las líneas horarias horizontales se trazan hasta el origen.

^{[ 7 ]}

• Dibuja el triángulo gnomónico, apoyado sobre su hipotenusa.
• En el lado pequeño, dibuja un cuadrado (ecuatorial) con marcas de 15° de hora.
• La esfera está construida con compases, tomando sus medidas del triángulo.
• Se conocen las líneas horarias 12, 3 y 6. Las líneas horarias 1 y 2 se toman del lateral de la plaza.
• Se traza una diagonal desde 12 hasta 6, y líneas paralelas a esta pasan por 1 y 2, dando como resultado 5 y 4.
• El reloj matutino es un reflejo de esto.

• Desde G se traza una serie de líneas, separadas por 15°, lo suficientemente largas como para cruzar la línea que pasa por F. Estas marcan los puntos horarios 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• El centro de la esfera está en la parte inferior, en el punto O. La línea que se traza desde cada uno de estos puntos horarios hasta O será la línea horaria en la esfera terminada.

^{[ 5 ]}

• 
  Configurando un dial para 52°N. Las tres líneas iniciales.
• 
  Marcar la latitud, trazar la longitud${\displaystyle \sin \phi }$y copiando a G en vertical.
• 
  De G casting${\displaystyle \tan h\sin \phi }$en horizontal.
• 
  Las líneas horarias reales son 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• 
  Líneas de construcción retiradas.
• 
  Hallar el ángulo para 4 y 5.
• 
  Dibujos 4 y 5.
• 
  Líneas de construcción retiradas. Placa de cuadrante completa para 52°N. Estribo (1652)

El jesuita Mario Bettini redactó un método que fue publicado póstumamente en el libro Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima en 1660.

• Dibuja el triángulo gnomónico con la hipotenusa contra la línea meridiana y φ hacia abajo, C. Llama al otro punto M, y al ángulo recto G.
• Se traza una línea horizontal a través de M, este es el equinoccio.
• Se dibuja un círculo centrado en M con radio MG. G2 y G3 son las intersecciones del círculo y el meridiano.
• En los cuadrantes superiores, se marcan puntos cada 30°. Dos de ellos se denominan P y Q.
• Las líneas de construcción se trazan desde G2 y G3 pasando por P y Q; las intersecciones con el equinoccio están marcadas.
• Para finalizar, se trazan las líneas horarias a través de estos puntos desde C, y se cuadra la esfera.

^{[ 8 ]}

• Método Bettini 1660
• 
  Triángulo gnomónico
• 
  Círculo marcado cada 30°
• 
  Líneas de construcción
• 
  Líneas horarias trazadas hasta el origen
• 
  La placa del dial

William Leybourn publicó su " Arte de marcar números " ^{[ d ]} en 1669, junto con un método de seis etapas. Su descripción se basa en gran medida en el término " línea de cuerdas" , que un marcador moderno sustituye por un transportador . La línea de cuerdas era una escala que se encontraba en el sector y que se utilizaba junto con un compás o un divisor. Los navegantes la siguieron utilizando hasta finales del siglo XIX. ^{[ e ]}

• Dibuja un círculo y sus dos diámetros cardinales: este-oeste y sur-norte (de arriba abajo). O es su punto de intersección u origen.
• Usando una escala de cuerdas o un transportador, traza dos líneas, "0a" que está a 52° del OS, y "0b" que está a 52° del OW. (Estarán en ángulo recto. Los puntos "a" y "b" son importantes.
• Con una regla, traza una línea que conecte E con "a". Esta línea corta SN (el meridiano) en P, que se denomina polo del mundo . Ahora conecta E con "a", que conecta AE. Este punto es importante, ya que es donde el meridiano cruza el círculo equinoccial . Los puntos E, AE y W se encuentran en el círculo equinoccial. La siguiente tarea consiste en utilizar esta información para localizar el centro y dibujar el círculo. Utiliza una línea de construcción para unir AE y W. En el punto central, traza una línea perpendicular. Donde corta SN (el meridiano) estará C, el centro del círculo equinoccial. Utiliza C para trazar un arco desde E hasta W, que pasará por AE.
• Ahora hay un semicírculo que pasa por E y O, y el arco equinoccial que pasa por E y O. Divide el semicírculo en 12 partes iguales, es decir, ángulos de 15°. Márcalos con un "punto de construcción". ^{[ f ]}
• Una regla une O con los puntos del semicírculo. Estas líneas cortan el arco equinoccial: se crea una serie de puntos desiguales ("marcadores").
• Una regla que parte del punto P (el polo del mundo) traza una línea desde estos marcadores hacia atrás, pasando por el semicírculo. El punto donde la corta será el "punto horario"; estos puntos horarios están espaciados de forma desigual.
• Las líneas horarias se trazan desde cada uno de estos "puntos horarios" hasta el origen. El origen es la base del estilo que está cortado a 52°. ^{[ 10 ] [ 5 ]}

Este método requiere una hoja de papel mucho más pequeña, ^{[ 5 ]} una gran ventaja para latitudes más altas.

