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Reconstrucción tomográfica

Reconstrucción tomográfica: Proyección, retroproyección y retroproyección filtrada. La reconstrucción tomográfica es un tipo de problema inverso multidimensional cuyo desafío co...

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Reconstrucción tomográfica: Proyección, retroproyección y retroproyección filtrada.

La reconstrucción tomográfica es un tipo de problema inverso multidimensional cuyo desafío consiste en obtener una estimación de un sistema específico a partir de un número finito de proyecciones . Johann Radon sentó las bases matemáticas de la imagen tomográfica . Un ejemplo notable de aplicaciones es la reconstrucción de tomografías computarizadas (TC), donde se obtienen imágenes transversales de pacientes de forma no invasiva. En desarrollos recientes, la transformada de Radon y su inversa se han utilizado para tareas relacionadas con la inserción realista de objetos, necesaria para probar y evaluar el uso de la tomografía computarizada en la seguridad aeroportuaria . [ 1 ]

Este artículo se aplica en general a los métodos de reconstrucción para todo tipo de tomografía , pero algunos de los términos y descripciones físicas se refieren directamente a la reconstrucción de la tomografía computarizada de rayos X.

Presentando la fórmula

Figura 1: Geometría de haz paralelo utilizada en tomografía y reconstrucción tomográfica. Cada proyección, resultante de la tomografía bajo un ángulo específico, se compone del conjunto de integrales de línea que pasan por el objeto.
Imagen tomográfica resultante de un modelo de cráneo de plástico. En esta sección, obtenida mediante una tomografía computarizada, se aprecian claramente los rayos X proyectados como artefactos de imagen , debido a la cantidad limitada de cortes de proyección en los ángulos.

La proyección de un objeto, resultante del proceso de medición tomográfica en un ángulo determinado.θ{\displaystyle \theta }, está compuesto por un conjunto de integrales de línea (véase la figura 1). Un conjunto de muchas de estas proyecciones bajo diferentes ángulos organizadas en 2D se denomina sinograma (véase la figura 3). En la tomografía computarizada de rayos X, la integral de línea representa la atenuación total del haz de rayos X a medida que viaja en línea recta a través del objeto. Como se mencionó anteriormente, la imagen resultante es un modelo 2D (o 3D) del coeficiente de atenuación . Es decir, deseamos encontrar la imagenμ(incógnita,y){\displaystyle \mu (x,y)}La forma más sencilla y fácil de visualizar el método de escaneo es el sistema de proyección paralela , como se utilizaba en los primeros escáneres. Para esta discusión, consideramos que los datos se recopilan como una serie de rayos paralelos, en la posiciónr{\displaystyle r}, a través de una proyección en ánguloθ{\displaystyle \theta }Esto se repite para varios ángulos. La atenuación ocurre exponencialmente en el tejido:

I=I0exp⁡(−∫μ(incógnita,y)ds){\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}

dóndeμ(incógnita,y){\displaystyle \mu (x,y)}es el coeficiente de atenuación en función de la posición. Por lo tanto, generalmente la atenuación totalpag{\displaystyle p}de un rayo en la posiciónr{\displaystyle r}, en la proyección en ánguloθ{\displaystyle \theta }, viene dada por la integral de línea:

pagθ(r)=ln⁡(II0)=−∫μ(incógnita,y)ds{\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}

Utilizando el sistema de coordenadas de la Figura 1, el valor der{\displaystyle r}sobre el cual el punto(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}se proyectará en ánguloθ{\displaystyle \theta }está dado por:

incógnitaporque⁡θ+ypecado⁡θ=r {\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }

Por lo tanto, la ecuación anterior se puede reescribir como

pagθ(r)=∫−∞∞∫−∞∞F(incógnita,y)δ(incógnitaporque⁡θ+ypecado⁡θ−r)dincógnitady{\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}

dóndeF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}representaμ(incógnita,y){\displaystyle \mu (x,y)}yδ(){\displaystyle \delta ()}es la función delta de Dirac . Esta función se conoce como la transformada de Radon (o sinograma ) del objeto 2D.

