Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Desplazamiento angular

El desplazamiento angular (símbolo θ , ϑ o φ ) – también llamado ángulo de rotación , desplazamiento rotacional o desplazamiento rotacional – de un cuerpo físico es el ángulo (c...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

El desplazamiento angular (símbolo θ , ϑ o φ ) – también llamado ángulo de rotación , desplazamiento rotacional o desplazamiento rotacional – de un cuerpo físico es el ángulo (con la unidad radián , grado , vuelta , etc.) a través del cual el cuerpo ha girado (revolucionado o rotado) alrededor de un centro de rotación o eje de rotación . El desplazamiento angular puede tener signo, indicando la dirección de rotación (por ejemplo, en sentido horario o antihorario); también puede ser mayor (en valor absoluto ) que una vuelta completa si la rotación fue.

Contexto

Rotación de un cuerpo rígido P alrededor de un eje fijo O.

Cuando un cuerpo con orientación gira alrededor de un eje, debe tenerse en cuenta el movimiento de dicha orientación, como ocurre con el cabeceo, la guiñada y el balanceo de un avión, que dan lugar a orientaciones nuevas y diferentes. Cada parte del objeto experimenta un movimiento circular durante la rotación.

El caso más simple es el del cuerpo rígido, en el que el objeto en sí no cambia. Precisamente, esto ocurre cuando las distancias entre todas las partículas permanecen constantes durante el movimiento del cuerpo, a diferencia de cuando este posee partes móviles internas o acumula o libera partes de sí mismo. Muchos cuerpos reales se aproximan a cuerpos rígidos, como los aviones en las simulaciones de vuelo.

Ejemplo

En el ejemplo ilustrado a la izquierda (o arriba en algunas versiones móviles), una partícula o cuerpo P se encuentra a una distancia fija r del origen, O , girando en sentido antihorario. Resulta importante entonces representar la posición de la partícula P en términos de sus coordenadas polares ( r , θ ). En este ejemplo en particular, el valor de θ cambia, mientras que el valor del radio permanece constante. (En coordenadas rectangulares ( x , y ), tanto x como y varían con el tiempo). A medida que la partícula se mueve a lo largo del círculo, recorre una longitud de arco s , que se relaciona con la posición angular mediante la siguiente relación:

s=rθ.{\displaystyle s=r\theta .}

Definición y unidades

El desplazamiento angular puede expresarse con la unidad de radián o grado. El uso del radián proporciona una relación muy simple entre la distancia recorrida alrededor del círculo ( longitud del arco circular ) y la distancia r desde el centro ( radio ):

θ=srrad{\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\mathrm {rad} }

Por ejemplo, si un cuerpo gira 360° alrededor de un círculo de radio r , el desplazamiento angular viene dado por la distancia recorrida alrededor de la circunferencia (que es 2π r ) dividida por el radio:θ=2πrr{\displaystyle \theta ={\frac {2\pi r}{r}}}lo cual se simplifica fácilmente a:θ=2π{\displaystyle \theta =2\pi }Por lo tanto, 1 revolución es2π{\displaystyle 2\pi }radianes.

La definición anterior forma parte del Sistema Internacional de Cantidades (SIQ), formalizado en la norma internacional ISO 80000-3 (Espacio y tiempo) [ 1 ] y adoptado en el Sistema Internacional de Unidades (SI) [ 2 ] [ 3 ] .

El desplazamiento angular puede tener signo, indicando el sentido de rotación (por ejemplo, en sentido horario ); [ 1 ] también puede ser mayor (en valor absoluto ) que una vuelta completa . En el ISQ/SI, el desplazamiento angular se utiliza para definir el número de revoluciones , N = θ/(2π rad) , una razón y, por lo tanto, una cantidad de dimensión uno .

