Relación

En matemáticas , una razón ( / ˈ r eɪ . ʃ ( i . ) oʊ / ) muestra cuántas veces un número contiene a otro. Por ejemplo, si hay ocho naranjas y seis limones en un tazón de fruta, entonces la razón de naranjas a limones es ocho a seis (es decir, 8:6, que es equivalente a la razón 4:3). De manera similar, la razón de limones a naranjas es 6:8 (o 3:4) y la razón de naranjas a la cantidad total de fruta es 8:14 (o 4:7).

Los números en una razón pueden ser cantidades de cualquier tipo, como recuentos de personas u objetos, o medidas de longitudes, pesos, tiempo, etc. En la mayoría de los contextos, ambos números deben ser positivos .

Una razón puede especificarse dando ambos números constituyentes, escritos como " a a b " o " a : b ", o dando solo el valor de su cociente ⁠ a / b ⁠ . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Los cocientes iguales corresponden a razones iguales. Una afirmación que expresa la igualdad de dos razones se llama proporción .

Por consiguiente, una razón puede considerarse como un par ordenado de números, una fracción con el primer número en el numerador y el segundo en el denominador, o como el valor representado por dicha fracción. Las razones de cantidades, dadas por números naturales (distintos de cero) , son números racionales y, en ocasiones, pueden ser números naturales.

Una definición más específica adoptada en las ciencias físicas (especialmente en metrología ) para razón es el cociente adimensional entre dos cantidades físicas medidas con la misma unidad . ^{[ 4 ]} Un cociente de dos cantidades que se miden con unidades diferentes puede llamarse tasa . ^{[ 5 ]}

La razón de los números A y B se puede expresar como: ^{[ 1 ]}

• la relación entre A y B
• A : B
• A es a B (cuando va seguido de "como C es a D "; véase más abajo)
• una fracción con A como numerador y B como denominador que representa el cociente (es decir, A dividido por B, o${\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}$). Esto puede expresarse como una fracción simple o decimal, o como un porcentaje, etc. ^{[ 6 ]}

Cuando una razón se escribe en la forma A : B , el carácter de dos puntos a veces es el signo de puntuación de dos puntos . ^{[ 7 ]} En Unicode , este es U+003A : COLON , aunque Unicode también proporciona un carácter de razón dedicado, U+2236 ∶ RATIO . ^{[ 8 ]}

Los números A y B a veces se denominan términos de la razón , siendo A el antecedente y B el consecuente . ^{[ 9 ]}

Una expresión que declara la igualdad de dos razones A : B y C : D se llama proporción , ^{[ 10 ]} escrita como A : B = C : D o A : B ∷ C : D . Esta última forma, cuando se habla o se escribe en inglés, a menudo se expresa como

( A es a B ) como ( C es a D ).

A , B , C y D se denominan términos de la proporción. A y D se denominan sus extremos , y B y C se denominan sus medios . La igualdad de tres o más razones, como A : B = C : D = E : F , se denomina proporción continua . ^{[ 1 ]}

Las razones a veces se utilizan con tres o incluso más términos. Por ejemplo, la proporción para las longitudes de los lados de una tabla de " dos por cuatro " que mide diez pulgadas de largo es:

${\displaystyle {\text{espesor$ : ancho  : largo }}=2:4:10}

Una buena mezcla de hormigón (en unidades de volumen) a veces se cita como: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\text{cemento$ : arena  : grava }}=1:2:4.}

El significado de dicha proporción de razones con más de dos términos es que la razón de cualesquiera dos términos del lado izquierdo es igual a la razón de los dos términos correspondientes del lado derecho.

