Polarización de una forma algebraica

En matemáticas , y en particular en álgebra , la polarización es una técnica para expresar un polinomio homogéneo de forma más sencilla mediante la adición de más variables. Específicamente, dado un polinomio homogéneo, la polarización produce una forma multilineal simétrica única a partir de la cual se puede recuperar el polinomio original evaluándolo a lo largo de una diagonal determinada.

Aunque la técnica es engañosamente simple, tiene aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas abstractas: en particular, en la geometría algebraica , la teoría de invariantes y la teoría de la representación . La polarización y las técnicas relacionadas constituyen los fundamentos de la teoría de invariantes de Weyl .

Las ideas fundamentales son las siguientes.${\displaystyle f(\mathbf {u} )}$sea ​​un polinomio en${\displaystyle n}$variables${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\right).}$Supongamos que${\displaystyle f}$es homogéneo de grado${\displaystyle d,}$lo que significa que $${\displaystyle f(t\mathbf {u} )=t^{d}f(\mathbf {u} )\quad {\text{ para todo }}t.}$$

Dejar${\displaystyle \mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}}$ser una colección de indeterminados con${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}=\left(u_{1}^{(i)},u_{2}^{(i)},\ldots ,u_{n}^{(i)}\right),}$para que haya${\displaystyle dn}$variables en conjunto. La forma polar de${\displaystyle f}$es un polinomio $${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ^{(1)},\mathbf {u} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {u} ^{(d)}\right)}$$ que es lineal por separado en cada${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)}}$(eso es,${\displaystyle F}$es multilineal), simétrico en el${\displaystyle \mathbf {u} ^{(i)},}$y tal que $${\displaystyle F\left(\mathbf {u} ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {u} \right)=f(\mathbf {u} ).}$$

La forma polar de${\displaystyle f}$se da mediante la siguiente construcción $${\displaystyle F\left({\mathbf {u} }^{(1)},\dots ,{\mathbf {u} }^{(d)}\right)={\frac {1}{d!}}{\frac {\partial }{\partial \lambda _ {1}}}\dots {\frac {\partial }{\partial \lambda _{d}}}f(\lambda _{1}{\mathbf {u} }^{(1)}+\dots +\lambda _{d}{\mathbf {u} }^{(d)})|_{\lambda =0}.}$$ En otras palabras,${\displaystyle F}$es un múltiplo constante del coeficiente de${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\ldots \lambda _{d}}$en la expansión de${\displaystyle f\left(\lambda _ {1}\mathbf {u} ^{(1)}+\cdots +\lambda _ {d}\mathbf {u} ^{(d)}\right).}$

Un ejemplo cuadrático. Supongamos que${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y)}$y${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$es la forma cuadrática$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=x^{2}+3xy+2y^{2}.}$$ Luego la polarización de${\displaystyle f}$es una función en${\displaystyle \mathbf {x} ^{(1)}=(x^{(1)},y^{(1)})}$y${\displaystyle \mathbf {x} ^{(2)}=(x^{(2)},y^{(2)})}$dado por $${\displaystyle F\left(\mathbf {x} ^{(1)},\mathbf {x} ^{(2)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}+{\frac {3}{2}}x^{(2)}y^{(1)}+{\frac {3}{2}}x^{(1)}y^{(2)}+2y^{(1)}y^{(2)}.}$$ En términos más generales, si${\displaystyle f}$es cualquier forma cuadrática entonces la polarización de${\displaystyle f}$coincide con la conclusión de la identidad de polarización .

Un ejemplo cúbico. Dejemos${\displaystyle f(x,y)=x^{3}+2xy^{2}.}$Luego la polarización de${\displaystyle f}$es dado por $${\displaystyle F\left(x^{(1)},y^{(1)},x^{(2)},y^{(2)},x^{(3)},y^{(3)}\right)=x^{(1)}x^{(2)}x^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(1)}y^{(2)}y^{(3)}+{\frac {2}{3}}x^{(3)}y^{(1)}y^{(2)}+{\frac {2}{3}}x^{(2)}y^{(3)}y^{(1)}.}$$

La polarización de un polinomio homogéneo de grado${\displaystyle d}$es válido sobre cualquier anillo conmutativo en el que${\displaystyle d!}$es una unidad . En particular, se cumple sobre cualquier campo de característica cero o cuya característica sea estrictamente mayor que${\displaystyle d.}$

• Función homogénea : función con un comportamiento de escalamiento multiplicativo. 

• Claudio Procesi (2007) Grupos de Lie: un enfoque a través de invariantes y representaciones , Springer, ISBN 9780387260402.