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Articulo de referencia

Espacio de escala

La teoría del espacio de escalas es un marco para la representación de señales multiescala desarrollado por las comunidades de visión por computadora , procesamiento de imágenes...

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La teoría del espacio de escalas es un marco para la representación de señales multiescala desarrollado por las comunidades de visión por computadora , procesamiento de imágenes y procesamiento de señales con motivaciones complementarias de la física y la visión biológica . Es una teoría formal para manejar estructuras de imágenes en diferentes escalas , representando una imagen como una familia de imágenes suavizadas de un parámetro, la representación del espacio de escalas , parametrizada por el tamaño del núcleo de suavizado utilizado para suprimir estructuras de escala fina. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] El parámetrot{\displaystyle t}en esta familia se hace referencia al parámetro de escala , con la interpretación de que las estructuras de imagen de tamaño espacial menor que aproximadamentet{\displaystyle {\sqrt {t}}}en gran medida se han suavizado en el nivel de escala-espacio a escalat{\displaystyle t}.

El principal tipo de espacio de escala es el espacio de escala lineal (gaussiano) , que posee una amplia aplicabilidad y la atractiva propiedad de poder derivarse de un pequeño conjunto de axiomas . El marco de espacio de escala correspondiente abarca una teoría para operadores de derivada gaussiana, que puede utilizarse como base para expresar una amplia clase de operaciones visuales para sistemas computarizados que procesan información visual. Este marco también permite que las operaciones visuales sean invariantes a la escala , lo cual es necesario para lidiar con las variaciones de tamaño que pueden ocurrir en los datos de imagen, ya que los objetos del mundo real pueden tener diferentes tamaños y, además, la distancia entre el objeto y la cámara puede ser desconocida y variar según las circunstancias. [ 9 ] [ 10 ]

Definición

La noción de espacio de escala se aplica a señales de un número arbitrario de variables. El caso más común en la literatura se aplica a imágenes bidimensionales, que es lo que se presenta aquí. Consideremos una imagen dada.F{\displaystyle f}dóndeF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}es el valor de escala de grises del píxel en la posición (incógnita,y){\displaystyle (x,y)}. La representación lineal (gaussiana) del espacio de escalas deF{\displaystyle f}es una familia de señales derivadasL(incógnita,y;t){\displaystyle L(x,y;t)}definido por la convolución deF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}con el núcleo gaussiano bidimensional

gramo(incógnita,y;t)=12πtmi−(incógnita2+y2)/2t{\displaystyle g(x,y;t)={\frac {1}{2\pi t}}e^{-(x^{2}+y^{2})/2t}\,}

de tal manera que

L(⋅,⋅;t) =gramo(⋅,⋅;t)∗F(⋅,⋅),{\displaystyle L(\cdot ,\cdot ;t)\ =g(\cdot ,\cdot ;t)*f(\cdot ,\cdot ),}

donde el punto y coma en el argumento deL{\displaystyle L}implica que la convolución se realiza solo sobre las variablesincógnita,y{\displaystyle x,y}, mientras que el parámetro de escalat{\displaystyle t}Después del punto y coma solo indica qué nivel de escala se está definiendo. Esta definición deL{\displaystyle L}funciona para un continuo de escalast≥0{\displaystyle t\geq 0}pero normalmente solo se consideraría un conjunto discreto y finito de niveles en la representación del espacio de escalas.

El parámetro de escalat=σ2{\displaystyle t=\sigma ^{2}}es la varianza del filtro gaussiano y como límite parat=0{\displaystyle t=0}el filtrogramo{\displaystyle g}se convierte en una función impulso tal queL(incógnita,y;0)=F(incógnita,y),{\displaystyle L(x,y;0)=f(x,y),}es decir, la representación del espacio de escalas a nivel de escalat=0{\displaystyle t=0}es la imagenF{\displaystyle f}sí mismo. Comot{\displaystyle t}aumenta,L{\displaystyle L}es el resultado del suavizadoF{\displaystyle f}con un filtro cada vez más grande, eliminando así cada vez más detalles que contiene la imagen. Dado que la desviación estándar del filtro esσ=t{\displaystyle \sigma ={\sqrt {t}}}Los detalles que son significativamente más pequeños que este valor se eliminan en gran medida de la imagen en el parámetro de escala.t{\displaystyle t}, véanse las siguientes figuras y [ 11 ] para ilustraciones gráficas.

