Metodología de modelado de respuesta

La metodología de modelado de respuesta (RMM) es una plataforma general para el modelado estadístico de una relación lineal o no lineal entre una variable de respuesta ( variable dependiente ) y un predictor lineal (una combinación lineal de predictores, efectos, factores o variables independientes ), a menudo denominado función predictora lineal . Generalmente se asume que la relación modelada es monótona convexa (que produce una función monótona convexa ) o monótona cóncava (que produce una función monótona cóncava ). Sin embargo, muchas funciones no monótonas, como la ecuación cuadrática , son casos especiales del modelo general.

RMM se desarrolló inicialmente como una serie de extensiones de la transformación inversa de Box-Cox original :${\displaystyle y={{(1+\lambda z)}^{1/\lambda }},}$donde y es un percentil de la respuesta modelada, Y (la variable aleatoria modelada ), z es el percentil correspondiente de una variable aleatoria normal y λ es el parámetro de Box-Cox. Cuando λ tiende a cero, la transformación inversa de Box-Cox se convierte en:${\displaystyle y=e^{z},}$un modelo exponencial . Por lo tanto, la transformación inversa de Box-Cox original contiene un trío de modelos: lineal ( λ  =  1), potencial ( λ  ≠  1, λ  ≠  0) y exponencial ( λ  =  0). Esto implica que, al estimar λ utilizando datos de muestra, el modelo final no se determina de antemano (antes de la estimación), sino como resultado de la misma. En otras palabras, los datos por sí solos determinan el modelo final.

Shore desarrolló extensiones de la transformación inversa de Box-Cox (2001a ^{[ 1 ]} ), denominadas Transformaciones Normalizadoras Inversas (INT). Estas se aplicaron para modelar relaciones convexas monótonas en diversas áreas de la ingeniería, principalmente para modelar propiedades físicas de compuestos químicos (Shore et al. , 2001a, ^{[ 1 ]} y referencias allí citadas). Una vez comprendido que los modelos INT pueden considerarse casos especiales de un enfoque general mucho más amplio para modelar relaciones convexas monótonas no lineales, se inició y desarrolló la nueva Metodología de Modelado de Respuesta (Shore, 2005a, ^{[ 2 ]} , 2011 ^{[ 3 ]} y referencias allí citadas).

El modelo RMM expresa la relación entre una respuesta, Y (la variable aleatoria modelada), y dos componentes que aportan variación a Y:

• La función predictora lineal , LP (denotada η ):${\displaystyle \eta =\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\cdots +\beta _{k}X_{k},}$donde { X ₁ ,..., X _k } son variables regresoras (“factores que afectan”) que proporcionan una variación sistemática a la respuesta;
• Errores normales, que introducen variaciones aleatorias en la respuesta.

El modelo RMM básico describe Y en términos de la LP, dos errores normales de media cero posiblemente correlacionados, ε ₁ y ε ₂ (con correlación ρ y desviaciones estándar σ _{ε 1} y σ _{ε 2} , respectivamente) y un vector de parámetros { α , λ , μ } (Shore, 2005a, ^{[ 2 ]} 2011 ^{[ 3 ]} ):

${\displaystyle W=\log(Y)=\mu +\left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)[(\eta +\varepsilon _{1})^{\lambda }-1]+\varepsilon _{2},\,}$

y ε ₁ representa la incertidumbre (imprecisión de medición o de otro tipo) en las variables explicativas (incluidas en el LP). Esto se suma a la incertidumbre asociada con la respuesta ( ε ₂ ). Expresando ε ₁ y ε ₂ en términos de variables normales estándar, Z ₁ y Z ₂ , respectivamente, con correlación ρ , y condicionando Z ₂ | Z ₁ = z 1 ( Z ₂ dado que Z ₁ es igual a un valor dado z ₁ ), podemos escribir en términos de un solo error, ε : 

