Espacio reflexivo

Un espacio Banach${\displaystyle X}$es reflexivo si es linealmente isométrico a su bidual bajo esta incrustación canónica${\displaystyle J.}$El espacio de James es un ejemplo de un espacio no reflexivo que es linealmente isométrico a su bidual . Además, la imagen del espacio de James bajo la incrustación canónica${\displaystyle J}$tiene codimensión uno en su bidual. ^{[ 2 ]} Un espacio de Banach${\displaystyle X}$se denomina cuasi-reflexivo (de orden)${\displaystyle d}$) si el cociente${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$tiene dimensión finita${\displaystyle d.}$

1. Todo espacio normado de dimensión finita es reflexivo, simplemente porque en este caso, el espacio, su dual y su bidual tienen la misma dimensión lineal, de ahí la inyección lineal.${\displaystyle J}$por definición es biyectiva, por el teorema de rango-nulidad .
2. El espacio Banach${\displaystyle c_{0}}$La relación de secuencias escalares que tienden a 0 en el infinito, equipada con la norma del supremo, no es reflexiva. De las propiedades generales que se detallan a continuación se deduce que${\displaystyle \ell ^{1}}$y${\displaystyle \ell ^{\infty }}$no son reflexivos, porque${\displaystyle \ell ^{1}}$es isomorfo al dual de${\displaystyle c_{0}}$y${\displaystyle \ell ^{\infty }}$es isomorfo al dual de${\displaystyle \ell ^{1}.}$
3. Todos los espacios de Hilbert son reflexivos, al igual que los espacios Lp.${\displaystyle L^{p}}$para${\displaystyle 1<p<\infty .}$De forma más general: todos los espacios de Banach uniformemente convexos son reflexivos según el teorema de Milman-Pettis .${\displaystyle L^{1}(\mu )}$y${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$Los espacios no son reflexivos (a menos que sean de dimensión finita, lo que ocurre, por ejemplo, cuando${\displaystyle \mu }$es una medida en un conjunto finito). Del mismo modo, el espacio de Banach${\displaystyle C([0,1])}$de funciones continuas en${\displaystyle [0,1]}$no es reflexivo.
4. Los espacios${\displaystyle S_{p}(H)}$de operadores de la clase Schatten en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$son uniformemente convexas, por lo tanto reflexivas, cuando${\displaystyle 1<p<\infty .}$ Cuando la dimensión de${\displaystyle H}$es infinito, entonces${\displaystyle S_{1}(H)}$(la clase traza ) no es reflexiva, porque contiene un subespacio isomorfo a${\displaystyle \ell ^{1},}$y${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$(los operadores lineales acotados en${\displaystyle H}$) no es reflexivo, porque contiene un subespacio isomorfo a${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ En ambos casos, el subespacio puede elegirse de modo que sea la diagonal de los operadores con respecto a una base ortonormal dada de${\displaystyle H.}$

Dado que todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach reflexivo , solo los espacios de dimensión infinita pueden ser no reflexivos.

Si un espacio de Banach${\displaystyle Y}$es isomorfo a un espacio de Banach reflexivo${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle Y}$es reflexivo. ^{[ 3 ]}

Todo subespacio lineal cerrado de un espacio reflexivo es reflexivo. El dual continuo de un espacio reflexivo es reflexivo. Todo cociente de un espacio reflexivo por un subespacio cerrado es reflexivo. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle X}$Sea un espacio de Banach. Los siguientes son equivalentes.