Es posible rastrear el origen de la palabra «ratio» hasta el griego antiguo λόγος ( logos ). Los primeros traductores la tradujeron al latín como ratio («razón»; como en la palabra «racional»). Una interpretación más moderna del significado de Euclides se asemeja más a cálculo o conteo. ^{[ 12 ]} Los escritores medievales usaban la palabra proportio («proporción») para indicar ratio y proportionitas («proporcionalidad») para la igualdad de ratios. ^{[ 13 ]}

Euclides recopiló los resultados que aparecen en los Elementos a partir de fuentes anteriores. Los pitagóricos desarrollaron una teoría de la razón y la proporción aplicada a los números. ^{[ 14 ]} La concepción pitagórica del número incluía solo lo que hoy llamaríamos números racionales, lo que genera dudas sobre la validez de la teoría en geometría, donde, como también descubrieron los pitagóricos, existen razones inconmensurables (que corresponden a números irracionales ). El descubrimiento de una teoría de las razones que no presupone la conmensurabilidad se debe probablemente a Eudoxo de Cnido . La exposición de la teoría de las proporciones que aparece en el Libro VII de los Elementos refleja la teoría anterior de las razones de los números conmensurables. ^{[ 15 ]}

La existencia de múltiples teorías parece innecesariamente compleja, ya que las razones se identifican, en gran medida, con los cocientes y sus valores potenciales. Sin embargo, este es un desarrollo relativamente reciente, como lo demuestra el hecho de que los libros de texto de geometría modernos aún utilizan terminología y notación distintas para razones y cocientes. Las razones son dos: primero, la reticencia, ya mencionada, a aceptar los números irracionales como números verdaderos; y segundo, la falta de un simbolismo ampliamente utilizado para reemplazar la terminología ya establecida de las razones retrasó la plena aceptación de las fracciones como alternativa hasta el siglo XVI. ^{[ 16 ]}

En general, una comparación de las cantidades de una razón de dos entidades se puede expresar como una fracción derivada de la razón. Por ejemplo, en una razón de 2:3, la cantidad, tamaño, volumen o cantidad de la primera entidad es${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$la de la segunda entidad.

Si hay 2 naranjas y 3 manzanas, la proporción de naranjas a manzanas es 2:3, y la proporción de naranjas al número total de piezas de fruta es 2:5. Estas proporciones también se pueden expresar en forma de fracción: hay 2/3 de naranjas que de manzanas, y 2/5 de las piezas de fruta son naranjas. Si se va a diluir concentrado de jugo de naranja con agua en una proporción de 1:4, entonces una parte de concentrado se mezcla con cuatro partes de agua, dando un total de cinco partes; la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/4 de la cantidad de agua, mientras que la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/5 del líquido total. Tanto en proporciones como en fracciones, es importante tener claro qué se está comparando con qué, y los principiantes suelen cometer errores por esta razón.

Las fracciones también pueden inferirse a partir de razones con más de dos entidades; sin embargo, una razón con más de dos entidades no puede convertirse completamente en una sola fracción, ya que una fracción solo puede comparar dos cantidades. Se puede usar una fracción separada para comparar las cantidades de dos cualesquiera de las entidades cubiertas por la razón: por ejemplo, a partir de una razón de 2:3:7 podemos inferir que la cantidad de la segunda entidad es${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$la de la tercera entidad.

Si multiplicamos todas las cantidades involucradas en una razón por el mismo número, la razón sigue siendo válida. Por ejemplo, una razón de 3:2 es lo mismo que 12:8. Lo habitual es reducir los términos al mínimo común denominador o expresarlos en partes por cien ( porcentaje ).

Si una mezcla contiene las sustancias A , B , C y D en la proporción 5:9:4:2, entonces hay 5 partes de A por cada 9 partes de B , 4 partes de C y 2 partes de D. Como 5 + 9 + 4 + 2 = 20, la mezcla total contiene 5/20 de A (5 partes de 20), 9/20 de B , 4/20 de C y 2/20 de D. Si dividimos todos los números por el total y multiplicamos por 100, los hemos convertido a porcentajes : 25% A , 45% B , 20% C y 10% D (equivalente a escribir la proporción como 25:45:20:10).

