ruido browniano

En ciencia , el ruido browniano , también conocido como ruido rojo , es el tipo de ruido de señal producido por el movimiento browniano , de ahí su nombre alternativo de ruido de paseo aleatorio . El término "ruido marrón" no proviene del color , sino de Robert Brown , quien documentó el movimiento errático de varios tipos de partículas inanimadas en el agua. El término "ruido rojo" proviene de la analogía con el "ruido blanco" o la "luz blanca"; el ruido rojo es intenso en longitudes de onda más largas, similar al extremo rojo del espectro visible . En acústica, esto se traduce en un sonido con una fuerte tendencia hacia las bajas frecuencias, produciendo un rugido profundo y sordo.

^{La representación gráfica} de la señal sonora imita un patrón browniano. Su densidad espectral es inversamente proporcional a f² , lo que significa que tiene mayor intensidad en frecuencias bajas, incluso más que el ruido rosa . Su intensidad disminuye 6 dB por octava (20 dB por década ). Para poner esto en perspectiva, por cada duplicación de la frecuencia, la potencia del ruido browniano se reduce a la cuarta parte. 

Al escucharlo, tiene una cualidad "amortiguada" o "suave" en comparación con el ruido blanco y rosa . Debido a la severa atenuación de las frecuencias más altas, el sonido es un rugido grave que recuerda a una cascada , una lluvia intensa o el retumbar lejano de un trueno. Véase también el ruido violeta , que es exactamente lo opuesto, con un aumento  de 6 dB por octava.

Estrictamente hablando, el movimiento browniano tiene una distribución de probabilidad gaussiana, pero el término "ruido rojo" podría aplicarse a cualquier señal aleatoria con un espectro de frecuencia de 1/f², independientemente de su distribución de probabilidad ^subyacente .

Un movimiento browniano, también conocido como proceso de Wiener , se obtiene como la integral de una señal de ruido blanco : $${\displaystyle W(t)=\int _{0}^{t}{\frac {dW}{d\tau }}(\tau )d\tau }$$ lo que significa que el movimiento browniano es la integral del ruido blanco.${\displaystyle t\mapsto dW(t)}$, cuya densidad espectral de potencia es plana: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle S_{0}=\left|{\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )\right|^{2}={\text{const}}.}$$

Tenga en cuenta que aquí${\displaystyle {\mathcal {F}}}$denota la transformada de Fourier y${\displaystyle S_{0}}$es una constante. Una propiedad importante de esta transformación es que la derivada de cualquier distribución se transforma como ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[t\mapsto {\frac {dW}{dt}}(t)\right](\omega )=i\omega {\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ),}$$ de lo cual podemos concluir que el espectro de potencia del ruido browniano es $${\displaystyle S(\omega )={\big |}{\mathcal {F}}[t\mapsto W(t)](\omega ){\big |}^{2}={\frac {S_{0}}{\omega ^{2}}}.}$$

Esto demuestra matemáticamente que integrar una señal de ruido blanco en el dominio del tiempo corresponde a dividir su espectro por la frecuencia angular.${\displaystyle \omega }$en el dominio de la frecuencia, lo que da como resultado la característica${\displaystyle 1/\omega ^{2}}$densidad espectral de potencia. Una trayectoria de movimiento browniano individual presenta un espectro${\displaystyle S(\omega )=S_{0}/\omega ^{2}}$donde la amplitud${\displaystyle S_{0}}$es una variable aleatoria, incluso en el límite de una trayectoria infinitamente larga. ^{[ 3 ]}

El ruido marrón se puede producir integrando ruido blanco . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Es decir, mientras que el ruido blanco ( digital ) se puede producir eligiendo aleatoriamente cada muestra de forma independiente, el ruido marrón se puede producir añadiendo un desplazamiento aleatorio a cada muestra para obtener la siguiente.

Dado que el ruido browniano contiene una potencia espectral infinita en bajas frecuencias, la señal tiende a desviarse infinitamente del origen. En aplicaciones de audio o electromagnéticas, se puede utilizar un integrador con fugas para garantizar que la señal no se desvíe, es decir, que no exceda los límites del rango dinámico del sistema .

• En el procesamiento digital, esto se suele conseguir multiplicando la muestra anterior por un factor de decaimiento ligeramente inferior a uno (por ejemplo, 0,999) antes de añadir el nuevo desplazamiento de ruido blanco aleatorio.
• Esto hace que la señal vuelva gradualmente a cero con el tiempo, evitando la acumulación continua de un desplazamiento de CC.
• Esto convierte el ruido browniano en ruido de Ornstein-Uhlenbeck , que tiene un espectro plano en las frecuencias más bajas y solo se vuelve "rojo" por encima de la frecuencia de corte elegida, establecida por el factor de decaimiento.

El ruido browniano también se puede generar por computadora generando primero una señal de ruido blanco, aplicándole la transformada de Fourier y luego dividiendo las amplitudes de los diferentes componentes de frecuencia por la frecuencia (en una dimensión) o por la frecuencia al cuadrado (en dos dimensiones), etc. Existen programas de Matlab para generar ruido browniano y otros ruidos coloreados de ley de potencias en una ^{[ 6 ]} o cualquier número de dimensiones.

Se han encontrado evidencias de ruido browniano, o más precisamente, de procesos brownianos en diferentes campos, incluyendo la química, ^{[ 7 ]} el electromagnetismo, ^{[ 8 ]} la dinámica de fluidos, ^{[ 9 ]} la economía, ^{[ 10 ]} donde constituye la base matemática para modelos como Black-Scholes utilizados en la valoración de opciones y el control neuromotor humano. ^{[ 11 ]}