1. El espacio${\displaystyle X}$es reflexivo.
2. El dual continuo de${\displaystyle X}$es reflexivo. ^{[ 5 ]}
3. La bola de unidad cerrada de${\displaystyle X}$es compacto en la topología débil . (Esto se conoce como el teorema de Kakutani). ^{[ 6 ]}
4. Cada secuencia acotada en${\displaystyle X}$tiene una subsecuencia débilmente convergente. ^{[ 7 ]}
5. El enunciado del lema de Riesz se cumple cuando el número real ^{[ nota 1 ]} es exactamente${\displaystyle 1.}$^{[ 8 ]} Explícitamente, para cada subespacio vectorial propio cerrado${\displaystyle Y}$de${\displaystyle X,}$existe algún vector${\displaystyle u\in X}$de norma unitaria${\displaystyle \|u\|=1}$de tal manera que${\displaystyle \|u-y\|\geq 1}$a pesar de${\displaystyle y\in Y.}$
   • Usando${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|}$para denotar la distancia entre el vector${\displaystyle u}$y el conjunto${\displaystyle Y,}$Esto se puede expresar en un lenguaje más sencillo como:${\displaystyle X}$es reflexivo si y solo si para cada subespacio vectorial propio cerrado${\displaystyle Y,}$hay algún vector${\displaystyle u}$en la esfera unitaria de${\displaystyle X}$que siempre es al menos una distancia de${\displaystyle 1=d(u,Y)}$lejos del subespacio.
   • Por ejemplo, si el espacio de Banach reflexivo${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$está dotado de la norma euclidiana habitual y${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$es el${\displaystyle x-y}$luego el avión los puntos${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$satisfacer la conclusión${\displaystyle d(u,Y)=1.}$Si${\displaystyle Y}$es en cambio el${\displaystyle z}$-eje entonces cada punto perteneciente al círculo unitario en el${\displaystyle x-y}$El plano satisface la conclusión.
6. Cada funcional lineal continuo en${\displaystyle X}$alcanza su supremo en la bola de unidad cerrada en${\displaystyle X.}$^{[ 9 ]} (Teorema de James)

Dado que los subconjuntos convexos cerrados en norma en un espacio de Banach son débilmente cerrados, ^{[ 10 ]} se deduce de la tercera propiedad que los subconjuntos convexos cerrados y acotados de un espacio reflexivo son${\displaystyle X}$son débilmente compactos. Por lo tanto, para cada secuencia decreciente de subconjuntos convexos cerrados, acotados y no vacíos de${\displaystyle X,}$La intersección no es vacía. En consecuencia, toda función convexa continua${\displaystyle f}$en un subconjunto convexo cerrado${\displaystyle C}$de${\displaystyle X,}$de tal manera que el conjunto $${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$ no es vacío y está acotado para algún número real.${\displaystyle t,}$alcanza su valor mínimo en${\displaystyle C.}$

La propiedad geométrica prometida de los espacios de Banach reflexivos es la siguiente: si${\displaystyle C}$es un subconjunto convexo cerrado no vacío del espacio reflexivo${\displaystyle X,}$entonces por cada${\displaystyle x\in X}$existe un${\displaystyle c\in C}$de tal manera que${\displaystyle \|x-c\|}$minimiza la distancia entre${\displaystyle x}$y puntos de${\displaystyle C.}$ Esto se deduce del resultado anterior para funciones convexas, aplicado a${\displaystyle f(y)+\|y-x\|.}$ Tenga en cuenta que, si bien la distancia mínima entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle C}$se define de forma única por${\displaystyle x,}$el punto${\displaystyle c}$No lo es. El punto más cercano${\displaystyle c}$es único cuando${\displaystyle X}$es uniformemente convexa.