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&=\sigma _{\varepsilon _{1}}Z_{1}\,\,;\,\,\varepsilon _{2}=\sigma _{\varepsilon _{2}}Z_{2};\\[4pt]\varepsilon _{2}&=\sigma _{\varepsilon _{2}}\rho z_{1}+(1-\rho ^{2})^{(1/2)}\sigma _{\varepsilon _{2}}Z=dz_{1}+\varepsilon ,\\\end{aligned}}}$

donde Z es una variable aleatoria normal estándar, independiente de Z ₁ y Z ₂ , ε es un error de media cero y d es un parámetro. A partir de estas relaciones, la función cuantil RMM asociada es (Shore, 2011 ^{[ 3 ]} ):

${\displaystyle w=\log(y)=\mu +\left({\frac {\alpha }{\lambda }}\right)[(\eta +cz)^{\lambda }-1]+(d)z+\varepsilon ,}$

o, después de la reparametrización:

${\displaystyle w=\log(y)=\log(M_{Y})+\left({\frac {a\eta ^{b}}{b}}\right)\left\{\left[1+\left({\frac {c}{\eta }}\right)z\right]^{b}-1\right\}+(d)z+\varepsilon ,}$

donde y es el percentil de la respuesta ( Y ), z es el percentil normal estándar respectivo , ε es el error normal de media cero del modelo con varianza constante, σ , { a,b,c,d } son parámetros y M _Y es la mediana de la respuesta ( z  =  0), que depende de los valores de los parámetros y del valor del LP, η :

${\displaystyle \log(M_{Y})=\mu +\left({\frac {a}{b}}\right)[\eta ^{b}-1]=\log(m)+\left({\frac {a}{b}}\right)[\eta ^{b}-1],}$

donde μ (o m ) es un parámetro adicional.

Si se puede asumir que cz<<η, el modelo anterior para la función cuantil RMM se puede aproximar mediante:

${\displaystyle w=\log(y)=\log(M_{Y})+\left({\frac {a\eta ^{b}}{b}}\right)\left[\exp \left({\frac {bcz}{\eta }}\right)-1\right]+(d)z+\varepsilon .}$

El parámetro “c” no puede ser “absorbido” en los parámetros del LP (η) ya que “c” y LP se estiman en dos etapas separadas (como se explica a continuación).

Si los datos de respuesta utilizados para estimar el modelo contienen valores que cambian de signo, o si el valor de respuesta más bajo está lejos de cero (por ejemplo, cuando los datos están truncados a la izquierda), se puede agregar un parámetro de ubicación , L , a la respuesta de modo que las expresiones para la función cuantil y para la mediana se conviertan, respectivamente:

${\displaystyle w=\log(y-L)=\log(M_{Y}-L)+\left({\frac {a\eta ^{b}}{b}}\right)\left\{\left[1+\left({\frac {c}{\eta }}\right)z\right]^{b}-1\right\}+(d)z+\varepsilon \,;}$

${\displaystyle \log(M_{Y}-L)=\mu +\left({\frac {a}{b}}\right)[\eta ^{b}-1].}$

Como se mostró anteriormente, la transformación inversa de Box-Cox depende de un único parámetro, λ , que determina la forma final del modelo (lineal, potencial o exponencial). Los tres modelos constituyen, por lo tanto, meros puntos en un espectro continuo de convexidad monótona, generado por λ. Esta propiedad, en la que diferentes modelos conocidos se convierten en meros puntos en un espectro continuo, generado por los parámetros del modelo, se denomina propiedad de Convexidad Monótona Continua (CMC). Esta última caracteriza a todos los modelos RMM y permite que el ciclo básico "lineal-potencial-exponencial" (que subyace a la transformación inversa de Box-Cox) se repita hasta el infinito, lo que permite derivar modelos cada vez más convexos. Ejemplos de tales modelos son un modelo exponencial-potencial o un modelo exponencial-exponencial-potencial (véanse los modelos explícitos que se explican más adelante). Dado que la forma final del modelo está determinada por los valores de los parámetros RMM, esto implica que los datos utilizados para estimar dichos parámetros determinan la forma final del modelo RMM estimado (al igual que en la transformación inversa de Box-Cox). Por lo tanto, la propiedad CMC otorga a los modelos RMM una gran flexibilidad para adaptarse a los datos utilizados en la estimación de los parámetros. Las referencias que se presentan a continuación muestran resultados publicados de comparaciones entre modelos RMM y modelos existentes. Estas comparaciones demuestran la eficacia de la propiedad CMC.