En tres dimensiones

Figura 1 : Teorema de rotación de Euler. Un círculo máximo se transforma en otro círculo máximo mediante rotaciones, dejando siempre un diámetro de la esfera en su posición original.
Figura 2 : Una rotación representada por un eje de Euler y un ángulo

En tres dimensiones, el desplazamiento angular es una entidad con dirección y magnitud. La dirección especifica el eje de rotación, que siempre existe gracias al teorema de rotación de Euler ; la magnitud especifica la rotación en radianes alrededor de ese eje (utilizando la regla de la mano derecha para determinar la dirección). Esta entidad se denomina eje-ángulo .

A pesar de tener dirección y magnitud, el desplazamiento angular no es un vector porque no obedece la ley conmutativa de la suma. [ 4 ] Sin embargo, al tratar con rotaciones infinitesimales, se pueden descartar los infinitesimales de segundo orden y, en este caso, aparece la conmutatividad.

Matrices de rotación

Existen varias formas de describir las rotaciones, como las matrices de rotación o los ángulos de Euler . Consulte los gráficos de SO(3) para ver otras opciones.

Dado que cualquier marco en el espacio puede describirse mediante una matriz de rotación, el desplazamiento entre ellos también puede describirse mediante una matriz de rotación.A0{\displaystyle A_{0}}yAF{\displaystyle A_{f}}dos matrices, la matriz de desplazamiento angular entre ellas se puede obtener como ⁠ΔA=AFA0−1{\displaystyle \Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}}Cuando se realiza este producto con una diferencia muy pequeña entre ambos marcos, obtendremos una matriz cercana a la identidad.

En el límite, tendremos una matriz de rotación infinitesimal.

Matrices de rotación infinitesimales

Una matriz de rotación infinitesimal o matriz de rotación diferencial es una matriz que representa una rotación infinitesimalmente pequeña .

Mientras que una matriz de rotación es una matriz ortogonalRT=R−1{\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}representando un elemento deSO(norte){\displaystyle \mathrm {SO} (n)}(el grupo ortogonal especial ), el diferencial de una rotación es una matriz antisimétricaAT=−A{\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}en el espacio tangenteso(norte){\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(n)}(el álgebra de Lie ortogonal especial ), que en sí misma no es una matriz de rotación.

Una matriz de rotación infinitesimal tiene la forma

I+dθA,{\displaystyle I+d\theta \,A,}

dóndeI{\displaystyle I}es la matriz identidad ,dθ{\displaystyle d\theta }es insignificante, yA∈so(norte){\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n)}.​

Por ejemplo, siA=Lincógnita{\displaystyle A=L_{x}}⁠ , que representa una rotación tridimensional infinitesimal alrededor del eje x , un elemento base de ⁠so(3){\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}, entonces

Lincógnita=[00000−1010],{\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},}

y

I+dθLincógnita=[10001−dθ0dθ1].{\displaystyle I+d\theta L_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}

Las reglas de cálculo para matrices de rotación infinitesimales son las habituales, excepto que se omiten los infinitesimales de segundo orden. Con estas reglas, estas matrices no satisfacen todas las mismas propiedades que las matrices de rotación finitas ordinarias bajo el tratamiento habitual de los infinitesimales. [ 5 ] Resulta que el orden en que se aplican las rotaciones infinitesimales es irrelevante .

Véase también

Referencias

  1. 1 2 "ISO 80000-3:2019 Cantidades y unidades — Parte 3: Espacio y tiempo" (2.ª  ed.). Organización Internacional de Normalización . 2019. Recuperado el 23 de octubre de 2019 .(11 páginas)
  2. ↑ El Sistema Internacional de Unidades (PDF) , V4.01 (9.ª ed.), Oficina Internacional de Pesas y Medidas, junio de 2026, ISBN  978-92-822-2272-0
  3. ↑ Thompson, Ambler; Taylor, Barry N. (4 de marzo de 2020) [2 de julio de 2009]. "Guía del NIST para el uso del Sistema Internacional de Unidades, Publicación especial 811" ( ed. 2008). Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Recuperado el 17 de julio de 2023 . 
  4. ↑ Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). Introducción a la mecánica . McGraw-Hill. págs. 288-289 . ISBN  9780070350489.
  5. ↑ ( Goldstein, Poole y Safko 2002 , §4.8)

Fuentes