Un espacio de Banach reflexivo es separable si y solo si su dual continuo es separable. Esto se deduce del hecho de que para cada espacio normado${\displaystyle Y,}$separabilidad del dual continuo${\displaystyle Y^{\prime }}$implica separabilidad de${\displaystyle Y.}$^{[ 11 ]}

De manera informal, un espacio Banach sumamente reflexivo.${\displaystyle X}$tiene la siguiente propiedad: dado un espacio de Banach arbitrario${\displaystyle Y,}$si todos los subespacios de dimensión finita de${\displaystyle Y}$tengo una copia muy similar guardada en algún lugar${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle Y}$debe ser reflexivo. Según esta definición, el espacio${\displaystyle X}$en sí mismo debe ser reflexivo. Como ejemplo elemental, cada espacio de Banach${\displaystyle Y}$cuyos subespacios bidimensionales son isométricos a subespacios de${\displaystyle X=\ell ^{2}}$satisface la ley del paralelogramo , por lo tanto ^{[ 12 ]}${\displaystyle Y}$es un espacio de Hilbert, por lo tanto${\displaystyle Y}$es reflexivo. Entonces${\displaystyle \ell ^{2}}$es súper reflejo.

La definición formal no utiliza isometrías, sino casi isometrías. Un espacio de Banach${\displaystyle Y}$es finitamente representable ^{[ 13 ]} en un espacio de Banach${\displaystyle X}$si para cada subespacio de dimensión finita${\displaystyle Y_{0}}$de${\displaystyle Y}$y cada${\displaystyle \epsilon >0,}$hay un subespacio${\displaystyle X_{0}}$de${\displaystyle X}$de tal manera que la distancia multiplicativa de Banach - Mazur entre${\displaystyle X_{0}}$y${\displaystyle Y_{0}}$Satisface $${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

Un espacio de Banach finitamente representable en${\displaystyle \ell ^{2}}$es un espacio de Hilbert. Todo espacio de Banach es finitamente representable en${\displaystyle c_{0}.}$ El espacio Lp${\displaystyle L^{p}([0,1])}$es representable de forma finita en${\displaystyle \ell ^{p}.}$

Un espacio Banach${\displaystyle X}$es superreflexivo si todos los espacios de Banach${\displaystyle Y}$finitamente representable en${\displaystyle X}$son reflexivos, o, en otras palabras, si no hay espacio no reflexivo${\displaystyle Y}$es representable de forma finita en${\displaystyle X.}$ La noción de ultraproducto de una familia de espacios de Banach ^{[ 14 ]} permite una definición concisa: el espacio de Banach${\displaystyle X}$es superreflejo cuando sus ultrapoderes son reflejos.

James demostró que un espacio es superreflexivo si y solo si su dual es superreflexivo. ^{[ 13 ]}

Una de las caracterizaciones de James sobre la superreflexividad utiliza el crecimiento de árboles separados. ^{[ 15 ]} La descripción de un árbol binario vectorial comienza con un árbol binario enraizado etiquetado por vectores: un árbol de altura${\displaystyle n}$en un espacio Banach${\displaystyle X}$es una familia de${\displaystyle 2^{n+1}-1}$vectores de${\displaystyle X,}$que se puede organizar en niveles sucesivos, comenzando con el nivel  0 que consiste en un único vector${\displaystyle x_{\varnothing },}$la raíz del árbol, seguida, para${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$por una familia de${\displaystyle s^{k}}$2 vectores formando nivel${\displaystyle k:}$$${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$ que son hijos de vértices de nivel${\displaystyle k-1.}$ Además de la estructura de árbol , se requiere que cada vector que sea un vértice interno del árbol sea el punto medio entre sus dos hijos: $${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

Dado un número real positivo${\displaystyle t,}$Se dice que el árbol es${\displaystyle t}$-separados si para cada vértice interno, los dos hijos son${\displaystyle t}$-separados en la norma espacial dada: $${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

Teorema. ^{[ 15 ]} El espacio de Banach${\displaystyle X}$es superreflexivo si y solo si para cada${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$hay un número${\displaystyle n(t)}$de tal manera que cada${\displaystyle t}$-árbol separado contenido en la bola unitaria de${\displaystyle X}$tiene una altura menor que${\displaystyle n(t).}$

