Field norm

One of the basic examples of norms comes from quadratic field extensions ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ where ${\displaystyle a}$ is a square-free integer.

Then, the multiplication map by ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ on an element ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$ is

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

The element ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$ can be represented by the vector

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

since there is a direct sum decomposition ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$ as a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-vector space.

The matrix of ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$ is then

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

and the norm is ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$, puesto que es el determinante de esta matriz.

Otro tipo de ejemplos sencillos proviene de las extensiones de campo de la forma${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$donde la factorización prima de${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$no contiene${\displaystyle p}$-potencias, para${\displaystyle p}$un número primo impar fijo.

El mapa de multiplicación por${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$de un elemento es

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

dando la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

El determinante da la norma

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

La norma de campo de los números complejos a los números reales envía

x + iy

a

x² + y² ,^​​

porque el grupo de Galois de${\displaystyle \mathbb {C} }$encima${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene dos elementos,

• el elemento de identidad y
• conjugación compleja,

y tomando el producto se obtiene ( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ² .

Sea L = GF( q ⁿ ) una extensión finita de un campo finito K = GF( q ).

Dado que L / K es una extensión de Galois, si α está en L , entonces la norma de α es el producto de todos los conjugados de Galois de α , es decir ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

En este contexto tenemos las propiedades adicionales, ^{[ 4 ]}

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

La norma N _{L / K}  : L * → K * es un homomorfismo de grupos del grupo multiplicativo de L al grupo multiplicativo de K , es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

Además, si${\displaystyle a\in K}$:

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L,}$y

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

Además, la norma se comporta bien en torres de campos :

Si M es una extensión finita de L , entonces la norma de M a K es simplemente la composición de la norma de M a L con la norma de L a K , es decir,

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

La norma de un elemento en una extensión de cuerpo arbitraria se puede reducir a un cálculo más sencillo si ya se conoce el grado de la extensión de cuerpo. Esto es

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^{[ 6 ]}

Por ejemplo, para${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$en la extensión de campo${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$, la norma de${\displaystyle \alpha }$es

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

ya que el grado de extensión del campo${\displaystyle L/K(\alpha )}$es${\displaystyle 2}$.

Para${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$el anillo de enteros de un cuerpo de números algebraicos${\displaystyle K}$, un elemento${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$es una unidad si y solo si${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$.

Por ejemplo

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

dónde

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

Por lo tanto, cualquier campo numérico${\displaystyle K}$cuyo anillo de números enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$contiene${\displaystyle \zeta _{3}}$lo tiene como una unidad.