Sistema dinámico aleatorio

En matemáticas , un sistema dinámico aleatorio es un sistema dinámico cuyas ecuaciones de movimiento presentan un componente aleatorio. Los sistemas dinámicos aleatorios se caracterizan por un espacio de estados S , un conjunto de funciones de S en sí mismo que puede considerarse como el conjunto de todas las ecuaciones de movimiento posibles, y una distribución de probabilidad Q sobre dicho conjunto que representa la elección aleatoria de la función. El movimiento en un sistema dinámico aleatorio puede entenderse informalmente como un estado ^que evoluciona según una sucesión de funciones elegidas aleatoriamente de acuerdo con la distribución Q. [ ^{1 ]}${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle X\in S}$

Un ejemplo de sistema dinámico aleatorio es una ecuación diferencial estocástica ; en este caso, la distribución Q se determina típicamente mediante términos de ruido . Consiste en un flujo base , el "ruido", y un sistema dinámico de cociclos en el espacio de fases "físico" . Otro ejemplo es un sistema dinámico aleatorio de estado discreto; se discuten algunas contradicciones elementales entre las descripciones de la dinámica estocástica mediante cadenas de Markov y sistemas dinámicos aleatorios. ^{[ 2 ]}

Sea un campo vectorial de dimensión , y sea . Supongamos que la solución de la ecuación diferencial estocástica es${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle X(t,\omega ;x_{0})}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\mathrm {d} X=f(X)\,\mathrm {d} t+\varepsilon \,\mathrm {d} W(t);\\X(0)=x_{0};\end{matrix}}\right.}$

existe para todo tiempo positivo y algún intervalo (pequeño) de tiempo negativo que depende de , donde denota un proceso de Wiener de dimensión ( movimiento browniano ). Implícitamente, esta afirmación utiliza el espacio de probabilidad de Wiener clásico.${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ):=\left(C_{0}(\mathbb {R}$ ;\mathbb {R} ^{d}),{\mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R}  ;\mathbb {R} ^{d})),\gamma \right).}

En este contexto, el proceso de Wiener es el proceso de coordenadas.

Ahora defina un mapa de flujo o ( operador de solución ) mediante${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \times \Omega \times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}

${\displaystyle \varphi (t,\omega ,x_{0}):=X(t,\omega ;x_{0})}$

(siempre que el lado derecho esté bien definido ). Entonces (o, más precisamente, el par ) es un sistema dinámico aleatorio (local, del lado izquierdo). El proceso de generar un "flujo" a partir de la solución de una ecuación diferencial estocástica nos lleva a estudiar "flujos" adecuadamente definidos por sí mismos. Estos "flujos" son sistemas dinámicos aleatorios.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},\varphi )}$

Un sistema dinámico aleatorio i.i.d. en el espacio discreto se describe mediante una terna .${\displaystyle (S,\Gamma ,Q)}$

• ${\displaystyle S}$es el espacio de estados, .${\displaystyle \{s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n}\}}$
• ${\displaystyle \Gamma }$es una familia de mapas de . Cada uno de estos mapas tiene una representación matricial, llamada matriz de transición determinista . Es una matriz binaria, pero tiene exactamente una entrada 1 en cada fila y 0 en las demás.${\displaystyle S\rightarrow S}$${\displaystyle n\times n}$
• ${\displaystyle Q}$es la medida de probabilidad del -campo de .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Gamma }$

El sistema dinámico aleatorio discreto se presenta de la siguiente manera:

1. El sistema se encuentra en algún estado en , se elige un mapa en de acuerdo con la medida de probabilidad y el sistema pasa al estado en el paso 1.${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x_{1}=\alpha _{1}(x_{0})}$
2. Independientemente de los mapas anteriores, se elige otro mapa según la medida de probabilidad y el sistema pasa al estado .${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle x_{2}=\alpha _{2}(x_{1})}$
3. El procedimiento se repite.