Los espacios uniformemente convexos son superreflexivos. ^{[ 15 ]} Sea${\displaystyle X}$ser uniformemente convexa, con módulo de convexidad${\displaystyle \delta _{X}}$y dejar${\displaystyle t}$ser un número real en${\displaystyle (0,2].}$ Por las propiedades del módulo de convexidad, un${\displaystyle t}$-árbol separado de altura${\displaystyle n,}$contenido en la bola unitaria, debe tener todos los puntos de nivel${\displaystyle n-1}$contenido en la bola de radio${\displaystyle 1-\delta _{X}(t)<1.}$Por inducción, se deduce que todos los puntos de nivel${\displaystyle n-k}$están contenidos en la bola de radio $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

Si la altura${\displaystyle n}$era tan grande que $${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,}$$ entonces los dos puntos${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$del primer nivel no se pudo${\displaystyle t}$-separado, contrariamente a la suposición. Esto proporciona el límite requerido.${\displaystyle n(t),}$función de${\displaystyle \delta _{X}(t)}$solo.

Utilizando la caracterización de árboles, Enflo demostró ^{[ 16 ]} que los espacios de Banach superreflexivos admiten una norma uniformemente convexa equivalente. Los árboles en un espacio de Banach son un caso especial de martingalas con valores vectoriales . Añadiendo técnicas de la teoría de martingalas escalares, Pisier mejoró el resultado de Enflo al demostrar ^{[ 17 ]} que un espacio superreflexivo${\displaystyle X}$admite una norma uniformemente convexa equivalente para la cual el módulo de convexidad satisface, para alguna constante${\displaystyle c>0}$y algunos números reales${\displaystyle q\geq 2,}$$${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].}$$

Si${\displaystyle X}$Si Hausdorff es un espacio localmente convexo, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es reflexivo;
2. ${\displaystyle X}$es semirreflexiva e infrabarrilada ; ^{[ 23 ]}
3. ${\displaystyle X}$es semirreflexiva y acodada ;
4. ${\displaystyle X}$está encajonado y la topología débil en${\displaystyle X}$tenía la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil)${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$cada subconjunto cerrado y acotado de${\displaystyle X_{\sigma }}$es débilmente compacto). ^{[ 1 ]}
5. ${\displaystyle X}$es semirreflexivo y cuasibarrilado . ^{[ 25 ]}

Si${\displaystyle X}$Si se trata de un espacio normado, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es reflexivo;
2. La bola de la unidad cerrada es compacta cuando${\displaystyle X}$tiene la topología débil${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$^{[ 26 ]}
3. ${\displaystyle X}$es un espacio Banach y${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$es reflexivo. ^{[ 27 ]}
4. Cada secuencia${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$con${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$a pesar de${\displaystyle n}$de subconjuntos convexos cerrados, acotados y no vacíos de${\displaystyle X}$tiene intersección no vacía. ^{[ 28 ]}

espacios normalizados

Un espacio normado que es semirreflexivo es un espacio de Banach reflexivo. ^{[ 30 ]} Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach reflexivo es reflexivo. ^{[ 23 ]}

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio Banach y${\displaystyle M}$un subespacio vectorial cerrado de${\displaystyle X.}$Si dos de${\displaystyle X,M,}$y${\displaystyle X/M}$Si son reflexivas, entonces todas lo son. ^{[ 23 ]} Por eso la reflexividad se denomina propiedad de tres espacios . ^{[ 23 ]}

Espacios vectoriales topológicos

Si un espacio de Hausdorff localmente convexo con forma de barril es semirreflexivo, entonces es reflexivo. ^{[ 1 ]}

El dual fuerte de un espacio reflexivo es reflexivo. ^{[ 31 ]} Todo espacio de Montel es reflexivo. ^{[ 26 ]} Y el dual fuerte de un espacio de Montel es un espacio de Montel (y por lo tanto es reflexivo). ^{[ 26 ]}