¿Por qué un filtro gaussiano?

Ante la tarea de generar una representación multiescala, cabe preguntarse: ¿podría utilizarse cualquier filtro g de paso bajo con un parámetro t que determine su ancho para generar un espacio de escalas? La respuesta es no, ya que es fundamental que el filtro de suavizado no introduzca nuevas estructuras espurias en escalas gruesas que no correspondan a simplificaciones de las estructuras correspondientes en escalas más finas. En la literatura sobre espacios de escalas, se han expresado diversas maneras de formular este criterio en términos matemáticos precisos.

La conclusión de varias derivaciones axiomáticas diferentes que se han presentado es que el espacio de escala gaussiano constituye la forma canónica de generar un espacio de escala lineal , basado en el requisito esencial de que no se deben crear nuevas estructuras al pasar de una escala fina a cualquier escala más gruesa. [ 1 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 6 ] [ 9 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] Las condiciones, denominadas axiomas del espacio de escala , que se han utilizado para derivar la unicidad del núcleo gaussiano incluyen linealidad , invariancia de desplazamiento , estructura de semigrupo , no mejora de extremos locales , invariancia de escala e invariancia rotacional . En los trabajos [ 15 ] [ 20 ] [ 21 ] se ha criticado la unicidad afirmada en los argumentos basados ​​en la invariancia de escala, y se han propuesto núcleos de espacio de escala autosimilares alternativos. Sin embargo, el núcleo gaussiano es una elección única según la axiomática del espacio de escala basada en la causalidad [ 3 ] o la no mejora de los extremos locales. [ 16 ] [ 18 ]

Definición alternativa

De forma equivalente , la familia de espacios de escala se puede definir como la solución de la ecuación de difusión (por ejemplo, en términos de la ecuación del calor ).

∂tL=12∇2L,{\displaystyle \partial _{t}L={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}L,}

con condición inicialL(incógnita,y;0)=F(incógnita,y){\displaystyle L(x,y;0)=f(x,y)}Esta formulación de la representación del espacio de escalas L significa que es posible interpretar los valores de intensidad de la imagen f como una "distribución de temperatura" en el plano de la imagen y que el proceso que genera la representación del espacio de escalas como una función de t corresponde a la difusión de calor en el plano de la imagen a lo largo del tiempo t (suponiendo que la conductividad térmica del material es igual a la constante arbitrariamente elegida 1/2 ) . Aunque esta conexión puede parecer superficial para un lector no familiarizado con las ecuaciones diferenciales , de hecho, la formulación principal del espacio de escalas en términos de no mejora de los extremos locales se expresa en términos de una condición de signo sobre las derivadas parciales en el volumen 2+1-D generado por el espacio de escalas, por lo tanto, dentro del marco de las ecuaciones diferenciales parciales . Además, un análisis detallado del caso discreto muestra que la ecuación de difusión proporciona un vínculo unificador entre los espacios de escalas continuos y discretos, que también se generaliza a espacios de escalas no lineales, por ejemplo, utilizando la difusión anisotrópica . Por lo tanto, se puede decir que la forma principal de generar un espacio de escalas es mediante la ecuación de difusión, y que el núcleo gaussiano surge como la función de Green de esta ecuación diferencial parcial específica.