La transformada de Fourier de la proyección se puede escribir como

PAGθ(ω)=∫−∞∞∫−∞∞F(incógnita,y)exp⁡[−jω(incógnitaporque⁡θ+ypecado⁡θ)]dincógnitady=F(Ω1,Ω2){\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}dóndeΩ1=ωporque⁡θ,Ω2=ωpecado⁡θ{\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }[ 2 ]
PAGθ(ω){\displaystyle P_{\theta }(\omega )}representa una sección de la transformada de Fourier 2D deF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}en ánguloθ{\displaystyle \theta }Utilizando la transformada inversa de Fourier , se puede derivar fácilmente la fórmula de la transformada inversa de Radon.
F(incógnita,y)=12π∫0πgramoθ(incógnitaporque⁡θ+ypecado⁡θ)dθ{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }

dóndegramoθ(incógnitaporque⁡θ+ypecado⁡θ){\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}es la derivada de la transformada de Hilbert depagθ(r){\displaystyle p_{\theta }(r)}

En teoría, la transformada inversa de Radon produciría la imagen original. El teorema de proyección-corte nos dice que si tuviéramos un número infinito de proyecciones unidimensionales de un objeto tomadas en un número infinito de ángulos, podríamos reconstruir perfectamente el objeto original.F(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}Sin embargo, en la práctica solo habrá un número finito de proyecciones disponibles.

ArroganteF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}tiene diámetro efectivod{\displaystyle d}y la resolución deseada esRs{\displaystyle R_{s}}, una regla general para el número de proyecciones necesarias para la reconstrucción esnorte>πd/Rs{\displaystyle N>\pi d/R_{s}}[ 2 ]

Algoritmos de reconstrucción

Se han desarrollado algoritmos de reconstrucción prácticos para implementar el proceso de reconstrucción de un objeto tridimensional a partir de sus proyecciones. [ 3 ] [ 2 ] Estos algoritmos están diseñados principalmente en base a las matemáticas de la transformada de rayos X , el conocimiento estadístico del proceso de adquisición de datos y la geometría del sistema de imágenes de datos.

algoritmo de reconstrucción en el dominio de Fourier

La reconstrucción se puede realizar mediante interpolación. Supongamos quenorte{\displaystyle N}proyecciones deF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}se generan en ángulos igualmente espaciados, cada uno muestreado a la misma frecuencia. La transformada discreta de Fourier (DFT) en cada proyección produce un muestreo en el dominio de la frecuencia. La combinación de todas las proyecciones muestreadas en frecuencia genera un ráster polar en el dominio de la frecuencia. El ráster polar es disperso, por lo que se utiliza la interpolación para rellenar los puntos DFT desconocidos, y la reconstrucción se puede realizar mediante la transformada discreta de Fourier inversa . [ 4 ] El rendimiento de la reconstrucción puede mejorar diseñando métodos para cambiar la dispersión del ráster polar, facilitando la eficacia de la interpolación.

Por ejemplo, se puede obtener una trama cuadrada concéntrica en el dominio de la frecuencia cambiando el ángulo entre cada proyección de la siguiente manera:

θ′=R0máximo{|porque⁡θ|,|pecado⁡θ|}{\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}

dóndeR0{\displaystyle R_{0}}es la frecuencia más alta a evaluar.

El raster cuadrado concéntrico mejora la eficiencia computacional al permitir que todas las posiciones de interpolación se encuentren en una red DFT rectangular. Además, reduce el error de interpolación. [ 4 ] Sin embargo, el algoritmo de transformada de Fourier tiene la desventaja de producir una salida inherentemente ruidosa.

Algoritmo de retroproyección

En la práctica de la reconstrucción de imágenes tomográficas, a menudo se utiliza una versión estabilizada y discretizada de la transformada inversa de Radon, conocida como algoritmo de retroproyección filtrada . [ 2 ]

Con un sistema discreto muestreado, la transformada inversa de Radon es

F(incógnita,y)=12π∑i=0norte−1Δθigramoθi(incógnitaporque⁡θi+ypecado⁡θi){\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}
gramoθ(t)=pagθ(t)⋅k(t){\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}

dóndeΔθ{\displaystyle \Delta \theta }es el espaciado angular entre las proyecciones yk(t){\displaystyle k(t)}es un núcleo de radón con respuesta en frecuencia|ω|{\displaystyle |\omega |}.

El término retroproyección proviene del hecho de que una proyección unidimensional debe filtrarse mediante un núcleo de Radon unidimensional (retroproyectado) para obtener una señal bidimensional. El filtro utilizado no contiene ganancia de CC, por lo que puede ser conveniente añadir una polarización de CC . La reconstrucción mediante retroproyección permite una mejor resolución que el método de interpolación descrito anteriormente. Sin embargo, genera mayor ruido, ya que el filtro tiende a amplificar el contenido de alta frecuencia.

