Obsesión primordial

Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (2003) es un libro histórico sobre matemáticas de John Derbyshire , que detalla la historia de la hipótesis de Riemann , que lleva el nombre de Bernhard Riemann , y algunas de sus aplicaciones.

El libro fue galardonado con el primer Premio Euler de Libros de la Asociación Matemática de América en 2007. ^{[ 1 ]}

El libro está escrito de tal manera que los capítulos pares presentan elementos históricos relacionados con el desarrollo de la conjetura, y los capítulos impares tratan los aspectos matemáticos y técnicos. ^{[ 2 ]} A pesar del título, el libro proporciona información biográfica sobre muchos matemáticos emblemáticos, incluidos Euler , Gauss y Lagrange . ^{[ 3 ]}

En el capítulo 1, "Truco de cartas", Derbyshire introduce la idea de una serie infinita y las ideas de convergencia y divergencia de estas series. Imagina que hay una baraja de cartas apiladas ordenadamente, y que se retira la carta superior de manera que sobresalga de la baraja. Explicando que solo puede sobresalir hasta donde lo permita el centro de gravedad , la carta se retira de manera que exactamente la mitad de ella sobresalga. Luego, sin mover la carta superior, desliza la segunda carta de manera que también sobresalga en equilibrio . A medida que repite esto una y otra vez, la cantidad fraccionaria de cartas que sobresalen a medida que se acumulan se vuelve cada vez menor. Explora varios tipos de series, como la serie armónica .

En el capítulo 2 se presenta a Bernhard Riemann y se ofrece un breve resumen histórico de Alemania en el siglo XVIII.

En el capítulo 3 se introduce el Teorema de los Números Primos (TNP). Se demuestra que la función que los matemáticos utilizan para describir la cantidad de números primos en N números, π( N ), se comporta de manera logarítmica, como se muestra a continuación:

${\displaystyle \pi (N)\approx {\frac {N}{\log(N)}}}$

donde log es el logaritmo natural .

En el capítulo 4, Derbyshire ofrece una breve reseña biográfica de Carl Friedrich Gauss y Leonard Euler , contextualizando su participación en el Teorema de los Números Primos .

En el capítulo 5 se introduce la función zeta de Riemann :

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

En el capítulo 7, se demuestra que el tamiz de Eratóstenes puede simularse utilizando la función zeta. Con esto, se afirma la siguiente proposición, que se convierte en la piedra angular del libro:

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\ \mathrm {prime} }{\frac {1}{1-{p^{-s}}}}}$

Tras la obtención de este hallazgo, el libro profundiza en cómo se manipula para revelar la naturaleza del PNT.

Según el crítico SW Graham, el libro está escrito a un nivel adecuado para estudiantes avanzados de matemáticas de pregrado. ^{[ 3 ]} En cambio, James V. Rauff lo recomienda a "cualquier persona interesada en la historia y las matemáticas de la hipótesis de Riemann". ^{[ 4 ]}

El crítico Don Redmond escribe que, si bien los capítulos pares explican bien la historia, los capítulos impares presentan las matemáticas de forma demasiado informal para ser útiles, sin aportar claridad a los lectores que no las comprenden previamente, e incluso sin explicar la importancia de la hipótesis de Riemann. ^{[ 2 ]} Graham añade que el nivel matemático es inconsistente, con explicaciones detalladas de los conceptos básicos y explicaciones más superficiales de los temas más avanzados. Pero para quienes ya comprenden las matemáticas, califica el libro como «una historia familiar contada de forma entretenida». ^{[ 3 ]}

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