Si las dos o más cantidades de razón abarcan todas las cantidades en una situación particular, se dice que "el todo" contiene la suma de las partes: por ejemplo, una cesta de frutas que contiene dos manzanas y tres naranjas y ninguna otra fruta está compuesta por dos partes de manzanas y tres partes de naranjas. En este caso,${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}$, o el 40% del total son manzanas y${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$o el 60% del total son naranjas. Esta comparación de una cantidad específica con "el total" se llama proporción.

Si la relación consta de solo dos valores, se puede representar como una fracción, en particular como una fracción decimal. Por ejemplo, los televisores antiguos tienen una relación de aspecto de 4:3 , lo que significa que el ancho es 4/3 de la altura (esto también se puede expresar como 1.33:1 o simplemente 1.33 redondeado a dos decimales). Los televisores panorámicos más recientes tienen una relación de aspecto de 16:9, o 1.78 redondeado a dos decimales. Uno de los formatos de películas panorámicas más populares es 2.35:1 o simplemente 2.35. Representar las relaciones como fracciones decimales simplifica su comparación. Al comparar 1.33, 1.78 y 2.35, es obvio qué formato ofrece una imagen más ancha. Dicha comparación solo funciona cuando los valores que se comparan son consistentes, como expresar siempre el ancho en relación con la altura.

Las razones se pueden simplificar (al igual que las fracciones) dividiendo cada cantidad por los factores comunes a todas ellas. En el caso de las fracciones, la forma más simple es aquella en la que los números de la razón son los enteros más pequeños posibles.

Así, la razón 40:60 es equivalente en significado a la razón 2:3, la cual se obtiene dividiendo ambas cantidades entre 20. Matemáticamente, escribimos 40:60 = 2:3, o lo que es lo mismo, 40:60:2:3. El equivalente verbal es "40 es a 60 como 2 es a 3".

Se dice que una razón que tiene números enteros para ambas cantidades y que no se puede reducir más (usando números enteros) está en su forma más simple o en su mínima expresión.

A veces resulta útil escribir una razón en la forma 1: x o x :1, donde x no es necesariamente un número entero, para poder comparar diferentes razones. Por ejemplo, la razón 4:5 se puede escribir como 1:1,25 (dividiendo ambos lados por 4). Alternativamente, se puede escribir como 0,8:1 (dividiendo ambos lados por 5).

Cuando el contexto deja claro el significado, una razón de esta forma a veces se escribe sin el 1 y el símbolo de razón (:), aunque, matemáticamente, esto la convierte en un factor o multiplicador .

También se pueden establecer razones entre cantidades inconmensurables (cantidades cuya razón, como valor de una fracción, equivale a un número irracional ). El ejemplo más antiguo descubierto, hallado por los pitagóricos , es la razón entre la longitud de la diagonal d y la longitud de un lado s de un cuadrado , que es la raíz cuadrada de 2 , formalmente${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$Otro ejemplo es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, que se llama π , y no es solo un número irracional , sino un número trascendental .

También es bien conocida la proporción áurea de dos longitudes (generalmente) a y b , que se define por la proporción

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad }$o, equivalentemente${\displaystyle \quad a:b=(1+b/a):1.}$

Tomando las razones como fracciones y${\displaystyle a:b}$como teniendo el valor x , produce la ecuación

${\displaystyle x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad }$o${\displaystyle \quad x^{2}-x-1=0,}$

que tiene la solución positiva e irracional${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$ Por lo tanto, al menos uno de a y b debe ser irracional para que pertenezcan a la proporción áurea. Un ejemplo de la proporción áurea en matemáticas es el valor límite de la razón entre dos números de Fibonacci consecutivos : aunque todas estas razones son razones entre dos números enteros y, por lo tanto, racionales, el límite de la secuencia de estas razones racionales es la proporción áurea irracional.

De manera similar, la proporción de plata de a y b se define por la proporción

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$correspondiente a${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

Esta ecuación tiene una solución positiva e irracional.${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$Así pues, al menos una de las dos cantidades a y b de la proporción de plata debe ser irracional.

