Paralelogramo

En geometría euclidiana , un paralelogramo es un cuadrilátero quiral simple (sin autointersecciones ) con dos pares de lados paralelos . Los lados opuestos o enfrentados de un paralelogramo tienen la misma longitud y los ángulos opuestos tienen la misma medida. La congruencia de lados y ángulos opuestos es una consecuencia directa del postulado euclidiano de las paralelas , y ninguna de estas condiciones puede demostrarse sin recurrir a dicho postulado o a alguna de sus formulaciones equivalentes.

En comparación, un cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos se denomina trapecio en inglés americano o trapecio en inglés británico.

El equivalente tridimensional de un paralelogramo es un paralelepípedo .

La palabra "paralelogramo" proviene del griego παραλληλό-γραμμον, parallēló-grammon , que significa "una forma de líneas paralelas".

• Rectángulo – Un paralelogramo con cuatro ángulos rectos.
• Rombo – Un paralelogramo con cuatro lados de igual longitud.
• Cuadrado – Un paralelogramo con cuatro lados de igual longitud y cuatro ángulos rectos.
• Romboide: Un paralelogramo con lados adyacentes de longitudes desiguales y ángulos distintos de 90 grados (y, por lo tanto, no es ni un rectángulo ni un rombo). Este término no se usa en matemáticas modernas, pero aún se conserva en algunos contextos biológicos en nombres como músculos romboides o formas de hojas romboides . ^{[ 1 ]}

Un cuadrilátero simple (que no se autointerseca) es un paralelogramo si y solo si alguna de las siguientes afirmaciones es verdadera: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• Dos pares de lados opuestos son paralelos (por definición).
• Dos pares de lados opuestos tienen la misma longitud.
• Dos pares de ángulos opuestos tienen la misma medida.
• Las diagonales se bisecan mutuamente.
• Un par de lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud.
• Los ángulos adyacentes son suplementarios .
• Cada diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes .
• La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales. (Esta es la ley del paralelogramo ).
• Tiene simetría rotacional de orden 2.
• La suma de las distancias desde cualquier punto interior a los lados es independiente de la ubicación del punto. ^{[ 4 ]} (Esto es una extensión del teorema de Viviani ).
• Hay un punto X en el plano del cuadrilátero con la propiedad de que toda línea recta que pasa por X divide el cuadrilátero en dos regiones de igual área. ^{[ 5 ]}

Por lo tanto, todos los paralelogramos poseen todas las propiedades enumeradas anteriormente y, a la inversa , si tan solo una de estas afirmaciones es cierta en un cuadrilátero simple, entonces se considera un paralelogramo.

• Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos (por definición) y, por lo tanto, nunca se cruzarán.
• El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por una de sus diagonales.
• El área de un paralelogramo también es igual a la magnitud del producto vectorial de dos lados adyacentes .
• Cualquier línea que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área. ^{[ 6 ]}
• Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.
• Un paralelogramo tiene simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°) (o de orden 4 si es un cuadrado). Si además tiene exactamente dos ejes de simetría de reflexión , entonces debe ser un rombo o un rectángulo (un rectángulo no cuadrado). Si tiene cuatro ejes de simetría de reflexión, es un cuadrado .
• El perímetro de un paralelogramo es 2( a + b ), donde a y b son las longitudes de los lados adyacentes.
• A diferencia de cualquier otro polígono convexo, un paralelogramo no puede inscribirse en ningún triángulo con un área menor al doble de la suya. ^{[ 7 ]}
• Los centros de cuatro cuadrados construidos interna o externamente sobre los lados de un paralelogramo son los vértices de un cuadrado. ^{[ 8 ]}
• Si se trazan dos líneas paralelas a los lados de un paralelogramo concurrentes a una diagonal, entonces los paralelogramos formados en lados opuestos de esa diagonal tienen la misma área. ^{[ 8 ]}
• Las diagonales de un paralelogramo lo dividen en cuatro triángulos de igual área.

Todas las fórmulas de área para cuadriláteros convexos generales se aplican a los paralelogramos. Otras fórmulas son específicas para los paralelogramos:

Un paralelogramo con base b y altura h se puede dividir en un trapecio y un triángulo rectángulo , y reorganizar para formar un rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que el área de un paralelogramo es la misma que la de un rectángulo con la misma base y altura.

${\displaystyle K=bh.}$

La fórmula del área de la base por la altura también se puede derivar utilizando la figura de la derecha. El área K del paralelogramo de la derecha (el área azul) es el área total del rectángulo menos el área de los dos triángulos naranjas. El área del rectángulo es

${\displaystyle K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,}$

y el área de un solo triángulo es

${\displaystyle K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,}$

Por lo tanto, el área del paralelogramo es

${\displaystyle K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.}$

Otra fórmula de área, para dos lados B y C y un ángulo θ, es

${\displaystyle K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

Siempre que el paralelogramo sea un rombo, el área se puede expresar usando los lados B y C y el ángulo${\displaystyle \gamma }$en la intersección de las diagonales: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.}$

Cuando el paralelogramo se especifica a partir de las longitudes B y C de dos lados adyacentes junto con la longitud D1 de cualquiera _de las diagonales, entonces el área se puede encontrar a partir de la fórmula de Herón . Específicamente es

${\displaystyle K=2{\sqrt {S(SB)(SC)(S-D_{1})}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(B+C+D_{1})(-B+C+D_{1})(B-C+D_{1})(B+C-D_{1})}},}$

dónde${\displaystyle S=(B+C+D_{1})/2}$y el factor principal 2 proviene del hecho de que la diagonal elegida divide el paralelogramo en dos triángulos congruentes.

Para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente, utilizaremos triángulos congruentes :

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$(Los ángulos alternos internos son iguales en medida)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$(los ángulos alternos internos son iguales en medida) .

(ya que estos son los ángulos que forma una transversal con las líneas paralelas AB y DC ).

Además, el lado AB tiene la misma longitud que el lado DC , ya que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Por lo tanto, los triángulos ABE y CDE son congruentes (postulado ALA, dos ángulos correspondientes y el lado comprendido ).

Por lo tanto,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$

Dado que las diagonales AC y BD se dividen mutuamente en segmentos de igual longitud, las diagonales se bisecan entre sí.

Por otra parte, dado que las diagonales AC y BD se bisecan mutuamente en el punto E , el punto E es el punto medio de cada diagonal.

Los paralelogramos pueden recubrir el plano mediante traslación. Si los lados son iguales o los ángulos son rectos, la simetría de la red es mayor. Estos representan las cuatro redes de Bravais en 2 dimensiones .

• paralelogramo , generalización que abarca tanto hexágonos como cuadriláteros
• zonógono , generalización a polígonos con cualquier número par de lados
• Antiparalelogramo
• Paralelogramo de Levi-Civita

• Paralelogramo y rombo: curso animado (construcción, circunferencia, área)
• Weisstein, Eric W. "Paralelogramo" . MathWorld .
• Paralelogramo interactivo: lados, ángulos y pendiente
• Área del paralelogramo en el punto de corte del nudo
• Triángulos equiláteros en los lados de un paralelogramo en cut-the-knot
• Definición y propiedades de un paralelogramo con applet animado
• Applet interactivo que muestra el cálculo del área de un paralelogramo.