submódulo puro

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de módulos , el concepto de submódulo puro proporciona una generalización del sumando directo , un tipo de parte de un módulo particularmente bien comportada . Los módulos puros son complementarios a los módulos planos y generalizan la noción de subgrupos puros de Prüfer . Mientras que los módulos planos son aquellos módulos que dejan secuencias exactas cortas exactas después de tensorizar , un submódulo puro define una secuencia exacta corta (conocida como secuencia exacta pura ) que permanece exacta después de tensorizar con cualquier módulo. De manera similar, un módulo plano es un límite directo de módulos proyectivos , y una secuencia exacta pura es un límite directo de secuencias exactas escindidas .

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo (asociativo, con${\displaystyle 1}$), dejar${\displaystyle M}$ser un módulo (izquierdo) sobre${\displaystyle R}$y dejar${\displaystyle P}$ser un submódulo de${\displaystyle M}$con${\displaystyle \iota \colon P\hookrightarrow M}$ser el mapa inyectivo natural . Entonces${\displaystyle P}$es un submódulo puro de${\displaystyle M}$si, por cualquier (derecho)${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle X}$, el mapa inducido naturalmente${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\otimes _{R}\iota \colon X\otimes _{R}P\to X\otimes _{R}M}$es inyectivo.

De forma análoga, una secuencia corta exacta

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

de (izquierda)${\displaystyle R}$-modules es puramente exacto si la secuencia permanece exacta cuando se tensorializa con cualquier (derecha)${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle X}$Esto equivale a decir que${\displaystyle f(A)}$es un submódulo puro de${\displaystyle B}$.

La pureza de un submódulo también puede expresarse elemento por elemento; en realidad es una afirmación sobre la resolubilidad de ciertos sistemas de ecuaciones lineales. Específicamente,${\displaystyle P}$es puro en${\displaystyle M}$si y solo si se cumple la siguiente condición: para cualquier${\displaystyle m}$-por-${\displaystyle n}$matriz${\displaystyle (a_{ij})}$con entradas en${\displaystyle R}$y cualquier conjunto${\displaystyle y_{1},\cdots,y_{m}}$de elementos de${\displaystyle P}$, si existen elementos${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$en${\displaystyle M}$de tal manera que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ para }}i=1,\ldots ,m}$

entonces también existen elementos${\displaystyle x'_{1},\cdots ,x'_{n}}$en${\displaystyle P}$de tal manera que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ para }}i=1,\ldots ,m}$

Otra caracterización es: una secuencia es puramente exacta si y solo si es el colímite filtrado (también conocido como límite directo ) de secuencias exactas divididas.

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.}$^{[ 1 ]}

• Todo sumando directo de M es puro en M. En consecuencia, todo subespacio de un espacio vectorial sobre un cuerpo es puro.

Suponer ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$ es una secuencia corta y exacta de${\displaystyle R}$-módulos, entonces:

1. ${\displaystyle C}$es un módulo plano si y solo si la secuencia exacta es puramente exacta para cada${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. De esto podemos deducir que sobre un anillo regular de von Neumann , cada submódulo de cada${\displaystyle R}$-módulo es puro. Esto se debe a que todo módulo sobre un anillo regular de von Neumann es plano. Lo contrario también es cierto. ^{[ 2 ]}
2. Suponer${\displaystyle B}$es plana. Entonces la secuencia es puramente exacta si y solo si${\displaystyle C}$es plano. De esto se puede deducir que los submódulos puros de módulos planos son planos.
3. Suponer${\displaystyle C}$es plano. Entonces${\displaystyle B}$es plano si y solo si${\displaystyle A}$es plano.

Si ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$ es puramente exacto y${\displaystyle F}$es una presentación finita${\displaystyle R}$-módulo, entonces cada homomorfismo de${\displaystyle F}$a${\displaystyle C}$se puede levantar hasta${\displaystyle B}$, es decir, a cada${\displaystyle u\colon F\to C}$existe${\displaystyle v\colon F\to B}$de tal manera que${\displaystyle gv=u}$.

• Fuchs, László (2015), Grupos abelianos , Monografías de Springer en matemáticas, Springer, ISBN 9783319194226
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294