Algoritmo de reconstrucción iterativa

El algoritmo iterativo requiere mucha capacidad de cálculo, pero permite incluir información a priori sobre el sistema.F(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}. [ 2 ]

Dejarnorte{\displaystyle N}sea ​​el número de proyecciones yDi{\displaystyle D_{i}}ser el operador de distorsión para eli{\displaystyle i}la proyección tomada en un ánguloθi{\displaystyle \theta _{i}}.{λi}{\displaystyle \{\lambda _ {i}\}}son un conjunto de parámetros para optimizar la conversión de iteraciones.

F0(incógnita,y)=∑i=1norteλipagθi(r){\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}
Reconstrucción mediante haz en abanico del fantoma de Shepp-Logan con diferentes espaciamientos entre sensores. Un menor espaciamiento entre los sensores permite una reconstrucción más precisa. La figura se generó utilizando MATLAB.
Fk(incógnita,y)=Fk−1(incógnita,y)+∑i=1norteλi[pagθi(r)−DiFk−1(incógnita,y)]{\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}

Una familia alternativa de algoritmos de reconstrucción tomográfica recursiva son las técnicas de reconstrucción algebraica y la varianza mínima asintótica dispersa iterativa .

Reconstrucción de haz en abanico

El uso de un haz en abanico no colimado es común, ya que obtener un haz de radiación colimado es difícil. Los haces en abanico generan series de integrales de línea, no paralelas entre sí, como proyecciones. El sistema de haz en abanico requiere un rango angular de 360 ​​grados, lo que impone limitaciones mecánicas, pero permite una adquisición de señal más rápida, lo cual puede ser ventajoso en ciertos entornos, como en el campo de la medicina. La retroproyección sigue un procedimiento similar de dos pasos que produce la reconstrucción mediante el cálculo de retroproyecciones de suma ponderada obtenidas a partir de proyecciones filtradas.

Reconstrucción mediante aprendizaje profundo

La influencia del ruido de Poisson en la reconstrucción mediante aprendizaje profundo, donde el ruido de Poisson provoca que la U-Net no logre reconstruir un objeto existente similar a una lesión de alto contraste.

Los métodos de aprendizaje profundo se aplican ampliamente a la reconstrucción de imágenes en la actualidad y han logrado resultados impresionantes en diversas tareas de reconstrucción de imágenes, incluyendo la eliminación de ruido de baja dosis, la reconstrucción de vistas dispersas, la tomografía de ángulo limitado y la reducción de artefactos metálicos. Una excelente descripción general se puede encontrar en el número especial [ 5 ] de IEEE Transaction on Medical Imaging. Un grupo de algoritmos de reconstrucción de aprendizaje profundo aplica redes neuronales de posprocesamiento para lograr la reconstrucción de imagen a imagen, donde las imágenes de entrada se reconstruyen mediante métodos de reconstrucción convencionales. La reducción de artefactos utilizando U-Net en tomografía de ángulo limitado es un ejemplo de aplicación. [ 6 ] Sin embargo, pueden aparecer estructuras incorrectas en una imagen reconstruida por un método completamente basado en datos, [ 7 ] como se muestra en la figura. Por lo tanto, la integración de operadores conocidos en el diseño de la arquitectura de las redes neuronales parece beneficiosa, como se describe en el concepto de aprendizaje de precisión. [ 8 ] Por ejemplo, la reconstrucción directa de imágenes a partir de datos de proyección se puede aprender del marco de retroproyección filtrada. [ 9 ] Otro ejemplo es construir redes neuronales desplegando algoritmos de reconstrucción iterativos. [ 10 ] Excepto para el aprendizaje de precisión, el uso de métodos de reconstrucción convencionales con un conocimiento previo de reconstrucción de aprendizaje profundo [ 11 ] también es un enfoque alternativo para mejorar la calidad de la imagen de la reconstrucción de aprendizaje profundo.

Software de reconstrucción tomográfica

Los sistemas tomográficos presentan una variabilidad significativa en sus aplicaciones y geometrías (ubicación de las fuentes y los detectores). Esta variabilidad exige implementaciones muy específicas y personalizadas de los algoritmos de procesamiento y reconstrucción. Por ello, la mayoría de los fabricantes de TC ofrecen su propio software propietario. Esto se hace no solo para proteger la propiedad intelectual, sino también porque puede ser exigido por una agencia reguladora gubernamental. No obstante, en las últimas dos décadas se han desarrollado diversos paquetes de software de reconstrucción tomográfica de uso general, tanto comerciales como de código abierto.

