Paquete de círculos

En matemáticas , un fibrado circular es un fibrado donde la fibra es el círculo.${\displaystyle S^{1}}$.

Los haces de círculos orientados también se conocen como haces principales U (1) o, equivalentemente, como haces principales SO (2). En física , los haces de círculos constituyen el marco geométrico natural del electromagnetismo . Un haz de círculos es un caso especial de un haz de esferas .

Los haces de círculos sobre superficies son un ejemplo importante de 3-variedades . Una clase más general de 3-variedades son los espacios fibrados de Seifert , que pueden considerarse como una especie de haz de círculos "singular" o como un haz de círculos sobre un orbifold bidimensional .

Las ecuaciones de Maxwell corresponden a un campo electromagnético representado por una 2-forma F , con${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$siendo cohomóloga a cero, es decir, exacta . En particular, siempre existe una 1-forma A , el cuadripotencial electromagnético , (equivalentemente, la conexión afín ) tal que

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

Dado un fibrado circular P sobre M y su proyección

${\displaystyle \pi :P\to M}$

uno tiene el homomorfismo

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$

dónde${\displaystyle \pi ^{*}}$es el retroceso . Cada homomorfismo corresponde a un monopolo de Dirac ; los grupos de cohomología enteros corresponden a la cuantización de la carga eléctrica . El efecto Aharonov-Bohm puede entenderse como la holonomía de la conexión en el fibrado lineal asociado que describe la función de onda del electrón. En esencia, el efecto Aharonov-Bohm no es un efecto cuántico (contrariamente a la creencia popular), ya que no se requiere ni se implica ninguna cuantización en la construcción de los fibrados o conexiones.

• La fibración de Hopf es un ejemplo de un fibrado circular no trivial.
• El fibrado tangente unitario de una superficie es otro ejemplo de un fibrado circular.
• El fibrado tangente unitario de una superficie no orientable es un fibrado circular que no es un elemento principal.${\displaystyle U(1)}$paquete. Solo las superficies orientables tienen paquetes tangentes unitarios principales.
• Otro método para construir haces de círculos es utilizando un haz de líneas complejo.${\displaystyle L\to X}$y tomando el haz de esferas (círculos en este caso) asociado. Dado que este haz tiene una orientación inducida desde${\displaystyle L}$tenemos que es un principio${\displaystyle U(1)}$-fibrado. ^{[ 1 ]} Además, las clases características de la teoría de Chern-Weil de la${\displaystyle U(1)}$-el paquete coincide con las clases características de${\displaystyle L}$.
• Por ejemplo, consideremos la analitificación.${\displaystyle X}$una curva plana compleja${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$. Desde${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$y las clases características retroceden de manera no trivial, tenemos que el fibrado de líneas asociado al haz${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$tiene clase Chern${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$.

Las clases de isomorfismo de principal${\displaystyle U(1)}$Los haces sobre una variedad M están en correspondencia biunívoca con las clases de homotopía de los mapas.${\displaystyle M\to BU(1)}$, dónde${\displaystyle BU(1)}$se denomina espacio de clasificación para U(1) . Nótese que${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$es el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita , y que es un ejemplo del espacio de Eilenberg-Maclane${\displaystyle K(\mathbb {Z},2).}$Dichos haces se clasifican mediante un elemento del segundo grupo de cohomología integral.${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$de M , ya que

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

Este isomorfismo se realiza mediante la clase de Euler ; equivalentemente, es la primera clase de Chern de un fibrado lineal complejo liso (esencialmente porque un círculo es homotópicamente equivalente a${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$, el plano complejo sin el origen; y por lo tanto, un fibrado de líneas complejo sin la sección cero es homotópicamente equivalente a un fibrado de círculos.)

Un haz circular es un principal${\displaystyle U(1)}$agrupar si y solo si el mapa asociado${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$es homotópica nula, lo cual es cierto si y solo si el fibrado es orientable fibradamente. Por lo tanto, para el caso más general, donde el fibrado circular sobre M podría no ser orientable, las clases de isomorfismo están en correspondencia biunívoca con las clases de homotopía de las aplicaciones.${\displaystyle M\to BO_{2}}$Esto se deduce de la extensión de los grupos,${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$, dónde${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$.

• secuencia de Wang

• Chern, Shiing-shen (1977), "Haces circulares", Lecture Notes in Mathematics , vol.  597/1977, Springer Berlin/Heidelberg, pp. 114–131 , doi : 10.1007/BFb0085351 , ISBN  978-3-540-08345-0.