División larga de polinomios

En álgebra , la división larga de polinomios es un algoritmo para dividir un polinomio por otro polinomio del mismo grado o menor , una versión generalizada de la conocida técnica aritmética llamada división larga . Se puede realizar fácilmente a mano, ya que separa un problema de división que de otro modo sería complejo en problemas más pequeños. La división larga de polinomios es un algoritmo que implementa la división euclidiana de polinomios : partiendo de dos polinomios A (el dividendo ) y B (el divisor ) se obtiene, si B no es cero, un cociente Q y un resto R tales que

A = BQ + R ,

y o bien R = 0 o bien el grado de R es menor que el grado de B. Estas condiciones definen de forma única Q y R ; el resultado R = 0 se produce si y solo si el polinomio A tiene a B como factor . Por lo tanto, la división larga es un método para comprobar si un polinomio tiene a otro como factor y, en caso afirmativo, para factorizarlo.

En ocasiones, utilizar una versión abreviada llamada división sintética es más rápido, ya que requiere menos escritura y menos cálculos, especialmente cuando el divisor es un polinomio lineal.

La división larga de polinomios es posible siempre que los coeficientes de los polinomios pertenezcan al mismo cuerpo , lo que significa que la división por elementos distintos de cero siempre es posible; ejemplos de cuerpos incluyen los números racionales , los números reales y los números complejos .

Halla el cociente y el resto de la división de ${\displaystyle (x^{3}-2x^{2}-4)}$, el dividendo , por${\displaystyle (x-3)}$, el divisor .

El dividendo se reescribe primero de esta manera:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4.}$

El cociente y el resto se pueden determinar de la siguiente manera:

1. Divide el primer término del dividendo entre el término más elevado del divisor (es decir, el que tenga la mayor potencia de x , que en este caso es x ). Coloca el resultado encima de la barra:${\displaystyle x^{3}\div x=x^{2}}$.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{array}}}$

2. Multiplica el divisor por el resultado obtenido (el primer término del cociente final). Escribe el resultado debajo de los dos primeros términos del dividendo:${\displaystyle x^{2}\cdot (x-3)=x^{3}-3x^{2}}$.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }x^{3}-3x^{2}\end{array}}}$

3. Resta el producto recién obtenido de los términos apropiados del dividendo original (teniendo cuidado de que restar algo con signo menos es equivalente a sumar algo con signo más) y escribe el resultado debajo.${\displaystyle \left(x^{3}-2x^{2}\right)-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-2x^{2}+3x^{2}=x^{2}}$. Luego, reste el siguiente término del dividendo.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3\ )\ 0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}}$

4. Repita los tres pasos anteriores, pero esta vez utilice los dos términos que se acaban de escribir como dividendo.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}}$

5. Repita el paso 4. Esta vez, no hay nada que bajar.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}}$

El polinomio que está encima de la barra es el cociente q ( x ), y el número que queda, 5, es el resto r ( x ).

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}$

o alternativamente

${\displaystyle {\frac {x^{3}-2x^{2}-4}{x-3}}=\underbrace {x^{2}+x+3} _{q(x)}+{\frac {\overbrace {5} ^{r(x)}}{x-3}}}$

El algoritmo de división larga para aritmética es muy similar al algoritmo anterior, en el que la variable x se reemplaza (en base 10) por el número específico 10, y con la restricción adicional de que todos los coeficientes deben ser no negativos.

El algoritmo se puede representar en pseudocódigo de la siguiente manera, donde +, −, y ×representan aritmética polinómica, lead es una función que devuelve el término principal (el término de mayor grado) de un polinomio dado como argumento de entrada de la función, y lead(remainder) / lead(denominator)da el polinomio obtenido al dividir los dos términos principales:

numerador/denominador de la función es se requiere denominador ≠ 0 cociente ← 0 resto ← numerador // En cada paso numerador = denominador × cociente + resto mientras resto ≠ 0 y grado(resto) ≥ grado(denominador) hacer tmp ← lead(resto) / lead(denominador) // Divide los términos principales cociente ← cociente + tmp resto ← resto − tmp × denominador devolver (cociente, resto)

Esto funciona igual de bien cuando degree(numerator) < degree(denominator); en ese caso el resultado es simplemente el trivial (0, numerator), nunca se entra en el bucle while.

Este algoritmo describe exactamente el método de papel y lápiz anteriordenominator : se escribe a la izquierda del ")"; quotientse escribe, término tras término, encima de la línea horizontal, tmpalmacena el último término del cociente en cada repetición del bucle; la región debajo de la línea horizontal se utiliza para calcular y escribir los valores sucesivos de remainder.

Para cada par de polinomios ( A , B ) tales que B ≠ 0, la división de polinomios proporciona un cociente Q y un resto R tales que

${\displaystyle A=BQ+R,}$

y o bien R = 0 o bien grado( R ) < grado( B ). Además, ( Q , R ) es el único par de polinomios que posee esta propiedad.

El proceso de obtener los polinomios Q y R, definidos de forma única, a partir de A y B se denomina división euclidiana (a veces transformación de división ). La división larga de polinomios es, por lo tanto, un algoritmo para la división euclidiana. ^{[ 1 ]}

Cuando el divisor es un polinomio mónico de grado 1, el método de división sintética es una alternativa a la división larga que requiere menos escritura y menos cálculos. Para dividir un polinomio${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$por el polinomio lineal mónico${\displaystyle x-c}$Utilizando la división sintética, se escribe una matriz de tres filas con los coeficientes de${\displaystyle f(x)}$en la fila superior. El coeficiente principal${\displaystyle a_{n}}$cae a la fila inferior y su producto con${\displaystyle c}$está escrito en la segunda fila debajo del segundo coeficiente${\displaystyle a_{n-1}}$Estos dos se suman, su suma se coloca en la tercera fila y su producto con${\displaystyle c}$escrito en la segunda fila de abajo${\displaystyle a_{n-2}}$; y así sucesivamente. Por ejemplo, la tabla generada para la división de${\displaystyle x^{3}-12x^{2}+24}$por${\displaystyle x-3}$se genera en los siguientes pasos: a partir del arreglo inicial $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}\ 1&-12&0&24\\&&&\\\hline \end{array}}\end{array}}}$$ El primer paso produce $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&&\\\hline 1&&&\\\end{array}}\end{array}}}$$ Los pasos subsiguientes de suma y multiplicación dan como resultado: $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&-27&\\\hline 1&-9&&\\\end{array}}\end{array}}}$$ Al repetir el proceso se obtiene la tabla final. $${\displaystyle {\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\3\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}1&-12&0&24\\&3&-27&-81\\\hline 1&-9&-27&-57\\\end{array}}\end{array}}}$$ que registra la división${\displaystyle x^{3}-12x^{2}+24=(x-3)(x^{2}-9x-27)-57}$.

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