Proceso de salto

Un proceso de saltos es un término general que describe un proceso estocástico con movimientos discretos, denominados saltos . Estos saltos pueden ocurrir en momentos fijos (por ejemplo, en un modelo binomial ), en momentos predecibles (por ejemplo, un salto ocurre cuando un movimiento browniano unidimensional alcanza el valor 1) o en momentos de parada totalmente inaccesibles (por ejemplo, los saltos de un proceso de Poisson ). Los saltos pueden tener actividad finita (un número finito de saltos en cualquier intervalo de tiempo finito), variación finita (la suma del valor absoluto de todos los saltos es finita en cada intervalo de tiempo finito) o variación infinita.

En la mayoría de las aplicaciones, las trayectorias de un proceso estocástico se modelan como continuas por la derecha con límites por la izquierda y el salto es entonces la diferencia entre el valor actual y el límite por la izquierda; matemáticamente${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$, dónde${\displaystyle X_{t-}=\lim _{s\uparrow t}X_{s}}$También hay circunstancias en las que es conveniente permitir un doble salto en el tiempo${\displaystyle t}$, uno justo antes${\displaystyle t}$y uno justo después${\displaystyle t}$. ^{[ 1 ]} En tal caso,${\displaystyle X}$Ya no es continua por la derecha, pero se supone que tiene límite por la derecha.${\displaystyle X_{t+}=\lim _{s\downarrow t}X_{s}}$y el segundo salto se define como${\displaystyle \Delta ^{+}X_{t}=X_{t+}-X_{t}}$.

Por lo general, es posible descomponer un proceso con saltos en una parte continua y una "parte de saltos puros", pero dicha descomposición a menudo no es única . Esta falta de unicidad se observa especialmente en los procesos de Lévy con saltos de variación infinita. A pesar de esta falta de unicidad, la terminología " proceso de Lévy de saltos puros " se usa comúnmente para denotar el subconjunto de procesos de Lévy cuya variación cuadrática continua es cero (es decir, aquellos procesos de Lévy que no tienen componente de movimiento browniano). También se puede hablar de procesos de saltos puros en el sentido más estricto de ser iguales a la suma de sus saltos. Esto es ciertamente posible si los saltos son de variación finita, pero a veces incluso más allá. Por ejemplo, se sabe que los saltos de una semimartingala en tiempos predecibles son sumables en la topología de semimartingala, que define de forma única una componente de tiempo discreto de toda semimartingala como la suma de sus saltos en tiempos predecibles. ^{[ 2 ]}

• En finanzas , Paul Samuelson introdujo el movimiento browniano geométrico (GBM) y el proceso de Lévy de saltos puros geométricos como modelos alternativos de tiempo continuo para el precio de las acciones en su artículo fundamental "Teoría racional de la valoración de warrants". ^{[ 3 ]} El modelo GBM de Samuelson ahora se conoce popularmente como el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes . Para ejemplos tempranos de valoración de opciones con saltos, véanse ^{[ 4 ] [ 5 ]} .

• Proceso de Poisson , un ejemplo de proceso de salto
• Cadena de Markov de tiempo continuo (CTMC), un ejemplo de proceso de salto y una generalización del proceso de Poisson.
• Proceso de conteo , un ejemplo de proceso de salto y una generalización del proceso de Poisson en una dirección diferente a la de las CTMC.
• Sistema de partículas interactuantes , un ejemplo de un proceso de salto.
• Ecuaciones de Kolmogorov (cadenas de Markov de tiempo continuo)