Motivaciones

La motivación para generar una representación en el espacio de escalas de un conjunto de datos dado surge de la observación básica de que los objetos del mundo real están compuestos de diferentes estructuras a diferentes escalas . Esto implica que los objetos del mundo real, a diferencia de las entidades matemáticas idealizadas como puntos o líneas , pueden aparecer de diferentes maneras dependiendo de la escala de observación. Por ejemplo, el concepto de "árbol" es apropiado a la escala de metros, mientras que conceptos como hojas y moléculas son más apropiados a escalas más finas. Para un sistema de visión artificial que analiza una escena desconocida, no hay forma de saber a priori qué escalas son apropiadas para describir las estructuras interesantes en los datos de la imagen. Por lo tanto, el único enfoque razonable es considerar descripciones a múltiples escalas para poder capturar las variaciones de escala desconocidas que puedan ocurrir. Llevada al extremo, una representación en el espacio de escalas considera representaciones a todas las escalas. [ 9 ]

Otra motivación para el concepto de espacio de escalas surge del proceso de realizar una medición física sobre datos del mundo real. Para extraer información de un proceso de medición, es necesario aplicar operadores de tamaño no infinitesimal a los datos. En muchas ramas de la informática y las matemáticas aplicadas , el tamaño del operador de medición se ignora en la modelización teórica de un problema. La teoría del espacio de escalas, por otro lado, incorpora explícitamente la necesidad de un tamaño no infinitesimal de los operadores de imagen como parte integral de cualquier medición, así como de cualquier otra operación que dependa de una medición del mundo real. [ 5 ]

Existe una estrecha relación entre la teoría del espacio de escalas y la visión biológica. Muchas operaciones del espacio de escalas muestran un alto grado de similitud con los perfiles de campos receptivos registrados en la retina de los mamíferos y las primeras etapas de la corteza visual. En este sentido, el marco del espacio de escalas puede considerarse un paradigma teóricamente sólido para la visión temprana, que además ha sido exhaustivamente probado mediante algoritmos y experimentos. [ 4 ] [ 9 ]

derivadas gaussianas

En cualquier escala del espacio de escalas, podemos aplicar operadores de derivada local a la representación en el espacio de escalas:

Lincógnitametroynorte(incógnita,y;t)=(∂incógnitametroynorteL)(incógnita,y;t).{\displaystyle L_{x^{m}y^{n}}(x,y;t)=\left(\partial _{x^{m}y^{n}}L\right)(x,y;t).}

Debido a la propiedad conmutativa entre el operador de derivada y el operador de suavizado gaussiano, dichas derivadas en el espacio de escalas pueden calcularse de forma equivalente mediante la convolución de la imagen original con operadores de derivada gaussiana. Por esta razón, también se las suele denominar derivadas gaussianas .

Lincógnitametroynorte(⋅,⋅;t)=∂incógnitametroynortegramo(⋅,⋅;t)∗F(⋅,⋅).{\displaystyle L_{x^{m}y^{n}}(\cdot ,\cdot ;t)=\partial _{x^{m}y^{n}}g(\cdot ,\cdot ;\,t)*f(\cdot ,\cdot ).}

La unicidad de los operadores de derivada gaussiana como operaciones locales derivadas de una representación en el espacio de escalas se puede obtener mediante derivaciones axiomáticas similares a las que se utilizan para derivar la unicidad del núcleo gaussiano para el suavizado en el espacio de escalas. [ 4 ] [ 22 ]

Interfaz visual

Estos operadores de derivada gaussiana pueden combinarse mediante operadores lineales o no lineales para formar una mayor variedad de detectores de características, que en muchos casos pueden modelarse adecuadamente mediante geometría diferencial . En concreto, la invariancia (o, más apropiadamente, la covarianza ) a transformaciones geométricas locales, como rotaciones o transformaciones afines locales, puede obtenerse considerando invariantes diferenciales bajo la clase de transformaciones apropiada o, alternativamente, normalizando los operadores de derivada gaussiana a un sistema de coordenadas determinado localmente, por ejemplo, a partir de una orientación preferida en el dominio de la imagen, o aplicando una transformación afín local preferida a un parche de imagen local (véase el artículo sobre adaptación de forma afín para más detalles).

Cuando los operadores de derivada gaussiana y los invariantes diferenciales se utilizan de esta manera como detectores de características básicas en múltiples escalas, las primeras etapas no comprometidas del procesamiento visual se denominan a menudo interfaz visual . Este marco general se ha aplicado a una gran variedad de problemas en visión por computadora, incluyendo detección de características , clasificación de características , segmentación de imágenes , coincidencia de imágenes , estimación de movimiento , cálculo de claves de forma y reconocimiento de objetos . El conjunto de operadores de derivada gaussiana hasta cierto orden se denomina a menudo N-jet y constituye un tipo básico de característica dentro del marco del espacio de escalas.

