Position (geometry)

{\displaystyle {\vec {r}}} — Radius vector ${\vec {r}}$ represents the position of a point $\mathrm {P} (x,y,z)$ with respect to origin O. In Cartesian coordinate system ${\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}.$

In geometry, a position or position vector, also known as location vector or radius vector, is a Euclidean vector that represents a pointP in space. Its length represents the distance in relation to an arbitrary reference originO, and its direction represents the angular orientation with respect to given reference axes. Usually denoted x, r, or s, it corresponds to the straight line segment from O to P. In other words, it is the displacement or translation that maps the origin to P:^[1]

\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.

The term position vector is used mostly in the fields of differential geometry, mechanics and occasionally vector calculus. Frequently this is used in two-dimensional or three-dimensional space, but can be easily generalized to Euclidean spaces and affine spaces of any dimension.^[2]

Relative position

The relative position of a point Q with respect to point P is the Euclidean vector resulting from the subtraction of the two absolute position vectors (each with respect to the origin):

\Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},

where $\mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}$ . The direction between two points is their relative position normalized as a unit vector.

Definition and representation

Three dimensions

In three dimensions, any set of three-dimensional coordinates and their corresponding basis vectors can be used to define the location of a point in space—whichever is the simplest for the task at hand may be used.

Commonly, one uses the familiar Cartesian coordinate system, or sometimes spherical polar coordinates, or cylindrical coordinates:

{\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\grande)}+z(t)\mathbf {\sombrero {e}} _{z},\\\end{aligned}}

donde t es un parámetro , debido a su simetría rectangular o circular. Estas diferentes coordenadas y los vectores base correspondientes representan el mismo vector de posición. En su lugar, se podrían usar coordenadas curvilíneas más generales, como en la mecánica de medios continuos y la relatividad general (en este último caso se necesita una coordenada temporal adicional).

n dimensiones

El álgebra lineal permite la abstracción de un vector de posición n -dimensional. Un vector de posición puede expresarse como una combinación lineal de vectores base : ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.

El conjunto de todos los vectores de posición forma el espacio de posiciones (un espacio vectorial cuyos elementos son los vectores de posición), ya que las posiciones se pueden sumar ( suma vectorial ) y multiplicar por una longitud ( multiplicación escalar ) para obtener otro vector de posición en dicho espacio. La noción de "espacio" es intuitiva, puesto que cada x _i ( i = 1, 2, …, n ) puede tener cualquier valor, y la colección de valores define un punto en el espacio.

La dimensión del espacio de posición es n (también denotada dim( R ) = n ). Las coordenadas del vector r con respecto a los vectores base e _i son x _i . El vector de coordenadas forma el vector de coordenadas o n - tupla ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ).

Cada coordenada x _i puede parametrizarse con una serie de parámetros t . Un parámetro x _i ( t ) describiría una trayectoria curva 1D, dos parámetros x _i ( t ₁ , t ₂ ) describirían una superficie curva 2D, tres x _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) describirían un volumen curvo 3D del espacio, y así sucesivamente.

El espacio lineal generado por un conjunto base B = { e ₁ , e ₂ , …, e _n } es igual al espacio de posiciones R , denotado span( B ) = R .

Aplicaciones

Geometría diferencial

Los campos vectoriales de posición se utilizan para describir curvas espaciales continuas y diferenciables, en cuyo caso el parámetro independiente no tiene por qué ser el tiempo, sino que puede ser (por ejemplo) la longitud de arco de la curva.

Mecánica

En cualquier ecuación de movimiento , el vector de posición r ( t ) suele ser la cantidad más buscada porque esta función define el movimiento de una partícula (es decir, una masa puntual ) – su ubicación relativa a un sistema de coordenadas dado en un tiempo t .

Para definir el movimiento en términos de posición, cada coordenada puede parametrizarse mediante el tiempo; dado que cada valor sucesivo de tiempo corresponde a una secuencia de ubicaciones espaciales sucesivas dadas por las coordenadas, el límite continuo de muchas ubicaciones sucesivas es una trayectoria que traza la partícula.

En el caso de una dimensión, la posición tiene solo un componente, por lo que efectivamente degenera en una coordenada escalar. Podría ser, por ejemplo, un vector en la dirección x o en la dirección radial r . Las notaciones equivalentes incluyen:

\mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).

Derivados

Magnitudes cinemáticas de una partícula clásica: masa m , posición r , velocidad v , aceleración a

Para un vector de posición r que es función del tiempo t , se pueden calcular las derivadas temporales con respecto a t . Estas derivadas son de gran utilidad en el estudio de la cinemática , la teoría de control , la ingeniería y otras ciencias.

Velocidad: $\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},$; donde d r es un desplazamiento (vector) infinitesimalmente pequeño .
Aceleración: $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.$
Idiota: $\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.$

Estos nombres para la primera, segunda y tercera derivada de la posición se utilizan comúnmente en cinemática básica. ^{[ 5 ]} Por extensión, las derivadas de orden superior se pueden calcular de manera similar. El estudio de estas derivadas de orden superior puede mejorar las aproximaciones de la función de desplazamiento original. Dichos términos de orden superior son necesarios para representar con precisión la función de desplazamiento como la suma de una secuencia infinita , lo que permite diversas técnicas analíticas en ingeniería y física.

Véase también

Notas

↑ El término desplazamiento se utiliza principalmente en mecánica, mientras que la traslación se utiliza en geometría.
↑ Keller, FJ, Gettys, WE et al. (1993), págs. 28–29.
↑ Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
↑ Stewart, James (2001). "§2.8. La derivada como función". Cálculo (2.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.

Referencias

Keller, FJ, Gettys, WE et al. (1993). "Física: Clásica y moderna" 2ª ed. McGraw Hill Publishing.

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con la posición (geometría) en Wikimedia Commons

[1] El término desplazamiento se utiliza principalmente en mecánica, mientras que la traslación se utiliza en geometría.

[phys_keller-2] Keller, FJ, Gettys, WE et al. (1993), págs. 28–29.

[3] Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.

[4] Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Álgebra lineal . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.

[stewart-5] Stewart, James (2001). "§2.8. La derivada como función". Cálculo (2.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-37718-1.

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