Ignorando los errores RMM (ignorando los términos cz , dz y e en el modelo percentil), obtenemos los siguientes modelos RMM, presentados en orden creciente de convexidad monótona:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{linear: }}y=\eta &&(\alpha =1,\lambda =0);\\[5pt]&{\text{power: }}y=\eta ^{\alpha },&&(\alpha \neq 1,\lambda =0);\\[5pt]&{\text{exponential-linear: }}y=k\exp(\eta ),&&(\alpha \neq 1,\lambda =1);\\[5pt]&{\text{exponential-power: }}y=k\exp(\eta ^{\lambda }),&&(\alpha \neq 1,\lambda \neq 1;k{\text{ is a non-negative parameter}}.)\end{aligned}}}$

Añadiendo dos nuevos parámetros mediante la introducción de η (en el modelo percentil):${\displaystyle \exp \left[\left({\frac {\beta }{\kappa }}\right)(\eta ^{\kappa }-1)\right]}$, se itera un nuevo ciclo de “lineal-potencial-exponencial” para producir modelos con una convexidad monótona más fuerte (Shore, 2005a, ^{[ 2 ]} 2011, ^{[ 3 ]} 2012 ^{[ 4 ]} ):

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{exponential-power: }}y=k\exp(\eta ^{\lambda }),&&(\alpha \neq ,\lambda \neq 1,\beta =1,\kappa =0,\\&&&{\text{ restoring the former model}});\\[6pt]&{\text{exponential-exponential-linear: }}y=k_{1}\exp[k_{2}\exp(\eta )],&&(\alpha \neq 1,\lambda \neq 1,\beta =1,\kappa =1);\\[6pt]&{\text{exponential-exponential-power: }}y=k_{1}\exp[k_{2}\exp(\eta ^{\kappa })],&&(\alpha \neq 1,\lambda \neq 1,\beta =1,\kappa \neq 1).\end{aligned}}}$

Se reconoce que esta serie de modelos convexos monótonos, presentados en orden jerárquico en la «Escalera de funciones convexas monótonas» (Shore, 2011 ^{[ 3 ]} ), es ilimitada. Sin embargo, todos los modelos son meros puntos en un espectro continuo, generado por los parámetros RMM. Cabe destacar también que numerosos modelos de crecimiento, como la función de Gompertz , son casos particulares exactos del modelo RMM.

El k -ésimo momento no central de Y es (suponiendo L  =  0; Shore, 2005a, ^{[ 2 ]} 2011 ^{[ 3 ]} ):

${\displaystyle \operatorname {E} (Y^{k})=(M_{Y})^{k}\operatorname {E} \left\{\exp \left\{\left({\frac {k\alpha }{\lambda }}\right)[(\eta +cZ)^{\lambda }-1]+(kd)Z\right\}\right\}.}$

Expandiendo Y ^k , como se muestra en el lado derecho, en una serie de Taylor alrededor de cero, en términos de potencias de Z (la variable normal estándar), y luego tomando la esperanza en ambos lados, suponiendo que cZ  ≪ η de modo que η + cZ ≈ η , una expresión simple aproximada para el k -ésimo momento no central, basada en los primeros seis términos de la expansión, es:     

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)^{k}\cong (M_{Y})^{k}e^{\alpha k\left(\eta ^{\lambda }-1\right)/\lambda }\left\{1+{\frac {1}{2}}(kd)^{2}+{\frac {1}{8}}(kd)^{4}\right\}.}$

Se puede derivar una expresión análoga sin asumir que cZ  ≪ η . Esto daría como resultado una expresión más precisa (aunque larga y engorrosa). Una vez que se omite cZ en la expresión anterior, Y se convierte en una variable aleatoria log-normal (con parámetros que dependen de η ).  

Los modelos RMM pueden utilizarse para modelar la variación aleatoria (como plataforma general para el ajuste de distribuciones) o para modelar la variación sistemática (de forma análoga a los modelos lineales generalizados , GLM).

