Circuitos aleatorios cuánticos

Los circuitos cuánticos aleatorios ( QRC ) son un concepto que incorpora un elemento de aleatoriedad en las operaciones y mediciones unitarias locales de un circuito cuántico . La idea es similar a la de la teoría de matrices aleatorias , que consiste en utilizar los QRC para obtener resultados casi exactos de problemas no integrables y difíciles de resolver, promediando sobre un conjunto de resultados. Esta incorporación de aleatoriedad en los circuitos tiene muchas ventajas potenciales, algunas de las cuales son: (i) la validación de ordenadores cuánticos, que es el método que Google utilizó cuando reivindicó la supremacía cuántica en 2019 ^{[ 1 ]} , y (ii) la comprensión de la estructura universal de los procesos de no equilibrio y termalización en la dinámica cuántica de muchos cuerpos ^{[ 2 ] .}

Los componentes de algunos circuitos cuánticos generales serían cúbits, compuertas unitarias y mediciones. La evolución temporal de los circuitos cuánticos es discreta en el tiempo.${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$y los estados evolucionan paso a paso en el tiempo mediante la aplicación de operadores unitarios.${\displaystyle U_{t}\equiv U(t;t-1)}$bajo el cual un estado puro evoluciona según$${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U_{t}|\psi (t-1)\rangle }$$(nótese que los operadores unitarios pueden entrelazar estados). Por lo tanto, la evolución temporal desde un tiempo inicial, digamos${\displaystyle t=0}$, en algún momento${\displaystyle t}$sería dado por$${\displaystyle U(t;0)=U_{t}U_{t-1}\cdots U_{3}U_{2}U_{1}}$$donde para cada paso, el operador unitario está representado por un producto tensorial de compuertas unitarias locales${\displaystyle u_{\tau ,x}}$donde el${\displaystyle x}$El índice especifica el entero de la red que conecta un par de cúbits, y${\displaystyle \tau }$es el paso de tiempo.

La Figura 1 muestra un diagrama espacio-temporal de un circuito cuántico que muestra las interacciones locales en cada paso de tiempo. En el lenguaje de la teoría de la información cuántica , el número de cúbits${\displaystyle n}$es el ancho del circuito, y definimos su profundidad.${\displaystyle d}$como el número de capas de compuertas unitarias. Por lo tanto, para la configuración de la Figura 1,${\displaystyle n=8}$y${\displaystyle d=4}$Otra forma de interpretar el circuito es verlo como una red tensorial en la que cada caja morada es una puerta local.${\displaystyle u_{\tau ,x}}$operando sobre dos cúbits y la contracción total de los índices de los cúbits al inicio${\displaystyle t=0}$y el final en el tiempo${\displaystyle t}$En los enteros de la red se obtendría la evolución temporal unitaria completa.${\displaystyle U(t;0)}$. Por lo tanto, la amplitud de propagación desde algún estado inicial dado por los índices${\displaystyle \left\{a_{1}a_{2}\cdots a_{L}\right\}}$a un estado final con los índices${\displaystyle \left\{b_{1}b_{2}\cdots b_{L}\right\}}$es$${\displaystyle \langle a_{1}a_{2}\cdots a_{L}|U(t;0)|b_{1}b_{2}\cdots b_{L}\rangle .}$$Por otro lado, las mediciones desenredarían los cúbits. ^{[ 3 ]} Las mediciones utilizadas se denominan mediciones proyectivas, definidas como observaciones que dejan inalterados los grados de libertad en un autoestado del operador medido.

Las mediciones en mecánica cuántica son estocásticas por naturaleza, lo que significa que los circuitos con la misma estructura exacta (cúbits y compuertas) darían resultados diferentes en diferentes ejecuciones, véase la Figura 2. Sin embargo, esta naturaleza estocástica debe diferenciarse de la aleatoriedad.${\displaystyle {\textbf {m}}=\left\{m_{1},m_{2},\cdots ,m_{M}\right\}}$Si el conjunto de resultados es el de alguna medición aleatoria, entonces diferentes mediciones en un conjunto fijo de puertas unitarias producirían resultados distintos.${\displaystyle {\textbf {m}}}$registros. Consulte el diagrama esquemático de la Figura 2, que muestra un diagrama de árbol donde cada rama representa un posible resultado de las mediciones mostradas en el circuito. Observe que cada medición da como resultado un valor diferente.${\displaystyle {\textbf {m}}}$lo cual sería algo así como un paseo aleatorio . Si nuestro sistema es solo un cúbit, entonces cada medición provoca un salto en la esfera de Bloch . Sin embargo, en el caso de muchos cuerpos, la situación se complica debido a las correlaciones entre diferentes cúbits. ^{[ 3 ] [ 4 ]}