• Desde G se traza una serie de líneas, separadas por 15°, lo suficientemente largas como para cruzar la línea que pasa por F. Estas marcan los puntos horarios 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3 y representan los puntos${\displaystyle \tan h\sin \phi }$.
• El centro de la esfera está en la parte inferior, en el punto O. La línea trazada desde cada uno de estos puntos horarios hasta O será la línea horaria en la esfera terminada. ^{[ 4 ]}
• Las líneas que pasan por las 9 y las 3 se extienden hasta la línea WE, y una línea trazada ortogonalmente desde las 9 y las 3 hasta la línea WE, llamando a los puntos de intersección W' y E'. Desde W y E se trazan dos líneas más separadas por 15°, que cortan las verticales creando los puntos horarios 7, 8 y 4, 5. Las líneas que van desde las 0 hasta estos puntos horarios son las líneas horarias en la esfera final.

^{[ 5 ]}

• 
  Configurando un dial para 52°N. Las tres líneas iniciales.
• 
  Marcar la latitud, trazar la longitud${\displaystyle \sin \phi }$y copiando a G en vertical.
• 
  De G casting${\displaystyle \tan h\sin \phi }$en horizontal.
• 
  Las líneas horarias reales son 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• 
  Líneas de construcción retiradas.

Este método utiliza las propiedades de las cuerdas para establecer la distancia.${\displaystyle m.\sin \theta }$en el cuadrante superior, y luego transfiere esta distancia al cuadrante inferior de modo que${\displaystyle \sin \phi \sin \theta }$Se establece. Nuevamente, se transfiere esta medida a los acordes en el cuadrante superior. Las líneas finales establecen la fórmula.${\displaystyle \tan \kappa =}$${\displaystyle \sin \theta \sin \phi \over \cos \theta }$=${\displaystyle \tan \theta \sin \phi }$

Esto se transfiere luego por simetría a todos los cuadrantes. Se utilizó en la primera edición de la Encyclopædia Britannica de 1771 y en la sexta edición de 1823 ^{[ 11 ].}

• El gnomon se dibuja primero contra la línea norte-sur. Al hacerlo, se traza un diámetro a φ grados de la vertical; también será necesario su reflexión.
• La circunferencia se marca a intervalos de 15° en los cuadrantes superiores. Se dibujan cuerdas paralelas a la horizontal (la longitud de estas cuerdas será sen Θ).
• La medida de cada cuerda se transfiere para formar una escala a lo largo de los radios inferiores. Al unirse, estos puntos forman una serie de líneas paralelas de longitud sen θ. sen φ.
• Estas medidas se transfieren a la cuerda.
• Las líneas de la última hora se trazan desde los orígenes a través de estos puntos de cruce.${\displaystyle \tan \kappa =}$${\displaystyle \sin \theta \sin \phi \over \cos \theta }$=${\displaystyle \tan \theta \sin \phi }$) ^{[ 12 ]}

• 
  Dibuja el gnomon y los diámetros en el ángulo objetivo.
• 
  Marca los cuadrantes superiores en ángulos de 15° y únelos con cuerdas.
• 
  Transfiere la mitad de la longitud de la cuerda al radio inferior y dibuja en sentido transversal.
• 
  Elevar verticales
• 
  Dibuja una línea horaria que pase por las intersecciones.
• 
  Dial resultante para 52°.

El método de Dom Francois Bedos de Celles (1760) ^{[ 13 ]} también conocido como el método Waugh (1973) ^{[ 14 ] [ 5 ]}