Ejemplos de detectores

Siguiendo la idea de expresar operaciones visuales en términos de invariantes diferenciales calculados a múltiples escalas utilizando operadores de derivada gaussiana, podemos expresar un detector de bordes a partir del conjunto de puntos que satisfacen el requisito de que la magnitud del gradiente

Lv=Lincógnita2+Ly2{\displaystyle L_{v}={\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}}

debe asumir un máximo local en la dirección del gradiente.

∇L=(Lincógnita,Ly)T.{\displaystyle \nabla L=(L_{x},L_{y})^{T}.}

Al desarrollar la geometría diferencial, se puede demostrar [ 4 ] que este detector de borde diferencial se puede expresar de manera equivalente a partir de los cruces por cero del invariante diferencial de segundo orden.

L~v2=Lincógnita2Lincógnitaincógnita+2LincógnitaLyLincógnitay+Ly2Lyy=0{\displaystyle {\tilde {L}}_{v}^{2}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0}

que satisfacen la siguiente condición de signo en un invariante diferencial de tercer orden:

L~v3=Lincógnita3Lincógnitaincógnitaincógnita+3Lincógnita2LyLincógnitaincógnitay+3LincógnitaLy2Lincógnitayy+Ly3Lyyy<0.{\displaystyle {\tilde {L}}_{v}^{3}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}<0.}

De manera similar, los detectores de manchas multiescala en cualquier escala fija dada [ 23 ] [ 9 ] se pueden obtener a partir de máximos locales y mínimos locales del operador laplaciano (también conocido como el laplaciano de Gauss ).

∇2L=Lincógnitaincógnita+Lyy{\displaystyle \nabla ^{2}L=L_{xx}+L_{yy}\,}

o el determinante de la matriz hessiana

det⁡HL(incógnita,y;t)=(LincógnitaincógnitaLyy−Lincógnitay2).{\displaystyle \operatorname {det} HL(x,y;t)=(L_{xx}L_{yy}-L_{xy}^{2}).}

De forma análoga, los detectores de esquinas y los detectores de crestas y valles pueden expresarse como máximos, mínimos o cruces por cero locales de invariantes diferenciales multiescala definidos a partir de derivadas gaussianas. Sin embargo, las expresiones algebraicas para los operadores de detección de esquinas y crestas son algo más complejas, por lo que se remite al lector a los artículos sobre detección de esquinas y detección de crestas para obtener más detalles.

Las operaciones en el espacio de escalas también se han utilizado con frecuencia para expresar métodos de lo general a lo particular, en particular para tareas como la coincidencia de imágenes y la segmentación de imágenes a múltiples escalas .

Selección de escala

La teoría presentada hasta ahora describe un marco bien fundamentado para representar estructuras de imágenes en múltiples escalas. Sin embargo, en muchos casos también es necesario seleccionar escalas localmente apropiadas para un análisis posterior. Esta necesidad de selección de escala se origina por dos razones principales: (i) los objetos del mundo real pueden tener diferentes tamaños, y este tamaño puede ser desconocido para el sistema de visión, y (ii) la distancia entre el objeto y la cámara puede variar, y esta información de distancia también puede ser desconocida a priori . Una propiedad muy útil de la representación en el espacio de escalas es que las representaciones de imágenes pueden hacerse invariantes a las escalas, realizando una selección automática de escala local [ 9 ] [ 10 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] basada en máximos (o mínimos ) locales sobre escalas de derivadas normalizadas a escala.

