Diferencia de Gaussianas

En la ciencia de la imagen , la diferencia de gaussianas ( DoG ) es un algoritmo de mejora de características que implica la sustracción de una versión borrosa gaussiana de una imagen original de otra versión menos borrosa de la original. En el caso simple de las imágenes en escala de grises , las imágenes borrosas se obtienen convolucionando las imágenes en escala de grises originales con núcleos gaussianos que tienen diferente ancho (desviaciones estándar). Desenfocar una imagen utilizando un núcleo gaussiano suprime solo la información espacial de alta frecuencia . Restar una imagen de la otra preserva la información espacial que se encuentra entre el rango de frecuencias que se conservan en las dos imágenes borrosas. Por lo tanto, el DoG es un filtro de paso de banda espacial que atenúa las frecuencias en la imagen en escala de grises original que están lejos del centro de la banda. ^[1]

Sea la función gaussiana radial con media y varianza , es decir, la función gaussiana multivariada con media y covarianza . Más explícitamente, tenemos ${\displaystyle \Phi _{t}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Phi _{t}(x)={\mathcal {N}}(x|0,t)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Phi _{t}(x)={\mathcal {N}}(x|0,tI)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle tI}$

${\displaystyle \Phi _{t}(x)={\frac {1}{(2\pi {}t)^{n/2}}}e^{-{\frac {\|x\|^{2}}{2t}}}.}$

La diferencia de gaussianas con varianzas es la función kernel${\displaystyle t_{1}<t_{2}}$

${\displaystyle K_{t_{1},t_{2}}=\Phi _{t_{1}}-\Phi _{t_{2}}}$

Se obtiene restando la gaussiana de mayor varianza de la gaussiana de menor varianza. La diferencia del operador gaussiano es el operador convolucional asociado con esta función kernel. Por lo tanto, dada una imagen en escala de grises de n dimensiones , la diferencia de gaussianas de la imagen es la imagen de n dimensiones.${\displaystyle I:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$

${\displaystyle I*K_{t_{1},t_{2}}=I*(\Phi _{t_{1}}-\Phi _{t_{2}})=I*\Phi _{t_{1}}-I*\Phi _{t_{2}}.}$

Como la convolución es bilineal, realizar la convolución contra la diferencia de gaussianas es equivalente a aplicar dos desenfoques gaussianos diferentes y luego tomar la diferencia. En la práctica, esto es más rápido porque el desenfoque gaussiano es un filtro separable .

La diferencia de gaussianas puede considerarse como una aproximación de la función kernel de sombrero mexicano utilizada para el laplaciano del operador gaussiano. La observación clave es que la familia de gaussianas es la solución fundamental de la ecuación del calor. ${\displaystyle \Phi _{t}}$

${\displaystyle \partial _{t}\Phi _{t}(x)={\frac {1}{2}}\Delta \Phi _{t}(x).}$

El lado izquierdo se puede aproximar mediante el cociente de diferencias.

${\displaystyle {\frac {\Phi _{t+\delta {t}}(x)-\Phi _{t}(x)}{\delta {t}}}={\frac {1}{\delta {t}}}K_{t+\delta {t},t}(x).}$

Mientras tanto, el lado derecho es precisamente el laplaciano de la función gaussiana. Nótese que el laplaciano de la gaussiana se puede utilizar como filtro para producir un desenfoque gaussiano del laplaciano de la imagen debido a las propiedades estándar de la convolución. La relación entre el operador de diferencia de gaussianas y el laplaciano del operador gaussiano se explica con más detalle en el Apéndice A en Lindeberg (2015). ^[2]${\displaystyle I*\Delta \Phi _{t}=\Delta {I}*\Phi _{t}}$

Como algoritmo de mejora de características , la diferencia de gaussianas se puede utilizar para aumentar la visibilidad de los bordes y otros detalles presentes en una imagen digital. Una amplia variedad de filtros alternativos de nitidez de bordes funcionan mejorando los detalles de alta frecuencia, pero debido a que el ruido aleatorio también tiene una alta frecuencia espacial, muchos de estos filtros de nitidez tienden a mejorar el ruido, que puede ser un artefacto indeseable. El algoritmo de diferencia de gaussianas elimina los detalles de alta frecuencia que a menudo incluyen ruido aleatorio, lo que hace que este enfoque sea uno de los más adecuados para procesar imágenes con un alto grado de ruido. Una desventaja importante para la aplicación del algoritmo es una reducción inherente en el contraste general de la imagen producida por la operación. ^[1]

Cuando se utiliza para mejorar la imagen, el algoritmo de diferencia de gaussianas se aplica normalmente cuando la relación de tamaño del núcleo (2) con el núcleo (1) es de 4:1 o 5:1. En las imágenes de ejemplo, los tamaños de los núcleos gaussianos empleados para suavizar la imagen de muestra fueron 10 píxeles y 5 píxeles.

El algoritmo también se puede utilizar para obtener una aproximación del laplaciano de Gauss cuando la relación entre el tamaño 2 y el tamaño 1 es aproximadamente igual a 1,6. ^[3] El laplaciano de Gauss es útil para detectar bordes que aparecen en varias escalas de imagen o grados de enfoque de la imagen. Los valores exactos de los tamaños de los dos núcleos que se utilizan para aproximar el laplaciano de Gauss determinarán la escala de la imagen de diferencia, que puede aparecer borrosa como resultado.

Las diferencias de gaussianas también se han utilizado para la detección de manchas en la transformación de características invariantes de escala . De hecho, la DoG como la diferencia de dos distribuciones normales multivariadas siempre tiene una suma total nula y su convolución con una señal uniforme no genera respuesta. Se aproxima bien a una segunda derivada de Gaussiana ( Laplaciana de Gaussiana ) con K~1.6 y los campos receptivos de las células ganglionares en la retina con K~5. Se puede utilizar fácilmente en esquemas recursivos y se utiliza como operador en algoritmos en tiempo real para la detección de manchas y la selección automática de escala.

Se cree que en su funcionamiento, el algoritmo de diferencia de Gaussianas imita la forma en que el procesamiento neuronal en la retina del ojo extrae detalles de las imágenes destinadas a ser transmitidas al cerebro. ^{[4] [5] [6]}

• Algoritmo de Marr-Hildreth
• Tratamiento del enfoque de diferencia de Gaussianas en la detección de manchas.
• Detección de manchas
• Pirámide gaussiana
• Espacio de escala
• Transformación de características invariantes de escala

• Notas de Melisa Durmuş sobre detección de bordes y matemáticas relacionadas con Gauss de la Universidad de Edimburgo.