• Desde G se traza una serie de líneas, separadas por 15°, lo suficientemente largas como para cruzar la línea que pasa por F. Estas marcan los puntos horarios 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3 si se toma solo 3 y se representan los puntos${\displaystyle \tan h\sin \phi }$.
• El centro de la esfera está en la parte inferior, en el punto O. La línea trazada desde cada uno de estos puntos horarios hasta O será la línea horaria en la esfera terminada. ^{[ 4 ]}
• Si el papel es lo suficientemente grande, el método anterior funciona desde el 7 hasta el 12, y desde el 12 hasta el 5; los valores anteriores y posteriores al 6 se calculan por simetría. Sin embargo, existe otra forma de marcar el 7 y el 8, y el 4 y el 5. Llamemos R al punto donde el 3 cruza la línea, y tracemos una línea perpendicular a la línea base. Llamemos W a ese punto. Usemos una línea de construcción para unir W y F. Waugh llama K, L, M a los puntos de intersección con las líneas de las horas.
• Usando un compás o divisor, agregue dos puntos más a esta línea, N y P, de modo que las distancias MN = ML y MP = MK. Las líneas horarias faltantes se trazan desde O pasando por N y pasando por P. Las líneas de construcción se borran. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• 
  Configurando un dial para 52°N. Las tres líneas iniciales.
• 
  Marcar la latitud, trazar la longitud${\displaystyle \sin \phi }$y copiando a G en vertical.
• 
  De G casting${\displaystyle \tan h\sin \phi }$en horizontal.
• 
  Las líneas horarias reales son 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3.
• 
  Líneas de construcción retiradas.
• 
  Construyendo las líneas 7, 8, 4, 5
• 
  Marcando las líneas 7, 8, 4 y 5
• 
  La placa del dial completa para 52°N. Bedos de Celles (1790)

Este método apareció por primera vez en el libro de Peter Nicholson, A popular Course of Pure and Mixed Mathematics, en 1825. Fue copiado por School World en junio de 1903, y luego en Sundial and Spheres de Kenneth Lynch, en 1971. ^{[ 15 ]} Comienza dibujando el conocido triángulo y toma los vértices para dibujar dos círculos con radio (OB) sin φ y (AB) tan φ. Se dibujan líneas de 15° que intersecan estos círculos. Se toman líneas horizontales y verticales desde estos círculos y su punto de intersección (OB sin t, AB cos t) está en la línea de las horas. Es decir, tan κ = OB sin t / AB cos t que se resuelve en sin φ. tan t.

• Dibuja la línea norte-sur y la línea este-oeste que se cruzan en el origen O. En un punto conveniente del primer cuadrante, une los ejes con una línea que forme el ángulo deseado. Esto forma el triángulo básico OAB.
• Coloca el compás en la longitud OB e inscribe un círculo. Coloca el compás en AB e inscribe un círculo concéntrico. En ambos círculos, marca los ángulos de 15°.
• Trazando las líneas verticalmente desde el círculo interior y horizontalmente desde el círculo exterior, marque cada una de las intersecciones. Estas se encuentran en las líneas horarias.
• Conecta los puntos de intersección con el origen.

^{[ 15 ]}

• 
  El triángulo básico
• 
  Los círculos
• 
  La medida de 15°
• 
  Los puntos de intersección
• 
  El dial completo

• En la esfera se dibuja un ángulo recto y la escala de latitud se sitúa contra el eje x .
• El punto de latitud objetivo está marcado en la esfera. La escala horaria se sitúa desde este punto hasta la línea del mediodía (por convención, el punto cero se encuentra en la línea del mediodía).
• Cada uno de los puntos horarios se copia en la esfera, y este procedimiento se repite, dando como resultado las horas antes y después del mediodía. Se utiliza una regla para conectar estos puntos con el origen, trazando así las líneas horarias correspondientes a esa posición.
• Una línea vertical que parta del punto de latitud objetivo y una línea horizontal que pase por el mediodía se bisecan en el marcador de las tres horas (de 9:00 a 15:00).
• El estilo tendrá el mismo ángulo que la latitud.

^{[ 16 ]}

Este era un método temprano y práctico para quienes tenían acceso a un astrolabio, como muchos astrólogos y matemáticos de la época. El método consistía en copiar las proyecciones de la esfera celeste sobre una superficie plana. Se trazaba una línea vertical y otra línea, con el ángulo de latitud trazado en la bisección de la vertical con la esfera celeste, se colocaba en la misma dirección. ^{[ 17 ]}

• Durell, Clement V (1921). Geometría . Editorial G. Bell And Sons Limited.
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• Davis, John (junio de 2014). "Decoración grabada en esferas horizontales inglesas" (PDF) . Boletín . 26 (ii). British Sundial Society: 48–52 . ISSN 0958-4315 . Consultado el 3 de julio de 2015 . 
• Rohr, René RJ; con prólogo de Henri Michel; traducido por Gabriel Godin (1996). Relojes de sol  : historia, teoría y práctica (  Edición de bolsillo). Nueva York: Dover Publications . 142 págs . ISBN  0-486-29139-1.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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• Gunella, Alessandro (2013). Sawyer, Fred (ed.). "Disposiciones horizontales 10 – Método Saphea". Compendio . 20 (3). Glastonbury, CT, EE. UU.: North American Sundial Society: 39.
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