Cuadratrix

En geometría , una cuadratriz ( del latín quadrator, que significa ' cuadrador ' ) es una curva que se puede utilizar para la cuadratura , construyendo el área bajo otra curva. 

Por ejemplo, en el cálculo integral desarrollado por Gottfried Wilhelm Leibniz , la cuadratriz de una curva (la gráfica de una función) era otra curva, la gráfica de su integral indefinida : el área bajo la primera curva podía construirse a partir de la${\displaystyle y}$-coordenadas de puntos en la cuadratriz. La propiedad de ser una integral indefinida se expresó geométricamente, como una igualdad entre las${\displaystyle y}$-coordenadas en la primera curva y las subnormales de la segunda, la diferencia entre las${\displaystyle x}$-coordenada de un punto en la curva y la${\displaystyle x}$-coordenada del punto donde una línea perpendicular a la curva cruza la${\displaystyle x}$eje -. ^{[ 1 ]}

Ciertas curvas específicas se denominan cuadratriz. Las dos curvas más famosas de esta clase son la cuadratriz de Hipias y la cuadratriz de E. W. Tschirnhaus , que se pueden utilizar para cuadrar el círculo , es decir, para construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado.

La cuadratriz de Hipias era bien conocida por los geómetras griegos antiguos y es mencionada por Proclo , quien atribuye la invención de la curva a un contemporáneo de Sócrates , probablemente Hipias de Elis . Dinóstrato, geómetra griego y discípulo de Platón , analizó la curva y demostró cómo permitía resolver mecánicamente la cuadratura del círculo . Papo , en sus Colecciones , trata su historia y ofrece dos métodos para generarla.

Una construcción se describe a continuación. DAB es un cuadrante en el que la recta DA y el arco DB se dividen en el mismo número de partes iguales. Se trazan radios desde el centro del cuadrante hasta los puntos de división del arco, y estos radios son intersectados por rectas paralelas a AB que pasan por los puntos correspondientes del radio DA . El lugar geométrico de estas intersecciones es la cuadratriz.

El punto donde la curva cruza el eje y tiene y = 2a /π ; por lo tanto, si fuera posible construir la curva con precisión, se podría construir un segmento de línea cuya longitud sea un múltiplo racional de 1/ π , lo que llevaría a la solución del problema clásico de la cuadratura del círculo . Dado que esto es imposible con regla y compás , la cuadratriz tampoco se puede construir con regla y compás. Una construcción precisa de la cuadratriz también permitiría la solución de otro problema clásico que se sabe que es imposible con regla y compás: la trisección de un ángulo .

La cuadratriz de Tschirnhaus ^{[ 2 ]} se construye dividiendo el arco y el radio de un cuadrante en el mismo número de partes iguales que antes. Las intersecciones mutuas de las líneas trazadas desde los puntos de división del arco paralelas a DA , y las líneas trazadas paralelas a AB que pasan por los puntos de división de DA , son puntos de la cuadratriz. La ecuación cartesiana es${\displaystyle y=a\cos \!{\big (}{\tfrac {\pi x}{2a}}{\big )}}$La curva es periódica y corta el eje x en los puntos${\displaystyle x=(2n-1)a}$,${\displaystyle n}$ser un número entero; los valores máximos de${\displaystyle y}$son${\displaystyle a}$Sus propiedades son similares a las de la cuadratriz de Dinostratus.

Otras curvas que históricamente se han utilizado para cuadrar el círculo incluyen la espiral de Arquímedes y la cocleoide .

• Este artículo incorpora texto de una publicación que ahora es de dominio público : Chisholm, Hugh , ed. (1911). " Quadratrix ". Encyclopædia Britannica . Vol. 22 (11.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 706.     

• Cuadratriz de Hipias , Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor
• Una investigación sobre construcciones geométricas históricas , Convergencia , MAA