Lξmetroηnorte(incógnita,y;t)=t(metro+norte)γ/2Lincógnitametroynorte(incógnita,y;t){\displaystyle L_{\xi ^{m}\eta ^{n}}(x,y;t)=t^{(m+n)\gamma /2}L_{x^{m}y^{n}}(x,y;t)}

dóndeγ∈[0,1]{\displaystyle \gamma \in [0,1]}es un parámetro que está relacionado con la dimensionalidad de la característica de la imagen. Esta expresión algebraica para operadores de derivada gaussiana normalizados a escala se origina a partir de la introducción deγ{\displaystyle \gamma }-derivadas normalizadas según

∂ξ=tγ/2∂incógnita{\displaystyle \partial _{\xi }=t^{\gamma /2}\partial _{x}\quad }y∂η=tγ/2∂y.{\displaystyle \quad \partial _{\eta }=t^{\gamma /2}\partial _{y}.}

Teóricamente se puede demostrar que un módulo de selección de escala que funcione según este principio satisfará la siguiente propiedad de covarianza de escala : si para un determinado tipo de característica de imagen se asume un máximo local en una determinada imagen a una determinada escalat0{\displaystyle t_{0}}, luego, bajo un reescalado de la imagen por un factor de escalas{\displaystyle s}El máximo local sobre las escalas en la imagen reescalada se transformará al nivel de escala.s2t0{\displaystyle s^{2}t_{0}}. [ 23 ]

detección de características invariantes a la escala

Siguiendo este enfoque de derivadas normalizadas gamma, se puede demostrar que diferentes tipos de detectores de características adaptativos a la escala e invariantes a la escala [ 9 ] [ 10 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 27 ] pueden expresarse para tareas tales como detección de blob , detección de esquinas , detección de crestas , detección de bordes y detección de puntos de interés espacio-temporales (consulte los artículos específicos sobre estos temas para obtener descripciones en profundidad de cómo se formulan estos detectores de características invariantes a la escala). Además, los niveles de escala obtenidos de la selección automática de escala pueden usarse para determinar regiones de interés para la adaptación de forma afín posterior [ 31 ] para obtener puntos de interés invariantes afines [ 32 ] [ 33 ] o para determinar niveles de escala para calcular descriptores de imagen asociados , tales como N-jets adaptados a la escala local .

Trabajos recientes han demostrado que también se pueden realizar operaciones más complejas, como el reconocimiento de objetos invariante a la escala, calculando descriptores de imagen locales (N-jets o histogramas locales de direcciones de gradiente) en puntos de interés adaptados a la escala obtenidos a partir de extremos del espacio de escalas del operador laplaciano normalizado (véase también la transformación de características invariante a la escala [ 34 ] ) o el determinante del hessiano (véase también SURF ); [ 35 ] véase también el artículo de Scholarpedia sobre la transformación de características invariante a la escala [ 36 ] para una perspectiva más general de los enfoques de reconocimiento de objetos basados ​​en respuestas de campos receptivos [ 19 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] en términos de operadores de derivada gaussiana o aproximaciones de los mismos.

Una pirámide de imágenes es una representación discreta en la que un espacio de escalas se muestrea tanto en el espacio como en la escala. Para la invariancia de escala, los factores de escala deben muestrearse exponencialmente, por ejemplo, como potencias enteras de 2 o √2 . Cuando se construye correctamente, la relación de las tasas de muestreo en el espacio y la escala se mantiene constante de modo que la respuesta impulsional es idéntica en todos los niveles de la pirámide. [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] Existen algoritmos rápidos, O(N), para calcular una pirámide de imágenes invariante de escala, en la que la imagen o señal se suaviza repetidamente y luego se submuestrea. Los valores para el espacio de escalas entre muestras de la pirámide se pueden estimar fácilmente utilizando interpolación dentro y entre escalas y permitiendo estimaciones de escala y posición con precisión subresolución. [ 43 ]

En una representación en el espacio de escalas, la existencia de un parámetro de escala continuo permite rastrear los cruces por cero entre escalas, lo que conduce a la denominada estructura profunda . Para las características definidas como cruces por cero de invariantes diferenciales , el teorema de la función implícita define directamente trayectorias a través de escalas, [ 4 ] [ 44 ] y en aquellas escalas donde ocurren bifurcaciones , el comportamiento local puede modelarse mediante la teoría de singularidades . [ 4 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]

