Modelo paramétrico

En estadística , un modelo paramétrico , una familia paramétrica o un modelo de dimensión finita es una clase particular de modelos estadísticos . Específicamente, un modelo paramétrico es una familia de distribuciones de probabilidad que tiene un número finito de parámetros .

Un modelo estadístico es una colección de distribuciones de probabilidad en algún espacio muestral . Suponemos que la colección,${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, está indexado por algún conjunto Θ . El conjunto Θ se llama conjunto de parámetros o, más comúnmente, espacio de parámetros . Para cada θ  ∈ Θ , sea F _θ el miembro correspondiente de la colección; por lo tanto, F _θ es una función de distribución acumulativa . Entonces, un modelo estadístico se puede escribir como

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

El modelo es un modelo paramétrico si Θ  ⊆ ℝ ^k para algún entero positivo k .

Cuando el modelo consta de distribuciones absolutamente continuas, a menudo se especifica en términos de las funciones de densidad de probabilidad correspondientes :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

• La familia de distribuciones de Poisson está parametrizada por un único número λ > 0 :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},}$

donde p _λ es la función de masa de probabilidad . Esta familia es una familia exponencial .

• La familia normal se parametriza mediante θ = ( μ , σ ) , donde μ ∈ ℝ es un parámetro de localización y σ > 0 es un parámetro de escala:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

Esta familia parametrizada es a la vez una familia exponencial y una familia de localización-escala .

• El modelo de traducción de Weibull tiene un parámetro tridimensional θ = ( λ , β , μ ) :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}},}$

dónde${\displaystyle \beta }$es el parámetro de forma ,${\displaystyle \lambda }$es el parámetro de escala y${\displaystyle \mu }$es el parámetro de ubicación .

• El modelo binomial se parametriza mediante θ = ( n , p ) , donde n es un entero no negativo y p es una probabilidad (es decir, p ≥ 0 y p ≤ 1 ):

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(nk)!}}\,p^{k}(1-p)^{nk},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Grande \}}.}$

Este ejemplo ilustra la definición de un modelo con algunos parámetros discretos.

Un modelo paramétrico se denomina identificable si la aplicación θ ↦ P _θ es invertible, es decir, no existen dos valores de parámetros diferentes θ ₁ y θ ₂ tales que P _{θ 1}  = P _{θ 2} .

Los modelos paramétricos se contraponen a los modelos semiparamétricos , semino paramétricos y no paramétricos , los cuales constan de un conjunto infinito de "parámetros" para su descripción. La distinción entre estas cuatro clases es la siguiente:

• En un modelo " paramétrico ", todos los parámetros se encuentran en espacios de parámetros de dimensión finita;
• Un modelo es " no paramétrico " si todos los parámetros se encuentran en espacios de parámetros de dimensión infinita;
• Un modelo " semiparamétrico " contiene parámetros de interés de dimensión finita y parámetros de perturbación de dimensión infinita ;
• Un modelo " seminoparamétrico " tiene parámetros desconocidos de interés tanto de dimensión finita como de dimensión infinita.

Algunos estadísticos creen que los conceptos "paramétrico", "no paramétrico" y "semiparamétrico" son ambiguos. ^{[ 1 ]} También se puede observar que el conjunto de todas las medidas de probabilidad tiene cardinalidad continua , y por lo tanto es posible parametrizar cualquier modelo con un solo número en el intervalo (0,1). ^{[ 2 ]} Esta dificultad se puede evitar considerando solo modelos paramétricos "suaves".

• Familia paramétrica
• estadística paramétrica
• Modelo estadístico
• Especificación del modelo estadístico