Grupo lineal especial

En matemáticas , el grupo lineal especial${\displaystyle \operatorname {SL} (n,R)}$de grado${\displaystyle n}$sobre un anillo conmutativo${\displaystyle R}$es el conjunto de${\displaystyle n\times n}$matrices con determinante${\displaystyle 1}$, con las operaciones de grupo de multiplicación de matrices ordinaria e inversión de matrices . Este es el subgrupo normal del grupo lineal general dado por el núcleo del determinante

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.}$

dónde${\displaystyle R^{\times }}$es el grupo multiplicativo de${\displaystyle R}$(eso es,${\displaystyle R}$a excepción de${\displaystyle 0}$cuando${\displaystyle R}$es un campo).

Estos elementos son "especiales" porque forman una subvariedad algebraica del grupo lineal general: satisfacen una ecuación polinómica (ya que el determinante es polinómico en las entradas).

Cuando${\displaystyle R}$es el campo finito de orden${\displaystyle q}$, la notación${\displaystyle \operatorname {SL} (n,q)}$a veces se utiliza.

El grupo lineal especial${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$puede caracterizarse como el grupo de transformaciones lineales que conservan el volumen y la orientación de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Esto corresponde a la interpretación del determinante como una medida del cambio de volumen y orientación.

Cuando${\displaystyle F}$es${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$,${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$es un subgrupo de Lie de${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$de dimensión${\displaystyle n^{2}-1}$El álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$de${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$consta de todo${\displaystyle n\times n}$matrices sobre${\displaystyle F}$con traza evanescente . El corchete de Lie viene dado por el conmutador .

Cualquier matriz invertible puede representarse de forma única, según la descomposición polar , como el producto de una matriz unitaria y una matriz hermitiana con autovalores positivos . El determinante de la matriz unitaria se encuentra en el círculo unitario , mientras que el de la matriz hermitiana es real y positivo. Dado que, en el caso de una matriz del grupo lineal especial, el producto de estos dos determinantes debe ser 1, entonces cada uno de ellos debe ser 1. Por lo tanto, una matriz lineal especial puede escribirse como el producto de una matriz unitaria especial (o matriz ortogonal especial en el caso real) y una matriz hermitiana definida positiva (o matriz simétrica en el caso real) con determinante 1.

De ello se deduce que la topología del grupo${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$es el producto de la topología de${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$y la topología del grupo de matrices hermíticas de determinante unitario con autovalores positivos. Una matriz hermítica de determinante unitario y con autovalores positivos puede expresarse de forma única como la exponencial de una matriz hermítica sin traza , y por lo tanto la topología de esta es la de${\displaystyle (n^{2}-1)}$Espacio euclidiano de dimensión . ^{[ 1 ]} Dado que${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$simplemente está conectado , ^{[ 2 ]} entonces${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$También está simplemente conectado, para todos.${\displaystyle n\geq 2}$.

La topología de${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$es el producto de la topología de SO ( n ) y la topología del grupo de matrices simétricas con autovalores positivos y determinante unitario. Dado que estas últimas matrices pueden expresarse de forma única como la exponencial de matrices simétricas sin traza, entonces esta última topología es la del espacio euclidiano de ( n + 2)( n − 1)/2 dimensiones. Por lo tanto, el grupo${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$tiene el mismo grupo fundamental que${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$; eso es,${\displaystyle \mathbb {Z} }$para${\displaystyle n=2}$y${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$para${\displaystyle n>2}$. ^{[ 3 ]} En particular, esto significa que${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$, a diferencia de${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$, no está simplemente conectado, porque${\displaystyle n>1}$.

Dos subgrupos relacionados, que en algunos casos coinciden con${\displaystyle \operatorname {SL} }$y en otros casos se confunden accidentalmente con${\displaystyle \operatorname {SL} }$, son el subgrupo conmutador de${\displaystyle \operatorname {GL} }$y el grupo generado por transvecciones . Estos son ambos subgrupos de${\displaystyle \operatorname {SL} }$(las transvecciones tienen determinante 1, y det es un mapa a un grupo abeliano, por lo tanto${\displaystyle [\operatorname {GL} ,\operatorname {GL} ]<\operatorname {SL} }$), pero en general no coinciden con ella.

El grupo generado por transvecciones se denota${\displaystyle \operatorname {E} (n,A)}$(para matrices elementales ) o${\displaystyle \operatorname {TV} (n,A)}$. Por la segunda relación de Steinberg , para${\displaystyle n\geq 3}$, las transvecciones son conmutadores, por lo tanto, para${\displaystyle n\geq 3}$,${\displaystyle \operatorname {E} (n,A)<[\operatorname {GL} (n,A),\operatorname {GL} (n,A)]}$.