Las probabilidades (como en los juegos de azar) se expresan como una proporción. Por ejemplo, unas probabilidades de "7 a 3 en contra" (7:3) significan que hay siete posibilidades de que el evento no ocurra por cada tres de que ocurra. La probabilidad de éxito es del 30%. En cada diez intentos, se esperan tres victorias y siete derrotas.

Las razones pueden ser adimensionales , como cuando relacionan cantidades en unidades de la misma dimensión , aunque sus unidades de medida sean inicialmente diferentes. Por ejemplo, la razón un minuto  : 40 segundos se puede reducir cambiando el primer valor a 60 segundos, de modo que la razón se convierte en 60 segundos  : 40 segundos . Una vez que las unidades son las mismas, se pueden omitir y la razón se puede reducir a 3:2. A veces, una razón se denomina «índice», como en el índice de refracción . ^{[ 4 ]}

Por otro lado, existen cocientes no adimensionales, también conocidos como tasas (a veces también como razones). ^{[ 21 ] [ 22 ]} En química, las razones de concentración másica se suelen expresar como fracciones peso/volumen. Por ejemplo, una concentración del 3 % p/v generalmente significa 3  g de sustancia en cada 100  mL de solución. Esto no se puede convertir a una razón adimensional, como fracciones peso/peso o volumen/volumen.

Las ubicaciones de los puntos con respecto a un triángulo con vértices A , B y C y lados AB , BC y CA se expresan a menudo en forma de razón extendida como coordenadas triangulares .

En coordenadas baricéntricas , un punto con coordenadas α, β, γ es el punto sobre el cual una lámina de metal sin peso con la forma y el tamaño del triángulo se equilibraría exactamente si se colocaran pesos en los vértices, siendo la relación de los pesos en A y B α :  β , la relación de los pesos en B y C β : γ , y por lo tanto la relación de los pesos en A y C α : γ .  

En coordenadas trilineales , un punto con coordenadas x : y : z tiene distancias perpendiculares al lado BC (frente al vértice A ) y al lado CA (frente al vértice B ) en la razón x : y , distancias al lado CA y al lado AB (frente a C ) en la razón y : z , y por lo tanto distancias a los lados BC y AB en la razón x : z .

Dado que toda la información se expresa en términos de proporciones (los números individuales denotados por α, β, γ, x, y y z no tienen significado por sí mismos), un análisis triangular que utilice coordenadas baricéntricas o trilineales se aplica independientemente del tamaño del triángulo.

• Relación cruzada
• Relación de dilución
• Relación desplazamiento-longitud
• Cantidad adimensional
• ratio financiero
• Cambio de pliegue
• Intervalo (música)
• Razón de probabilidades
• Notación de partes por
• relación precio-rendimiento
• Proporcionalidad (matemáticas)
• Distribución de la proporción
• Estimador de razón
• Tasa (matemáticas)
• Ratio (Twitter)
• tasa de relación
• Riesgo relativo
• Regla de tres (matemáticas)
• Escala (mapa)
• Escala (relación)
• proporción de sexos
• Relación superparticular
• Pendiente

• «Ratio», The Penny Cyclopædia, vol. 19 , The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841), Charles Knight and Co., Londres, págs.  307 y siguientes .
• «Proporción» . Nueva Enciclopedia Internacional . Vol.  XIX (2.ª  ed.). Nueva York: Dodd, Mead and Company. 1916. págs. 270–271 . ( La razón se relaciona con la proporción ).
• «Razón y proporción». Fundamentos de matemáticas prácticas , George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co., págs. 55 y siguientes.
• Euclides (1908). «Libro V» . Los trece libros de los Elementos de Euclides . Vol.  II. Traducido por Sir Thomas Little Heath . Cambridge Univ. Press. pp.  112 y ss.
• Smith, David Eugene (1925). «Capítulo 10. Razón, proporción y la regla de tres». Historia de las matemáticas . Vol.  II. Ginn and Company (Reimpreso en 1958 por Dover Publications). págs.  477 y ss.