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Politopo 4 regular

El teseracto es uno de los 6 4-politopos regulares convexos En matemáticas , un 4-politopo regular o policorono regular es un politopo regular de cuatro dimensiones . Son los an...

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El teseracto es uno de los 6 4-politopos regulares convexos

En matemáticas , un 4-politopo regular o policorono regular es un politopo regular de cuatro dimensiones . Son los análogos de cuatro dimensiones de los poliedros regulares en tres dimensiones y los polígonos regulares en dos dimensiones.

Hay seis politopos cuatripartitos convexos y diez politopos regulares en forma de estrella , lo que da un total de dieciséis.

Historia

Los 4-politopos regulares convexos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. [1] Descubrió que existen exactamente seis de esas figuras.

Schläfli también encontró cuatro de los 4-politopos estelares regulares: el gran politopo de 120 celdas , el gran politopo estelado de 120 celdas , el gran politopo estelado de 600 celdas y el gran politopo estelado de 120 celdas . Se saltó los seis restantes porque no permitiría formas que no cumplieran con la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para toros de cero agujeros: F  −  E  +  V  = 2). Eso excluye celdas y figuras de vértice como el gran dodecaedro {5, ⁠5/2⁠ } y pequeño dodecaedro estrellado { ⁠5/2, 5}.

Edmund Hess (1843-1903) publicó la lista completa en su libro alemán de 1883 Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .

Construcción

La existencia de un 4-politopo regular está restringida por la existencia de los poliedros regulares que forman sus celdas y una restricción de ángulo diedro. { pag , q , a } {\displaystyle \{p,q,r\}} { pag , q } , { q , a } {\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}

pecado ⁡ π pag pecado ⁡ π a > porque ⁡ π q {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}}

para garantizar que las células se junten para formar una superficie cerrada de 3 superficies.

Los seis politopos convexos y diez estelares descritos son las únicas soluciones a estas restricciones.

Hay cuatro símbolos de Schläfli no convexos {p,q,r} que tienen celdas válidas {p,q} y figuras de vértice {q,r}, y pasan la prueba diedral, pero no producen figuras finitas: {3, ⁠5/2⁠ ,3}, {4,3, ⁠5/2⁠ }, { ⁠5/2⁠ ,3,4}, { ⁠5/2⁠ ,3, ⁠5/2⁠ }.

4-politopos convexos regulares

Los 4-politopos convexos regulares son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos en tres dimensiones y los polígonos regulares convexos en dos dimensiones.

Cada 4-politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales que son todas sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Estas están encajadas entre sí a lo largo de sus respectivas caras (cara con cara) de manera regular, formando la superficie del 4-politopo, que es un espacio tridimensional cerrado y curvo (de manera análoga a la forma en que la superficie de la Tierra es un espacio bidimensional cerrado y curvo).

Propiedades

Al igual que sus análogos tridimensionales, los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar naturalmente por tamaño como una medida del contenido tetradimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido dentro del mismo radio. [2] El 4-símplex (de 5 celdas) tiene el contenido más pequeño, y el de 120 celdas tiene el más grande.

La siguiente tabla enumera algunas propiedades de los seis 4-politopos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos 4-politopos son todos grupos de Coxeter y se dan en la notación descrita en ese artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del grupo.

John Conway defendió los nombres de simplex, ortoplex, teseracto, octaplex o polioctaedro (pO), tetraplex o politetraedro (pT) y dodecaplex o polidodecaedro (pD). [3]

Norman Johnson defendió los nombres n-célula, o pentachoron, hexadecachoron, teseracto u octachoron, icositetrachoron, hexacosichoron y hecatonicosachoron (o dodecacontachoron), acuñando el término polichoron como una analogía 4D del poliedro 3D y polígono 2D, expresado a partir de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). [4] [5]

La característica de Euler para todos los 4-politopos es cero, tenemos el análogo 4-dimensional de la fórmula poliédrica de Euler:

N 0 − N 1 + N 2 − N 3 = 0 {\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}

donde N k denota el número de k -caras en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).

La topología de cualquier 4-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [6]

Como configuraciones

Un politopo cuatripartito regular puede describirse completamente como una matriz de configuración que contiene los recuentos de sus elementos componentes. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales (de la parte superior izquierda a la inferior derecha) indican cuántos elementos de cada uno se encuentran en el politopo cuatripartito completo. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en él. Por ejemplo, hay 2 vértices en cada arista (cada arista tiene 2 vértices) y 2 celdas se encuentran en cada cara (cada cara pertenece a 2 celdas), en cualquier politopo cuatripartito regular. La configuración para el politopo dual puede obtenerse rotando la matriz 180 grados. [7] [8]

Visualización

La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos 4-politopos. Se pueden encontrar otras visualizaciones en los enlaces externos que aparecen a continuación. Los gráficos del diagrama de Coxeter-Dynkin también se muestran debajo del símbolo de Schläfli .

Estrella regular (Schläfli-Hess) 4 politopos

Esto muestra las relaciones entre los politopos estelares de cuatro dimensiones. Las 2 formas convexas y las 10 formas estelares se pueden ver en 3D como los vértices de un cuboctaedro . [9]
Un subconjunto de relaciones entre 8 formas del polidodecaedro de 120 celdas (pD). Las tres operaciones {a, g, s} son conmutables, lo que define un marco cúbico. Se observan 7 densidades en posición vertical, y 2 formas duales tienen la misma densidad.