La mayoría de los paquetes de software comerciales disponibles para su compra se centran en el procesamiento de datos para sistemas de tomografía computarizada de haz cónico de sobremesa. Algunos de estos paquetes de software incluyen Volume Graphics , InstaRecon , iTomography , Livermore Tomography Tools (LTT) , Cone Beam Software Tools (CST) y Bronnikov Algorithms Library .

Algunos ejemplos notables de software de reconstrucción de código abierto incluyen: Reconstruction Toolkit (RTK), [ 12 ] CONRAD, [ 13 ] TomoPy, [ 14 ] la caja de herramientas ASTRA, [ 15 ] [ 16 ] PYRO-NN, [ 17 ] ODL, [ 18 ] TIGRE, [ 19 ] y LEAP. [ 20 ]

En la galería se muestra el proceso completo para la tomografía de un objeto simple y la posterior reconstrucción tomográfica basada en ART.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Najla Megherbi; Toby P. Breckon; Greg T. Flitton; Andre Mouton (octubre de 2013). "Generación de artefactos metálicos basada en la transformada de Radon en la proyección de imágenes de amenazas 3D" (PDF) . Proc. SPIE Optics and Photonics for Counterterrorism, Crime Fighting and Defence . Vol.  8901. SPIE. pp. 1–7 . doi : 10.1117/12.2028506 . S2CID 14001672. Consultado el 5 de noviembre de 2013 .  
  2. 1 2 3 4 5 Dudgeon y Mersereau (1984). Procesamiento de señales digitales multidimensionales . Prentice-Hall.
  3. ↑ Herman, GT, Fundamentos de tomografía computarizada: Reconstrucción de imágenes a partir de proyecciones, 2.ª edición, Springer, 2009
  4. 1 2 R. Mersereau, A. Oppenheim (1974). "Reconstrucción digital de señales multidimensionales a partir de sus proyecciones". Actas del IEEE . 62 (10): 1319– 1338. doi : 10.1109/proc.1974.9625 . hdl : 1721.1/13788 .
  5. ↑ Wang, Ge; Ye, Jong Chu; Mueller, Klaus; Fessler, Jeffrey A (2018). "La reconstrucción de imágenes es una nueva frontera del aprendizaje automático". IEEE Transactions on Medical Imaging . 37 (6): 1289– 1296. doi : 10.1109/TMI.2018.2833635 . PMID 29870359 . S2CID 46931303 .  
  6. ↑ Gu, Jawook; Ye, Jong Chul (2017). Aprendizaje residual en el dominio de ondículas multiescala para la reconstrucción de TC de ángulo limitado . Fully3D. pp. 443– 447. 
  7. ↑ Yixing Huang; Tobias Würfl; Katharina Breininger; Ling Liu; Günter Lauritsch; Andreas Maier (2018). Algunas investigaciones sobre la robustez del aprendizaje profundo en la tomografía de ángulo limitado . MICCAI. doi : 10.1007/978-3-030-00928-1_17 .
  8. ↑ Maier, Andreas K; Syben, Christopher; Stimpel, Bernhard; Wuerfl, Tobias; Hoffmann, Mathis; Schebesch, Frank; Fu, Weilin; Mill, Leonid; Kling, Lasse; Christiansen, Silke (2019). "El aprendizaje con operadores conocidos reduce los límites máximos de error" . Nature Machine Intelligence . 1 (8): 373– 380. arXiv : 1907.01992 . doi : 10.1038/s42256-019-0077-5 . PMC 6690833. PMID 31406960 .  
  9. ↑ Tobias Wuerfl; Mathis Hoffmann; Vincent Christlein; Katharina Breininger; Yixing Huang; Mathias Unberath; Andreas Maier (2018). "Tomografía computarizada de aprendizaje profundo: aprendizaje de pesos del dominio de proyección a partir del dominio de la imagen en problemas de ángulo limitado". IEEE Transactions on Medical Imaging . 37 (6): 1454– 1463. doi : 10.1109/TMI.2018.2833499 . PMID 29870373 . S2CID 46935914 .  
  10. ↑ J. Adler; O. Öktem (2018). "Reconstrucción primal-dual aprendida". IEEE Transactions on Medical Imaging . 37 (6): 1322– 1332. arXiv : 1707.06474 . doi : 10.1109/TMI.2018.2799231 . PMID 29870362 . S2CID 26897002 .  
  11. ↑ Yixing Huang; Alexander Preuhs; Guenter Lauritsch; Michael Manhart; Xiaolin Huang; Andreas Maier (2019). Reducción de artefactos consistente con datos para tomografía de ángulo limitado con aprendizaje profundo previo . Aprendizaje automático para reconstrucción de imágenes médicas. arXiv : 1908.06792 . doi : 10.1007/978-3-030-33843-5_10 .