La variable aleatoria se construye mediante la composición de mapas aleatorios independientes, . Claramente, es una cadena de Markov .${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X_{n}=\alpha _{n}\circ \alpha _{n-1}\circ \dots \circ \alpha _{1}(X_{0})}$${\displaystyle X_{n}}$

A la inversa, ¿puede, y cómo, representarse una MC dada mediante composiciones de transformaciones aleatorias i.i.d.? Sí, puede, pero no es único. La demostración de existencia es similar al teorema de Birkhoff-von Neumann para matrices doblemente estocásticas .

Aquí hay un ejemplo que ilustra la existencia y la no unicidad.

Ejemplo: Si el espacio de estados y el conjunto de transformaciones se expresan en términos de matrices de transición deterministas, entonces una matriz de transición de Markov puede representarse mediante la siguiente descomposición mediante el algoritmo min-max:${\displaystyle S=\{1,2\}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle M=\left({\begin{array}{cc}0.4&0.6\\0.7&0.3\end{array}}\right)}$${\displaystyle M=0.6\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.3\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)+0.1\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right).}$

Mientras tanto, podría haber otra descomposición.${\displaystyle M=0.18\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}}\right)+0.28\left({\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}}\right)+0.42\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)+0.12\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right).}$

Formalmente, ^{[ 3 ]} un sistema dinámico aleatorio consta de un flujo base, el "ruido", y un sistema dinámico de cociclos en el espacio de fase "físico". En detalle.

Sea un espacio de probabilidad y el espacio de ruido . Definamos el flujo base de la siguiente manera: para cada "tiempo" , sea una función medible que preserva la medida :${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle \vartheta$ :\mathbb {R} \times \Omega \to \Omega } ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$

${\displaystyle \mathbb {P} (E)=\mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))}$para todos y ;${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

Supongamos también que

1. ${\displaystyle \vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega }$, la función identidad en ;${\displaystyle \Omega }$
2. para todos , .${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}=\vartheta _{s+t}}$

Es decir, , , forma un grupo de transformaciones que preservan la medida del ruido . Para sistemas dinámicos aleatorios unilaterales, se considerarían solo índices positivos ; para sistemas dinámicos aleatorios de tiempo discreto, se considerarían solo valores enteros ; en estos casos, los mapas solo formarían un monoide conmutativo en lugar de un grupo.${\displaystyle \vartheta _{s}}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \vartheta _{s}}$

Si bien esto es cierto en la mayoría de las aplicaciones, no suele formar parte de la definición formal de un sistema dinámico aleatorio el requisito de que el sistema dinámico que preserva la medida sea ergódico .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ,\vartheta )}$

Ahora sea un espacio métrico separable completo , el espacio de fases . Sea una función -medible tal que${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \times \Omega \times X\to X} ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\otimes {\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {B}}(X),{\mathcal {B}}(X))}$

1. para todos , , la función identidad en ;${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \varphi (0,\omega )=\mathrm {id} _{X}:X\to X}$${\displaystyle X}$
2. para (casi) todos , es continuo ;${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle (t,x)\mapsto \varphi (t,\omega ,x)}$
3. ${\displaystyle \varphi }$satisface la propiedad de cociclo (cruda) : para casi todos los ,${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle \varphi (t,\vartheta _{s}(\omega ))\circ \varphi (s,\omega )=\varphi (t+s,\omega ).}$

En el caso de sistemas dinámicos aleatorios impulsados ​​por un proceso de Wiener , el flujo base estaría dado por${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to X}$${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$

${\displaystyle W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s,\omega )-W(s,\omega )}$.

Esto puede interpretarse como que "el ruido comienza en el tiempo en lugar del tiempo 0". Por lo tanto, la propiedad de cociclo puede interpretarse como que evolucionar la condición inicial con cierto ruido durante segundos y luego durante segundos con el mismo ruido (comenzando desde la marca de segundos) da el mismo resultado que evolucionar durante segundos con ese mismo ruido.${\displaystyle \vartheta _{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle (t+s)}$

La noción de atractor para un sistema dinámico aleatorio no es tan sencilla de definir como en el caso determinista. Es necesario "retroceder en el tiempo", como en la definición de un atractor de retroceso , para que el ruido cercano al tiempo final permanezca constante. ^{[ 4 ]} Además, el atractor depende de la realización del ruido.${\displaystyle \omega }$

• Teoría del caos
• Proceso de difusión
• Control estocástico

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