Las extensiones de la teoría del espacio de escalas lineal se refieren a la formulación de conceptos de espacio de escalas no lineales más específicos. [ 48 ] [ 49 ] Estos espacios de escalas no lineales suelen partir de la formulación de difusión equivalente del concepto de espacio de escalas, que posteriormente se extiende de forma no lineal. Se han formulado numerosas ecuaciones de evolución de esta manera, motivadas por diferentes requisitos específicos (véanse las referencias bibliográficas mencionadas anteriormente para más información). Sin embargo, no todos estos espacios de escalas no lineales satisfacen requisitos teóricos similares a los del concepto de espacio de escalas gaussiano lineal. Por lo tanto, pueden aparecer artefactos inesperados y conviene tener mucho cuidado al utilizar el término «espacio de escalas» para cualquier tipo de familia de imágenes con un parámetro.

Una extensión de primer orden del espacio de escala gaussiano isotrópico es proporcionada por el espacio de escala afín (gaussiano) . [ 4 ] Una motivación para esta extensión se origina en la necesidad común de calcular descriptores de imagen sujetos a objetos del mundo real que se ven bajo un modelo de cámara de perspectiva. Para manejar tales deformaciones no lineales localmente, la invariancia parcial (o más correctamente la covarianza ) a las deformaciones afines locales se puede lograr considerando núcleos gaussianos afines con sus formas determinadas por la estructura de la imagen local, [ 31 ] ver el artículo sobre adaptación de forma afín para teoría y algoritmos. De hecho, este espacio de escala afín también puede expresarse a partir de una extensión no isotrópica de la ecuación de difusión lineal (isotrópica), sin dejar de estar dentro de la clase de ecuaciones diferenciales parciales lineales .

Existe una extensión más general del modelo de espacio de escala gaussiano a espacios de escala afines y espaciotemporales. [ 4 ] [ 31 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 50 ] Además de las variabilidades sobre la escala, que la teoría original del espacio de escala fue diseñada para manejar, esta teoría generalizada del espacio de escala [ 19 ] también comprende otros tipos de variabilidades causadas por transformaciones geométricas en el proceso de formación de imágenes, incluidas variaciones en la dirección de visión aproximadas por transformaciones afines locales, y movimientos relativos entre objetos en el mundo y el observador, aproximados por transformaciones galileanas locales . Esta teoría generalizada del espacio de escala conduce a predicciones sobre perfiles de campo receptivo en buena concordancia cualitativa con los perfiles de campo receptivo medidos por registros celulares en la visión biológica. [ 51 ] [ 52 ] [ 50 ] [ 53 ]

Existe una estrecha relación entre la teoría del espacio de escalas y la teoría de ondículas , si bien estas dos nociones de representación multiescala se han desarrollado a partir de premisas algo diferentes. También se han realizado trabajos sobre otros enfoques multiescala , como pirámides y diversos núcleos, que no aprovechan ni requieren los mismos requisitos que las descripciones del espacio de escalas propiamente dichas.

Relación con la visión y la audición biológicas

Existen relaciones interesantes entre la representación del espacio de escalas y la visión y audición biológicas. Estudios neurofisiológicos de la visión biológica han demostrado que existen perfiles de campo receptivo en la retina y la corteza visual de los mamíferos , que pueden modelarse adecuadamente mediante operadores de derivada gaussiana lineal, en algunos casos complementados también por un modelo de espacio de escalas afín no isotrópico, un modelo de espacio de escalas espaciotemporal y/o combinaciones no lineales de dichos operadores lineales. [ 18 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 50 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ] [ 56 ] [ 57 ]

En cuanto a la audición biológica, existen perfiles de campo receptivo en el colículo inferior y la corteza auditiva primaria que pueden modelarse adecuadamente mediante campos receptivos espectrotemporales, los cuales pueden modelarse adecuadamente mediante derivadas gaussianas sobre frecuencias logarítmicas y transformadas de Fourier con ventana temporal, donde las funciones de ventana son núcleos de escala-espacio temporal. [ 58 ] [ 59 ]