  12. ↑ Kit de herramientas de reconstrucción (RTK)
  13. ↑ Maier, Andrés; Hofmann, Hannes G.; Berger, Martín; Fischer, Peter; Schwemmer, Chris; Wu, Haibo; Müller, Kerstin; Hornegger, Joaquín; Choi, Jang-Hwan; Riess, cristiano; Keil, Andreas; Fahrig, Rebecca (2013). "CONRAD: un marco de software para imágenes de haz cónico en radiología" . Física Médica . 40 (11): 111914. Bibcode : 2013MedPh..40k1914M . doi : 10.1118/1.4824926 . PMC 3820625 . PMID 24320447 .  
  14. ↑ Gürsoy, Doǧa; De Carlo, Francesco; Xiao, Xianghui; Jacobsen, Chris (2014). "TomoPy: Un marco para el análisis de datos tomográficos de sincrotrón" . Journal of Synchrotron Radiation . 22 (5): 1188– 1193. Bibcode : 2014SPIE.9212E..0NG . doi : 10.1107/S1600577514013939 . PMC 4181643. PMID 25178011 .  
  15. ^ van Aarle, Wim; Palenstijn, Willem Jan; De Beenhouwer, enero; Altantzis, Thomas; Bals, Sara ; Batenburg, K. Joost; Sijbers, Jan (octubre de 2015). "ASTRA Toolbox: una plataforma para el desarrollo de algoritmos avanzados en tomografía electrónica" . Ultramicroscopía . 157 : 35– 47. doi : 10.1016/j.ultramic.2015.05.002 . hdl : 10067/1278340151162165141 . PMID 26057688 . 
  16. ^ van Aarle, Wim; Palenstijn, Willem Jan; No puedo, Jeroen; Janssens, Eline; Bleichrodt, Folkert; Dabravolski, Andrei; De Beenhouwer, enero; Joost Batenburg, K.; Sijbers, enero (2016). "Tomografía de rayos X rápida y flexible utilizando la caja de herramientas de ASTRA" . Óptica Express . 24 (22): 35– 47. Bibcode : 2016OExpr..2425129V . doi : 10.1364/OE.24.025129 . hdl : 10067/1392160151162165141 . PMID 27828452 . 
  17. ↑ Syben, Christopher; Michen, Markus; Stimpel, Bernhard; Seitz, Stephan; Ploner, Stefan; Maier, Andreas (2019). "PYRO-NN: Operadores de reconstrucción de Python en redes neuronales" . Física médica . 46 (11): 5110– 5115. arXiv : 1904.13342 . Bibcode : 2019MedPh..46.5110S . doi : 10.1002/mp.13753 . PMC 6899669. PMID 31389023 .  
  18. ↑ "Odlgroup/Odl" . GitHub .
  19. ↑ Publicado por la Universidad de Bath y el CERN. Biguri, Ander; Dosanjh, Manjit; Hancock, Steven; Soleimani, Manuchehr (2016-09-08). "TIGRE: una caja de herramientas MATLAB-GPU para la reconstrucción de imágenes CBCT" . Biomedical Physics & Engineering Express . 2 (5) 055010. doi : 10.1088/2057-1976/2/5/055010 . ISSN 2057-1976 . 
  20. ↑Kim, Hyojin; Champley, Kyle (2023). "Proyector frontal diferenciable para tomografía computarizada de rayos X". ICML . arXiv : 2307.05801 .

Lecturas adicionales

  • Avinash Kak y Malcolm Slaney (1988), Principios de la tomografía computarizada, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3.
  • Bruyant, PP "Algoritmos de reconstrucción analítica e iterativa en SPECT" Journal of Nuclear Medicine 43(10):1343-1358, 2002
  • Slaney, AC Kak y Malcolm. "Principios de la tomografía computarizada" . Slaney.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
  • Insight ToolKit; software de soporte tomográfico de código abierto
  • "TomoPy — Documentación de TomoPy 1.1.3" . Tomopy.readthedocs.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
  • Caja de herramientas ASTRA (All Scales Tomographic Reconstruction Antwerp); software de código abierto muy flexible y rápido para la reconstrucción tomográfica computarizada.
  • NiftyRec; software integral de reconstrucción tomográfica de código abierto; programable mediante Matlab y Python.
  • Herramienta de reconstrucción y visualización tomográfica de código abierto
  • "ITS plc - Tomografía de procesos eléctricos para visualización industrial" . Itoms.com . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
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