Los 4-politopos de Schläfli–Hess son el conjunto completo de 10 policoros estelares autointersecantes regulares ( politopos cuatridimensionales ). [10] Se denominan así en honor a sus descubridores: Ludwig Schläfli y Edmund Hess . Cada uno está representado por un símbolo de Schläfli { p , q , r } en el que uno de los números es ⁠5/2⁠ . Son, pues, análogos a los poliedros regulares no convexos de Kepler-Poinsot , que a su vez son análogos al pentagrama.

Nombres

Los nombres que se dan aquí fueron dados por John Conway , ampliando los nombres de Cayley para los poliedros de Kepler-Poinsot : junto con estrellado y grande , agrega un modificador grande . Conway ofreció estas definiciones operativas:

  1. Estelación : reemplaza los bordes por bordes más largos en las mismas líneas. (Ejemplo: un pentágono se estela para formar un pentagrama )
  2. Ampliación : reemplaza las caras por otras más grandes en el mismo plano. (Ejemplo: un icosaedro se amplía y se convierte en un gran icosaedro )
  3. Ampliación : reemplaza las celdas por celdas más grandes en los mismos 3 espacios. (Ejemplo: una celda de 600 se amplía y se convierte en una celda grande de 600 celdas )

John Conway nombra las 10 formas de 3 politopos de 4 celdas regulares: pT = politetraedro {3,3,5} (un tetraédrico de 600 celdas ), pI = poliicosaedro {3,5, ⁠5/2⁠ } (un icosaédrico de 120 celdas ), y pD=polidodecaedro {5,3,3} (un dodecaédrico de 120 celdas ), con modificadores de prefijo: g , a y s para grande, (ag)grand y estrellado. La estelación final, el gran gran polidodecaedro estrellado, los contiene a todos como gaspD .

Simetría

Los diez policoros tienen simetría hexacosicórica [3,3,5] ( H 4 ) . Se generan a partir de seis grupos de simetría de orden racional de tetraedros de Goursat relacionados : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] y [3,3,5/2].

Cada grupo tiene 2 policoras estelares regulares, excepto dos grupos que son autoduales y tienen solo una. Por lo tanto, hay 4 pares duales y 2 formas autoduales entre las diez policoras estelares regulares.

Propiedades

Nota:

Las celdas (poliedros), sus caras (polígonos), las figuras de aristas poligonales y las figuras de vértices poliédricos se identifican mediante sus símbolos Schläfli .

Véase también

Notas

Referencias

Citas

  1. ^ Coxeter 1973, pág. 141, §7-x. Observaciones históricas.
  2. ^ Coxeter 1973, págs. 292–293, Tabla I(ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones.
  3. ^ Conway, Burgiel y Goodman-Strauss 2008, cap. 26. Más alto aún
  4. ^ "Polítopos convexos y abstractos", Programa y resúmenes, MIT, 2005
  5. ^ Johnson, Norman W. (2018). «§ 11.5 Grupos esféricos de Coxeter». Geometrías y transformaciones . Cambridge University Press. pp. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5.
  6. ^ Richeson, David S. (2012). "23. Henri Poincaré y el ascenso de la topología". La joya de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topología. Princeton University Press. pp. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2.
  7. ^ Coxeter 1973, § 1.8 Configuraciones
  8. ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p.117
  9. ^ Conway, Burgiel y Goodman-Strauss 2008, pág. 406, figura 26.2
  10. ^ Coxeter, Politopos estelares y la función Schläfli f{α,β,γ) p. 122 2. Los politopos de Schläfli-Hess

Bibliografía

  • Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover.
  • Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría (2.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-50458-0.
  • DMY Sommerville (2020) [1930]. "X. Los politopos regulares". Introducción a la geometría de n dimensiones . Courier Dover. pp. 159–192. ISBN 978-0-486-84248-6.
  • Conway, John H. ; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "26. Politopos estelares regulares". Las simetrías de las cosas . págs. 404–8. ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Hess, Edmundo (1883). "Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder".
  • Hess, Edmundo (1885). "Uber die regular Polytope höherer Art". Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg : 31–57.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Documento 10) Coxeter, HSM (1989). "Polítopos estelares y la función Schlafli f (α, β, γ)". Elementos de Matemáticas . 44 (2): 25–36.
  • Coxeter, HSM (1991). Politopos complejos regulares (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39490-1.
  • McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). "Polítopos regulares abstractos" (PDF) .
  • Weisstein, Eric W. "Policorón regular". MundoMatemático .
  • Jonathan Bowers, 16 4-politopos regulares
  • Desplegables de politopos 4D regulares
  • Catálogo de imágenes de politopos Una colección de proyecciones estereográficas de 4-politopos.
  • Catálogo de politopos uniformes
  • Dimensiones Película de 2 horas sobre la cuarta dimensión (contiene proyecciones estereográficas de todos los 4-politopos regulares)
  • Politopo regular
  • La estrella regular Polychora
  • Hipersolidos
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