Enfoques multiescala

La representación en el espacio de escala de una señal obtenida mediante suavizado gaussiano satisface una serie de propiedades especiales, axiomas del espacio de escala , que la convierten en una forma especial de representación multiescala. Sin embargo, también existen otros tipos de "enfoques multiescala" en las áreas de visión artificial , procesamiento de imágenes y procesamiento de señales , en particular el concepto de wavelets . El propósito de este artículo es describir algunos de estos enfoques:

Para señales unidimensionales , existe una teoría bastante bien desarrollada para núcleos continuos y discretos que garantizan que no se puedan crear nuevos extremos locales o cruces por cero mediante una operación de convolución . ^[1] Para señales continuas , se cumple que todos los núcleos del espacio de escala se pueden descomponer en los siguientes conjuntos de núcleos de suavizado primitivos:

• el núcleo gaussiano  : donde ,${\displaystyle g(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}\exp({-x^{2}/2t})}$${\displaystyle t>0}$
• núcleos exponenciales truncados (filtros con un polo real en el plano s ):

${\displaystyle h(x)=\exp({-ax})}$si y 0 en caso contrario donde${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle h(x)=\exp({bx})}$si y 0 en caso contrario donde ,${\displaystyle x\leq 0}$${\displaystyle b>0}$

• traducciones,
• reescalamientos.

Para señales discretas , podemos, hasta traducciones y reescalamientos triviales, descomponer cualquier núcleo de espacio de escala discreto en las siguientes operaciones primitivas:

• el núcleo gaussiano discreto

${\displaystyle T(n,t)=I_{n}(\alpha t)}$donde están las funciones de Bessel modificadas de orden entero,${\displaystyle \alpha ,t>0}$${\displaystyle I_{n}}$

• núcleos binomiales generalizados correspondientes al suavizado lineal de la forma

${\displaystyle f_{salida}(x)=pf_{entrada}(x)+qf_{entrada}(x-1)}$dónde${\displaystyle p,q>0}$

${\displaystyle f_{salida}(x)=pf_{entrada}(x)+qf_{entrada}(x+1)}$dónde ,${\displaystyle p,q>0}$

• filtros recursivos de primer orden correspondientes al suavizado lineal de la forma

${\displaystyle f_{salida}(x)=f_{entrada}(x)+\alpha f_{salida}(x-1)}$dónde${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle f_{salida}(x)=f_{entrada}(x)+\beta f_{salida}(x+1)}$dónde ,${\displaystyle \beta >0}$

• El núcleo de Poisson unilateral

${\displaystyle p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{n}}{n!}}}$para donde${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{-n}}{(-n)!}}}$para donde .${\displaystyle n\leq 0}$${\displaystyle t\geq 0}$

De esta clasificación se desprende que necesitamos una estructura de semigrupo continua , y que sólo hay tres clases de núcleos de escala espacial con un parámetro de escala continuo: el núcleo gaussiano, que forma el espacio de escala de las señales continuas, el núcleo gaussiano discreto, que forma el espacio de escala de las señales discretas, y el núcleo de Poisson causal temporal, que forma un espacio de escala temporal sobre un tiempo discreto. Si, por otro lado, sacrificamos la estructura de semigrupo continua, hay más opciones:

Para señales discretas, el uso de núcleos binomiales generalizados proporciona una base formal para definir la operación de suavizado en una pirámide. Para datos temporales, los núcleos exponenciales truncados unilaterales y los filtros recursivos de primer orden proporcionan una manera de definir espacios de escala causales temporales ^{[2] [3]} que permiten una implementación numérica eficiente y respetan la causalidad en el tiempo sin acceso al futuro. Los filtros recursivos de primer orden también proporcionan un marco para definir aproximaciones recursivas al núcleo gaussiano que, en un sentido más débil, preservan algunas de las propiedades del espacio de escala. ^{[4] [5]}

• Espacio de escala
• Implementación del espacio a escala
• Segmentación del espacio de escala