Aprendizaje profundo y escalabilidad

En el área de la visión por computadora clásica, la teoría del espacio de escalas se ha establecido como un marco teórico para la visión temprana, con las derivadas gaussianas constituyendo un modelo canónico para la primera capa de campos receptivos. Con la introducción del aprendizaje profundo , también se ha trabajado en el uso de derivadas gaussianas o núcleos gaussianos como base general para campos receptivos en redes profundas. [ 60 ] [ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ] Utilizando las propiedades de transformación de las derivadas gaussianas y los núcleos gaussianos bajo transformaciones de escala, es posible de esta manera obtener covarianza/equivarianza de escala e invariancia de escala de la red profunda para manejar estructuras de imagen en diferentes escalas de una manera teóricamente bien fundamentada. [ 62 ] [ 63 ] También se han desarrollado enfoques para obtener covarianza/equivarianza de escala e invariancia de escala mediante filtros aprendidos combinados con múltiples canales de escala. [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ] [ 69 ] [ 70 ] Específicamente, utilizando las nociones de covarianza/equivarianza de escala e invariancia de escala, es posible hacer que las redes profundas operen de manera robusta en escalas no cubiertas por los datos de entrenamiento, lo que permite la generalización de escala. [ 62 ] [ 63 ] [ 67 ] [ 69 ]

espacio de escala temporal causal-temporal

Para procesar señales temporales o vídeo pregrabados, el núcleo gaussiano también puede utilizarse para suavizar y suprimir estructuras de escala fina en el dominio temporal, dado que los datos están pregrabados y disponibles en todas las direcciones. Sin embargo, al procesar señales temporales o vídeo en situaciones de tiempo real, el núcleo gaussiano no puede utilizarse para el suavizado temporal, puesto que accedería a datos del futuro, que obviamente no están disponibles. Para el suavizado temporal en situaciones de tiempo real, se puede utilizar el núcleo temporal denominado núcleo límite causal temporal, [ 71 ] que posee propiedades similares en una situación causal temporal (no creación de nuevas estructuras hacia el aumento de la escala y covarianza de la escala temporal) a las que obedece el núcleo gaussiano en el caso no causal. El núcleo límite causal temporal corresponde a la convolución con un número infinito de núcleos exponenciales truncados acoplados en cascada, con constantes de tiempo elegidas específicamente para obtener la covarianza de la escala temporal. Para datos discretos, este núcleo a menudo se puede aproximar numéricamente bien mediante un pequeño conjunto de filtros recursivos de primer orden acoplados en cascada, consulte [ 71 ] para obtener más detalles.

Para un enfoque anterior para manejar escalas temporales de manera causal en el tiempo, mediante la realización de un suavizado gaussiano sobre un eje temporal transformado logarítmicamente, sin embargo, no se conoce ninguna implementación recursiva en el tiempo eficiente en memoria como la que tiene el núcleo límite causal en el tiempo, véase [ 72 ].

Problemas de implementación

En la práctica, al implementar el suavizado en el espacio de escalas, existen diversos enfoques que pueden adoptarse, como el suavizado gaussiano continuo o discreto, la implementación en el dominio de Fourier, el uso de pirámides basadas en filtros binomiales que aproximan la gaussiana o el uso de filtros recursivos. Se ofrecen más detalles al respecto en un artículo aparte sobre la implementación en el espacio de escalas .

Véase también

Referencias

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  3. 1 2 3 Koenderink, Jan J. (agosto de 1984). "La estructura de las imágenes". Cibernética biológica . 50 (5): 363– 370. doi : 10.1007/BF00336961 . PMID 6477978 . 
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lindeberg, Tony (1994). Teoría del espacio de escalas en visión por computadora . doi : 10.1007/978-1-4757-6465-9 . ISBN 978-1-4419-5139-7.
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  • pyscsp  : Caja de herramientas Scale-Space para Python en GitHub y PyPi
  • pytempscsp  : Caja de herramientas de espacio de escala temporal para Python en GitHub y PyPi
  • Detección de picos en datos 1D mediante un enfoque de espacio de escalas. Código MATLAB con licencia BSD.