Para${\displaystyle n=2}$, las transvecciones no tienen por qué ser conmutadores (de${\displaystyle 2\times 2}$matrices), como se ve por ejemplo cuando${\displaystyle A}$es${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, el campo de dos elementos. En ese caso

${\displaystyle A_{3}\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbb {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {F} _{2})\cong S_{3},}$

dónde${\displaystyle A_{3}}$y${\displaystyle S_{3}}$denotan respectivamente el grupo alternado y simétrico en 3 letras.

Sin embargo, si${\displaystyle A}$es un campo con más de 2 elementos, entonces E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , y si${\displaystyle A}$es un campo con más de 3 elementos, E(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] .

En algunas circunstancias, estos coinciden: el grupo lineal especial sobre un campo o un dominio euclidiano se genera mediante transvecciones, y el grupo lineal especial estable sobre un dominio de Dedekind se genera mediante transvecciones. Para anillos más generales, la diferencia estable se mide mediante el grupo especial de Whitehead.${\displaystyle SK_{1}(A)=\operatorname {SL} (A)/\operatorname {E} (A)}$, dónde${\displaystyle \operatorname {SL} (A)}$y${\displaystyle \operatorname {E} (A)}$son los grupos estables del grupo lineal especial y de las matrices elementales.

Si trabaja sobre un anillo donde${\displaystyle \operatorname {SL} }$es generado por transvecciones (como un campo o dominio euclidiano ), se puede dar una presentación de${\displaystyle \operatorname {SL} }$utilizando transvecciones con algunas relaciones. Las transvecciones satisfacen las relaciones de Steinberg , pero estas no son suficientes: el grupo resultante es el grupo de Steinberg , que no es el grupo lineal especial, sino más bien la extensión central universal del subgrupo conmutador de${\displaystyle \operatorname {GL} }$.

Un conjunto suficiente de relaciones para${\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {Z} )}$para${\displaystyle n\geq 3}$viene dada por dos de las relaciones de Steinberg, más una tercera relación ( Conder, Robertson y Williams 1992 , p. 19) . Sea ${\displaystyle T_{ij}:=e_{ij}(1)}$sea ​​la matriz elemental con${\displaystyle 1}$está en diagonal y en el${\displaystyle ij}$posición y${\displaystyle 0}$está en otro lugar (y${\displaystyle i\neq j}$). Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

son un conjunto completo de relaciones para${\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {Z} ),n\geq 3}$.

En una característica distinta de 2, el conjunto de matrices con determinante ±1 forma otro subgrupo de GL, con SL como un subgrupo de índice 2 (necesariamente normal); en una característica 2, esto es lo mismo que SL. Esto forma una secuencia exacta corta de grupos:

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.}$

Esta secuencia se divide tomando cualquier matriz con determinante −1 , por ejemplo la matriz diagonal.${\displaystyle (-1,1,\dots ,1).}$Si${\displaystyle n=2k+1}$es extraño, la matriz identidad negativa${\displaystyle -I}$está en SL ^± ( n , F ) pero no en SL( n , F ) y por lo tanto el grupo se divide como un producto directo interno${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}}$. Sin embargo, si${\displaystyle n=2k}$es par,${\displaystyle -I}$ya está en SL( n , F ) , SL ^± no se divide y, en general, es una extensión de grupo no trivial .

Sobre los números reales, SL ^± ( n , R ) tiene dos componentes conexas , correspondientes a SL( n , R ) y otra componente, que son isomorfas con identificación dependiendo de una elección de punto (matriz con determinante −1 ). En dimensión impar, estas se identifican naturalmente por${\displaystyle -I}$, pero incluso en la misma dimensión no existe una identificación natural.

El grupo${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$se divide sobre su determinante (usamos${\displaystyle F^{\times }=\operatorname {GL} (1,F)\to \operatorname {GL} (n,F)}$como el monomorfismo de${\displaystyle F^{\times }}$a${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$(véase producto semidirecto ), y por lo tanto${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$se puede escribir como un producto semidirecto de${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$por${\displaystyle F^{\times }}$:

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)=\operatorname {SL} (n,F)\rtimes F^{\times }}$.

• SL(2, R )
• SL(2, C )
• Grupo modular (PSL(2, Z ))
• Grupo lineal proyectivo
• Mapa conforme
• Representaciones de los grupos de Lie clásicos

• Conder, Marston ; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), "Presentaciones para grupos lineales especiales tridimensionales sobre anillos enteros", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 115 (1), Sociedad Matemática Americana: 19–26 , doi : 10.2307/2159559 , JSTOR 2159559 , MR 1079696  
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: Una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  222 (2.ª  ed.), Springer