Un espacio reflexivo de Hausdorff localmente convexo es barril . Si${\displaystyle X}$entonces es un espacio normalizado${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$es una isometría sobre un subespacio cerrado de${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$^{[ 30 ]} Esta isometría puede expresarse mediante: $${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

Supongamos que${\displaystyle X}$es un espacio normalizado y${\displaystyle X^{\prime \prime }}$es su bidual equipado con la norma bidual. Entonces la bola unitaria de${\displaystyle X,}$${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$ es denso en la unidad de bola ${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$ de${\displaystyle X^{\prime \prime }}$para la topología débil${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$^{[ 30 ]}

1. Todo espacio vectorial topológico de Hausdorff de dimensión finita es reflexivo, porque${\displaystyle J}$es biyectiva por álgebra lineal, y porque existe una topología de espacio vectorial de Hausdorff única en un espacio vectorial de dimensión finita.
2. Un espacio normalizado${\displaystyle X}$es reflexivo como espacio normado si y solo si es reflexivo como espacio localmente convexo. Esto se deduce del hecho de que para un espacio normado${\displaystyle X}$su espacio de doble norma${\displaystyle X^{\prime }}$coincide como espacio vectorial topológico con el espacio dual fuerte${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$Como corolario, el mapa de evaluación${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$coincide con el mapa de evaluación${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$y las siguientes condiciones se vuelven equivalentes:
   1. ${\displaystyle X}$es un espacio normado reflexivo (es decir,${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$es un isomorfismo de espacios normados),
   2. ${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo reflexivo (es decir,${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos ^{[ 18 ]} ),
   3. ${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo semirreflexivo (es decir,${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$es sobreyectiva).
3. Un ejemplo (algo artificial) de un espacio semirreflexivo que no es reflexivo se obtiene de la siguiente manera: sea${\displaystyle Y}$Sea un espacio de Banach reflexivo de dimensión infinita, y sea${\displaystyle X}$sea ​​el espacio vectorial topológico${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$es decir, el espacio vectorial${\displaystyle Y}$equipado con la topología débil. Entonces el dual continuo de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y^{\prime }}$son el mismo conjunto de funcionales y subconjuntos acotados de${\displaystyle X}$(es decir, subconjuntos débilmente acotados de${\displaystyle Y}$) están acotados en norma, por lo tanto el espacio de Banach${\displaystyle Y^{\prime }}$es el fuerte dual de${\displaystyle X.}$Desde${\displaystyle Y}$es reflexivo, el dual continuo de${\displaystyle X^{\prime }=Y^{\prime }}$es igual a la imagen${\displaystyle J(X)}$de${\displaystyle X}$bajo la incrustación canónica${\displaystyle J,}$ pero la topología en${\displaystyle X}$(la topología débil de${\displaystyle Y}$) no es la topología fuerte${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$que es igual a la topología de norma de${\displaystyle Y.}$
4. Los espacios de Montel son espacios vectoriales topológicos localmente convexos reflexivos. En particular, los siguientes espacios funcionales, frecuentemente utilizados en el análisis funcional, son espacios localmente convexos reflexivos: ^{[ 32 ]}
   • el espacio${\displaystyle C^{\infty }(M)}$de funciones suaves en una variedad suave (real) arbitraria${\displaystyle M,}$y su fuerte doble espacio${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$de distribuciones con soporte compacto en${\displaystyle M,}$
   • el espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$de funciones suaves con soporte compacto en una variedad suave (real) arbitraria${\displaystyle M,}$y su fuerte doble espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$de distribuciones en${\displaystyle M,}$
   • el espacio${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$de funciones holomorfas en una variedad compleja arbitraria${\displaystyle M,}$y su fuerte doble espacio${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$de funcionales analíticos en${\displaystyle M,}$
   • el espacio Schwartz${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$y su fuerte doble espacio${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$de distribuciones templadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• Existe un TVS localmente convexo no reflexivo cuyo dual fuerte es reflexivo. ^{[ 33 ]}

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