En el primer caso (sin variación sistemática, es decir, η  = constante), la función cuantil  RMM se ajusta a distribuciones conocidas. Si se desconoce la distribución subyacente, la función cuantil RMM se estima utilizando los datos de muestra disponibles. El modelado de la variación aleatoria con RMM se aborda y demuestra en Shore (2011 ^{[ 3 ]} y referencias allí citadas).

En el último caso (modelado de variación sistemática), los modelos RMM se estiman asumiendo que la variación en el predictor lineal (generada a través de la variación en las variables regresoras) contribuye a la variación general de la variable de respuesta modelada ( Y ). Este caso se aborda y demuestra en Shore (2005a, ^{[ 2 ]} 2012 ^{[ 4 ]} y referencias relevantes allí). La estimación se lleva a cabo en dos etapas. Primero, la mediana se estima minimizando la suma de las desviaciones absolutas (del modelo ajustado a partir de los puntos de datos de la muestra). En la segunda etapa, se estiman los dos parámetros restantes (no estimados en la primera etapa, a saber, { c , d }). En Shore (2012 ^{[ 4 ]} ) se presentan tres enfoques de estimación : máxima verosimilitud , ajuste de momentos y regresión de cuantiles no lineal .

A fecha de 2021, la literatura sobre RMM aborda tres áreas:

(1) Desarrollar los INT y posteriormente el enfoque RMM, con métodos de estimación afines;

(2) Explorar las propiedades de RMM y comparar la efectividad de RMM con otros enfoques de modelado actuales (para ajuste de distribución o para modelar variación sistemática);

(3) Aplicaciones.

Shore (2003a ^{[ 5 ]} ) desarrolló las Transformaciones Normalizadoras Inversas (INT) en los primeros años del siglo XXI y las ha aplicado a diversas disciplinas de ingeniería como el control estadístico de procesos (Shore, 2000a, ^{[ 1 ]} b, ^{[ 6 ]} 2001a, ^{[ 7 ]} b, ^{[ 8 ]} 2002a ^{[ 9 ]} ) y la ingeniería química (Shore et al. , 2002 ^{[ 10 ]} ). Posteriormente, a medida que la nueva Metodología de Modelado de Respuesta (RMM) había estado emergiendo y desarrollándose hasta convertirse en una plataforma completa para modelar relaciones convexas monótonas (presentada finalmente en un libro, Shore, 2005a ^{[ 2 ]} ), se exploraron las propiedades de la RMM (Shore, 2002b, ^{[ 11 ]} 2004a, ^{[ 12 ]} b, ^{[ 13 ]} 2008a, ^{[ 14 ]} 2011 ^{[ 3 ]} ), se desarrollaron procedimientos de estimación (Shore, 2005a, ^{[ 2 ]} b, ^{[ 15 ]} 2012 ^{[ 4 ]} ) y la nueva metodología de modelado se comparó con otros enfoques para modelar la variación aleatoria (Shore 2005c, ^{[ 16 ]} 2007, ^{[ 17 ]} 2010; ^{[ 18 ]} Shore y A'wad 2010 ^{[ 19 ] ]} ), y para modelar la variación sistemática (Shore, 2008b ^{[ 20 ]} ).

Paralelamente, el método RMM se ha aplicado a diversas disciplinas científicas y de ingeniería, y se ha comparado con los modelos y enfoques de modelado actuales que se practican en ellas. Por ejemplo, la ingeniería química (Shore, 2003b; ^{[ 21 ]} Benson-Karhi et al. , 2007; ^{[ 22 ]} Shacham et al. , 2008; ^{[ 23 ]} Shore y Benson-Karhi, 2010 ^{[ 24 ]} ), el control estadístico de procesos (Shore, 2014; ^{[ 25 ]} Shore et al. , 2014; ^{[ 26 ]} Danoch y Shore, 2016 ^{[ 27 ]} ), la ingeniería de confiabilidad (Shore, 2004c; ^{[ 28 ]} Ladany y Shore, 2007 ^{[ 29 ]} ), la previsión (Shore y Benson-Karhi, 2007 ^{[ 30 ]} ), la ecología (Shore, 2014 ^{[ 25 ]} ) y la profesión médica (Shore et al., 2014; ^{[ 26 ]} Benson-Karhi et al. , 2017 ^{[ 31 ]} ).